復指數函數的定義問題

孫小康，徐松金

（ 銅仁學院 數學與計算機科學系，貴州 銅仁 554300 ）

復指數函數的定義問題

孫小康，徐松金

（ 銅仁學院 數學與計算機科學系，貴州 銅仁 554300 ）

對實數域中指數函數的定義在復數域上的推廣及歐拉公式與復指數函數的關系進行了探討。

歐拉公式； 復指數函數； 乘法運算

1.引言

復變函數論里的歐拉公式：eix= c osx+is inx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數域，建立了三角函數和指數函數的關系，在復變函數論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成 ?x，得到：e?ix= c osx?is inx，然后采用兩式相加減的方法得到：

這兩個也叫做歐拉公式。將eix= c osx+is inx中的x取作 就得到：eiπ+1 = 0 。這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數聯系到了一起，兩個超越數：自然對數的底e、圓周率 ，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位 1，以及數學里常見的 0。復變函數教學中常碰到下面這些問題：歐拉公式是怎么得來的，為什么這樣定義復指數函數與三角函數呢？復變函數的教材很多但是都沒有詳細地說明這個問題。本文對這些問題進行了討論。

2.如何在復數域上定義指數函數

為了使負數開平方有意義，需要再一次擴大數域，于是，就引入了虛數，使實數域擴大到復數域。如何建立復數理論，首先要引入運算法則，然后將初等函數等這些最基本的概念推廣到復數域。給出兩個復數z1=x1+iy1和z2=x2+iy2，其加法、減法的定義為實部與虛部分別相加減。乘法如何定義呢？給出復數的四則運算之后如何進一步進行處理？如何將導數、微分的概念推廣到復變函數上來？如何將實數域上熟知的初等函數推廣到復數域上來？

解析函數是復變函數研究的主要對象。它是一類具有某種特性的可微函數。函數成為解析函數的必要條件是滿足柯西—黎曼條件，即如果是解析函數，則必須有

3.結論

[1]鐘玉泉.復變函數論（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]宛秀白.關于復指數函數定義的討論[J].廊坊師專學報，1995，（4）.

[3]阿爾福斯.復分析[M].上海：上海科學技術出版社，1984.

The Definition of the Index Function in Complex Variables

SUN Xiao-kang, XU Song-jin
( Department of Mathematics and Computer Science, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300,China )

In this paper, we discuss how to extend the definition of index function in field of real numbers to the field of complex numbers and discuss the relationship between Euler formula and complex index function.

Euler formula; Index function; multiplication

（責任編輯 毛志）

O174.5

A

1673-9639 (2012) 02-0141-03

2011-11-18

本文系銅仁學院校級課題（課題批準號：TR052）成果。

孫小康（1982-），女，湖南邵陽人，碩士，講師，研究方向：基礎數學、函數論。