流水車間部分資源柔性的度量

郭艷東，倫淑嫻

（渤海大學 遼寧 錦州 121013）

在生產進程中，資源柔性涉及動態(tài)再分配一個或者多個可利用的資源。當工作的進程時間依賴于分配給它的資源數(shù)時，柔性資源能夠打破進程的瓶頸，從而能夠提高系統(tǒng)的有效性和效率。目前的研究都是建立在完全資源柔性基礎上的，即，在連續(xù)機和并行機環(huán)境下，當每一個資源單元被分配給生產進程的任何一個階段時，能夠實現(xiàn)有效的改進經營業(yè)績[1]。

本文的研究目的是探索部分資源柔性程度的度量，尤其是考慮了工作站上發(fā)生瓶頸的權重。例如組裝電子開關設備就是部分資源柔性流水車間的例子，工作在一個連續(xù)的工作站上順序執(zhí)行，而每一項工作的時間是分配給這個工作站上的工人數(shù)量的函數(shù)。像這樣的生產線環(huán)境，部分資源（勞動力）柔性是一個很重要的問題，柔性度是由哪些工人被交叉訓練去執(zhí)行一個生產在線工作的子集來確定的。

由于人特有的靈活性，勞動力能夠提供在廣泛的可利用的柔性資源中最一般的例子。柔性機器包概括柔性制造系統(tǒng)，提供了柔性資源的兩個例子（Sethi and Sethi 1990）。文中專門討論流水車間下的勞動力柔性問題，給出生產系統(tǒng)中的資源柔性的混合的度量方法。本文研究系統(tǒng)規(guī)劃和流水車間環(huán)境下，進程時間依賴于分配給工作的勞動力數(shù)量的部分柔性勞動力調度的管理問題，指導勞動力成員的再分配。

Jordan和 Graves（1995）提出了生產設備部分柔性的收益，并在設備之間進行產品的分配。這些原理能夠為改進管理決定提供簡單易懂執(zhí)行力又很強的指導。本文發(fā)現(xiàn)適當?shù)母倪M這些原理能夠應用到流水車間環(huán)境。例如：形成鏈的概念（工人在連續(xù)的工作站上被訓練），展現(xiàn)了一個完成靈活性利益的有效方法，將這個原理拓展到流水車間環(huán)境[2]。資源柔性度量的研究借鑒了柔性制造的相關文獻[3-6]。

1 問題背景

N={1，2…，n}表示一組工作，工作有順序的在一組工作站上被操作，M={1，2…，m}表示工作站，R={1，2…，r}表示工作站發(fā)生瓶頸的權重，連續(xù)的工作站形成了流水車間。為了方便，我們簡稱工作站為“站”。工作i在每一個站j都按照相同的順序操作（i，j）。每一個工作操作的時間依賴于分配給它的勞動力（被訓練過的），如果k個工人被分配執(zhí)行操作（i，j），則進程時間為個時間單元。假設無論何時則 k′＞k″，即≤，操作的處理時間不會隨著分配給它的工人數(shù)量的增加而增加。

W={1，2…，w}表示工人的集合，他們每一個人被訓練的工作是工作站的子集。工作站的技能矩陣S是一個很有用的工具用來區(qū)分哪一個工人被訓練那些工作站。具體的，S=Em×m矩陣 S=（shj），h∈W，j∈M，定義為：

明顯操作矩陣如果對應的是經典的流水車間調度問題是一個m×m的單位矩陣（Im×m），每一個工人預先分配給一個唯一的工作站。另一個極端，如果S=Im×m，m×m矩陣上的所有元素都等于1，就是所謂的完全柔性流水車間，Daniels and Mazzola （1993，1994）研究的例子。

對于任何一個可行操作矩陣S，對應的FSPRF問題，表示為FSPRF（S），同時能夠識別出n項工作的順序，根據技能矩陣的可行性，動態(tài)分配給工作操作的數(shù)量，伴隨mn項工作操作的進程率（由被分配到操作上的工人數(shù)所確定）說明。工作順序、進程率說明和動態(tài)分配勞動力的可行性這3個子問題需要有機的結合已到達總完工時間最小化的目標。

值得注意的是，當 S=Im×m時，F(xiàn)SPRF（S）簡化到了經典的流水車間調度問題，該問題已被認為是NP難問題。（Garey et al.1976， Garey and Johnson 1979）。

2 技能矩陣和部分資源柔性的度量

在這節(jié)我們展開技能矩陣的討論，根據每個工人的多個工作站上個人技能情況，通過時間安排的界限動態(tài)調配工人。具體的，定義一些重要的條件和適合描述矩陣的符號，用一個例子來圖示這些觀點，并且度量部分資源柔性。

2.1 技能矩陣

技能矩陣的支集 supp（s），定義為{（h，j）∈W×M：shj=1}。因此對于任何一個可行的 w×m 技能矩陣 S，|supp（Cm，k）|=km。

例1：考慮一個4個工人和4個工作站的問題，假如：

這個例子中，工人1在工作站1、4上被訓練過；工人2在工作站2、4上被訓練過，等等。因此每一個工人的操作集就是：={1，4}，={2，4}，={1，3，4}。=2，==3。類似的， 對于每一個機器={1，3，4}，={2}，={3，4}，{1，2，3，4}，=3，=1，=2，=4。

同時這個技能操作矩陣也顯示出任何一個工作站的最快進程速度和執(zhí)行情況。例如=3，分配到工作站1上的任何一個操作的最快進程速度就是分配3個工人到這個站上工作。工作站4，有能力進行操作的涉及4個工人。

顯然，如果技能矩陣S和S’僅僅是行的順序不同，則2個矩陣定義的是同一組工人的技能情況，因此S=S’。接下來的討論，沒有區(qū)別同等技術矩陣。

當m=w=3時，有57中不同的技能矩陣。當m=w=4時技能矩陣的數(shù)量就增加到2 306。當m=w=5是數(shù)量多于270 000。這就有必要從對不同工人訓練形式的巨大數(shù)量的矩陣中刻畫出有效技能矩陣。即描述確定一組屬性，能夠從大量的技能矩陣中分辨出一個易于管理的有效技能矩陣的子集，從而給出一個工人培訓的范圍。

2.2 部分資源柔性的度量

這個研究的一個重要的目標是更好地明白隨著資源柔性度的增加系統(tǒng)執(zhí)行的變化情況。這就需要合適的度量資源的柔性的水平，也就是要確定工作站上的柔性資源。定義柔性度量：

顯然，φs是區(qū)間[max{m，w}/wm， 1]上的值，φs取值越大說明系統(tǒng)的柔性越大。

對于確定的w和m的值，因為技能矩陣的元素只有0和1，所以φs的值是離散的。如果存在一個w×m的可行技能矩陣S滿足φs=φ，則值φ∈[0，1]稱作現(xiàn)實價值。

φs可以估量柔性的水平，針對每一個φs也能通過人和站的平衡估量柔性的混合情況。對于一個給定的技能矩陣S，定義如下：

如果考慮某站有最大的工人被培訓數(shù)和某站有最小的工人被培訓數(shù)，這個度量展現(xiàn)了2個值之間的不同。稱βs為站平衡或者S平衡度量，這對于工作站是很重要的。對一個技能矩陣S，若βs≤1，則稱S為S平衡。

將一個混合度量定義為站-工人平衡或者SW平衡定義為：

這個度量關注了一個工人在多于一個站上進行訓練需有效的在各站之間分配他的總時間。因此調整變量包含在度量公式之中。若一個技能矩陣S的≤1則稱之為SW平衡。

3 有效技能矩陣度量

給出一個具體的工人數(shù)w和工作站數(shù)m，對于任何柔性矩陣的現(xiàn)實價值∈[0，1]， 令 ζφ^={w×m 技能矩陣 S：φs=}，實際上，ζφ^很大。 所以更關注識別技能矩陣 S* 的特征，（S*）=即那些在集合 ζφ^中，使 FSPRF（S）最小的技能矩陣S。

技能矩陣產生的最好的操作性能既是S平衡也是SW平衡，可見是有效技能矩陣的2個重要屬性。然而，同時為S平衡和SW平衡的技能矩陣數(shù)量也很大。例如：當m=w=3時，57個中有33個是S平衡和SW平衡。當m=w=4時，2 306的技能矩陣中就有578個是S平衡和SW平衡。當m=w=5時，270 000的技能矩陣中就有28 000個是S平衡和SW平衡。因此，S平衡和SW平衡并不能提供足夠準確地的方法去識別工人柔性分布有效或者無效。考慮第三類技能矩陣，稱之為鏈，形成一個符合S平衡和SW平衡矩陣的子集。

對任何一個技能矩陣S，對應的有一組對應工人的點VS和另一組對應工作站點的工人-站二部圖 G（S）=（VS，ES）。 因此在圖中有m+w個點。當且僅當在S中Shj=1時存在一個邊（h，j）∈Es。在這種情況下，工人技能分配可以通過與每一個可能的分配有關的邊際收益達到一個希望的柔性矩陣的現(xiàn)實價值。

Jordan and Graves（1995）說明了柔性進程，在同一時間生產設備之間分配一組產品，每一個設備生產一個產品的子集。他們觀察到當按照設備-生產的二部圖中的一個鏈進行分配的話，在機器生產一組產品中有限的資源柔性能夠被有效的分配。基本的思想是在一個鏈后形成一個連續(xù)的路徑連接二部圖中所有的點，保持路徑的連續(xù)，建立一個最大路徑的環(huán)。本文則延續(xù)鏈的觀點去調度帶有部分資源柔性問題。

接下來討論都是工人數(shù)等于工作站數(shù)的流水車間問題，即w=m，則S是一個m×m的技能矩陣。技能矩陣S稱為一個k-鏈，若={h，h+1，…，h=-1}，1≤k≤m，所有的 h∈W，如果j∈并且 j>m，則 j就替代為站 j=j′（mod m）滿足 j=j′（mod m）。任何技能矩陣S都相當于一個k-鏈，表示為Cm，k。顯然supp（Cm，k）?supp（S）?（Cm，k+1）。 任意一個技能矩陣 S 可被稱之一個鏈，如果存在一些 k∈{1，…，m-1}，滿足 supp（Cm，k）?supp（S）?supp（Cm，k+1）。 因此，無論 S 等于一個 k-鏈 Cm，k或者等于一些 k-鏈 Cm，k和一些非空的子集 H?W，Shj=1，（h，j）∈supp（Cm，k+1）/supp（Cm，k），h∈H 都可以定義一個鏈。值得注意的是，Cm，k在文獻中作為一個循環(huán)行列式被涉及到。 （see， e.g.，Balas 1975）。 定義一個 Δm，k=（δ） 的矩 陣 Δm，k=（）=h∈W，j∈M，Cm，k+1=Cm，k+Δm，k，k=1，…，m-1。

例 2：m=5，

圖1 2-鏈二部圖Fig.1 Bipartite graph of 2-chains

圖2 3-鏈二部圖Fig.2 Bipartite graph of 3-chains

如圖 1 和 2 所示，二部圖對應的是 2-鏈 C5，2和 3-鏈 C5，3。很明顯，在 2-鏈，m=w=5，工人1在站1、2被訓練，工人 2在站2、3被訓練，等等，工人5在站5和站1。同時，也能通過看圖得出C5，2，2-鏈形成了一個連接所有工人和工作站的路徑。另外，每一個工人被分配到相同數(shù)目的連續(xù)工作站，而每一個工作站上擁有相同數(shù)量的工人。

Jordan and Graves（1995）在生產和設備的分配環(huán)境下這些屬性反映這些規(guī)定。明顯，3-鏈的圖中觀察得出C5，3也反應了這些屬性。工人的技能矩陣定義成鏈的形式適合流水車間的調度環(huán)境，可以在一組工作站上的進程中連續(xù)的培訓工人。

現(xiàn)在建立一個重要的鏈的性質，命題2，如果m×m技能矩陣S定義一個鏈，它的S平衡和SW平衡度量值滿足，k*∈{1，2，…，m-1}，≤，k*∈{1，2，…，m-1}是滿足 supp（Cm，k）?supp（S）的最大值，則S既是S平衡又是SW平衡。

4 結 論

文中通過技能矩陣的形式刻畫了流水，車間情況下工人柔性的問題，并對工人的技能矩陣進行了科學的度量，將技能矩陣描述成“鏈”的形式，通過鏈的大小衡量工人的柔性程度。鏈的表現(xiàn)形式不僅能有效衡量技能矩陣的有效性，而且能夠指導企業(yè)管理者如何根據工人的現(xiàn)狀和工作站可能的瓶頸問題，合理的對工人進行培訓，并有效的掌握資源的柔性度。針對企業(yè)實際在控制人工成本的基礎上，實現(xiàn)系統(tǒng)執(zhí)行的最優(yōu)性，達到利潤最大化。

該項研究有很現(xiàn)實的實際意義，易于操作管理，在以后的研究中可以對工人操作效率不同等情況的矩陣度量方法。這些研究都將為企業(yè)更好的實現(xiàn)生產效益最大化做出簡易有效的指導。

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