一個恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)及其微控制器實現(xiàn)

朱 雷，劉艷云，周小勇，喬曉華

（1.江蘇技術(shù)師范學院 電氣信息工程學院，江蘇 常州 213001；2.常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學院 機電工程系，江蘇 常州 213164）

以及共同的特征多項式

1963年，第一個混沌系統(tǒng)被美國學者Lorenz發(fā)現(xiàn)[1]，從此對混沌系統(tǒng)的研究受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。1999年，陳關(guān)榮等提出了與Lorenz系統(tǒng)對偶的Chen系統(tǒng)[2]。2002年，呂金虎等發(fā)現(xiàn)了連接Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的Lü系統(tǒng)[3]。在此基礎上，新的混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)[4-6]。從工程應用可靠性角度出發(fā)，混沌系統(tǒng)應該具有魯棒性，以避免因控制參數(shù)的擾動而使系統(tǒng)進入非混沌狀態(tài)。恒定Lyapunov指數(shù)譜混沌特性則是一種特殊的魯棒混沌特性。2008年，包伯成等提出了一個含指數(shù)乘積項的魯棒混沌系統(tǒng)[7]。2009年，李春彪等提出了一個恒定Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)[8]，系統(tǒng)具有3個控制參數(shù)，其中一個參數(shù)可使系統(tǒng)處于恒定Lyapunov指數(shù)譜混沌狀態(tài)。此后，李對系統(tǒng)進行了改進[9]和推廣[10]。2011年以來，新的恒定Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)不斷被提出[11]或構(gòu)建[12-13]。這些系統(tǒng)的一個共同特征是具有多個控制參數(shù)，其中1個或2個參數(shù)具有恒定Lyapunov指數(shù)譜混沌特性，而其它參數(shù)的變化則可能導致系統(tǒng)進入非混沌態(tài)。在此研究背景下，為提升系統(tǒng)的魯棒性，文中在基本Sprott-B混沌系統(tǒng)模型的基礎上[14]，引入1個控制參數(shù)改造其狀態(tài)方程，構(gòu)建出一個恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)。進一步的研究則表明控制參數(shù)對于系統(tǒng)的混沌振蕩還具有線性或非線性調(diào)幅作用。此外，在采用改進的Euler算法進行離散化的基礎上，通過微控制器MSP430F249對系統(tǒng)進行了實驗驗證，觀察到了系統(tǒng)的混沌吸引子。

1 恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)模型

美國學者Sprott在1994年提出的基本Sprott-B混沌系統(tǒng)[14]表示為：

系統(tǒng)（1）具有兩個指標 2 的鞍焦平衡點 S1=（1，1，0）和S-1=（-1，-1，0），從而表現(xiàn)出一個兩翼蝴蝶混沌吸引子。

通過引入?yún)?shù)a并加載于系統(tǒng) （1）的第一和第三個方程，從而構(gòu)建出一個恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)，其數(shù)學模型可表示為：

式中，a>0，x，y，z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。顯然，當取參數(shù) a=1時，系統(tǒng)（2）便退化為基本Sprott-B系統(tǒng)（1）。當取參數(shù) a=4時，系統(tǒng)存在一個典型的兩翼蝴蝶混沌吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng) （2） 的 3個 Lyapunov指數(shù)為 LE1=0.213，LE2=0，LE3=-1.212，Lyapunov維數(shù)為 dL=2.176。

圖1 系統(tǒng)（2）的混沌吸引子（a=4）Fig.1 Chaotic attractor of system （2）（a=4）

2 系統(tǒng)的動力學分析

2.1 基本動力學分析

對于系統(tǒng)（2），在變換（x，y，z）→（-x，-y，z）下具有不變性，因此系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱，且系統(tǒng)滿足

從而系統(tǒng)（2）耗散，且耗散性與參數(shù)a無關(guān)。代數(shù)計算可得系統(tǒng)（2）的兩個平衡點為 Q1=（，，0）和 Q-1=（-，-，0），分別在平衡點Q1和Q-1處線性化系統(tǒng)（2），得其 Jacobi矩陣：

和

以及共同的特征多項式

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，平衡點Q1和Q-1均不穩(wěn)定，可能產(chǎn)生混沌， 數(shù)值計算表明其特征根為 λ1=-1.353 2，λ2，3=0.176 6±1.202 8i，平衡點Q1和Q-1均為指標 2的鞍焦點，且其特征根與系統(tǒng)參數(shù)a無關(guān)。因此，參數(shù)a不影響系統(tǒng)在相空間上的動力學特征，在a變化時，系統(tǒng)（2）的Lyapunov指數(shù)保持恒定，下面進一步通過Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖來揭示參數(shù)a的改變對系統(tǒng)狀態(tài)及動力學行為的影響。

2.2 恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌特性分析

取參數(shù)區(qū)間 a∈[0.1，20]， 數(shù)值仿真得到系統(tǒng) （2）的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，如圖2所示。這里x-a分岔圖和y-a分岔圖選擇的Poincaré截面為z=0平面，而z-a分岔圖選擇的Poincaré截面則為動態(tài)的x+=0平面。從圖2可見，隨著a的變化，系統(tǒng)處于魯棒混沌狀態(tài)，其Lyapunov指數(shù)譜保持恒定，且參數(shù)區(qū)間內(nèi)的Lyapunov指數(shù)實質(zhì)就是系統(tǒng)在a=4時的Lyapunov指數(shù)值，需要說明的是由于數(shù)值計算的精度等因素使得Lyapunov指數(shù)譜譜線有輕微的波動。分岔圖則清晰地表明，隨著a的增大，系統(tǒng)的輸出信號x和y的混沌振蕩幅度非線性地增加，而z的振蕩幅度線性地增加。

圖2 a變化時系統(tǒng)（2）的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.2 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram with changing a of system （2）

2.3 調(diào)幅特性分析

上述Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖仿真揭示出參數(shù)a的改變不影響系統(tǒng)的混沌特性和混沌強度，但卻可以改變系統(tǒng)的振蕩幅度，進一步的理論分析則可以證明參數(shù)a對于系統(tǒng)的混沌振蕩具有線性或非線性調(diào)幅作用。

定理1系統(tǒng)參數(shù)a是全局調(diào)幅參數(shù)，輸出信號x和y的幅值與a呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)均為1/2，輸出信號z的幅值與a呈線性關(guān)系變化。

由此可知，a是全局調(diào)幅參數(shù)，系統(tǒng)（2）的狀態(tài)變量x和y的非線性調(diào)整對應于參數(shù)a的線性尺度變化，且輸出信號x和y的幅值與a呈a1/2關(guān)系變化，即與a呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為1/2，而狀態(tài)變量z的線性調(diào)整等價于參數(shù)a的線性尺度變化，即輸出信號z的幅值與a呈線性關(guān)系變化。證畢。

3 微控制器實現(xiàn)與實驗驗證

為通過微控制器以數(shù)字方式實現(xiàn)系統(tǒng)（2），須首先對系統(tǒng)進行離散化處理，從而使系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。對常微分方程的常用離散方法包括Euler算法、改進的Euler算法和Runge-Kutta算法等。在3種算法中，Euler算法效率最高，但精度相對較低，Runge-Kutta算法的數(shù)值計算精度最高，但基于微控制器實現(xiàn)時效率相對較低。綜合考慮算法效率和系統(tǒng)運行的實時性，文中選擇改進的Euler算法對系統(tǒng)（2）進行離散化處理，從而得到：

式中h為步長，n為迭代次數(shù)，且

實驗過程中選擇TI公司著名的16位低功耗微控制器MSP430F249，結(jié)合Linear Technology公司的16位高速并行D/A轉(zhuǎn)換器LTC1668，實現(xiàn)混沌信號的物理產(chǎn)生，通過示波器XY輸入方式便可觀察到系統(tǒng)的混沌吸引子。根據(jù)式（8）、（9）和（10）可以編制出基于MSP430F249的C語言程序，取參數(shù)a=4，程序中設置 （x，y，z）的初值為（0.45，0.45，0），步長 h=0.001，采用高分辨率的安捷倫DSO7032A數(shù)字示波器進行了實驗觀察， 結(jié)果如圖 3 所示。 通過與圖 1（b）、（c）、（d）對比可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)運行后得到的混沌吸引子驗證了前文的數(shù)值仿真結(jié)果，二者保持一致，以基于微控制器的數(shù)字方式完全可以實現(xiàn)本文所構(gòu)建的恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)。

圖3 微控制器實現(xiàn)的混沌吸引子Fig.3 Chaotic attractor implemented by Microcontroller

4 結(jié) 論

文中在基本Sprott-B混沌系統(tǒng)的基礎上，引入1個系統(tǒng)參數(shù)a后改造原系統(tǒng)的第一和第三個方程，從而巧妙地構(gòu)建出一個恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有兩個受參數(shù)a控制的指標2的平衡點，能表現(xiàn)出典型的兩翼蝴蝶混沌吸引子。研究過程中利用相軌圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等動力學分析手段對新系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，研究結(jié)果表明，系統(tǒng)對參數(shù)a保持恒定的Lyapunov指數(shù)譜，從而可以工作于魯棒混沌狀態(tài)。理論分析則揭示出參數(shù)a對于系統(tǒng)的混沌振蕩具有線性或非線性調(diào)幅作用，從而為其在混沌保密通信等領(lǐng)域的應用奠定了理論基礎。在仿真研究和理論分析的基礎上，采用基于微控制器MSP430F249為核心的數(shù)字方式對系統(tǒng)進行了實驗驗證，采用改進的Euler算法進行系統(tǒng)的離散化處理，利用C語言編程，通過對混沌吸引子的觀察，實現(xiàn)并驗證了本文所構(gòu)建的恒定Lyapunov指數(shù)譜魯棒混沌系統(tǒng)。

[1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flows[J].Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20（2）:130-141.

[2]Chen G R，Ueta T.Yet anthor chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9（6）:1465-1466.

[3]Lü J H， Chen G R.A new chaotic attractor coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12（3）:659-661.

[4]Liu WB，Chen GR.A new chaotic systemand its generation[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2003，13（1）:261-267.

[5]Wang G Y，Qiu S S，Li H W，Li C F， Zheng Y.A new chaotic system and its circuit realization[J].Chinese Physics，2006，15（12）:2872-2877.

[6]Wang A Y，Ling Z H.Dynamical analysis and circuit simulation of a new three-dimensional chaotic system[J].Chinese Physics B，2010，19（7）:070506.

[7]Bao B C，Li C B，Xu J P，Liu Z.New robust chaotic system with exponential quadratic term[J].Chinese Physics B，2008，17（11）:4022-4026.

[8]李春彪，王德純.一種恒Lyapunov指數(shù)譜混沌吸引子及其Jerk電路實現(xiàn)[J].物理學報，2009，58（2）:764-770.LI Chun-biao，WANG De-chun.An attractor with invariable Lyapunov exponent spectrum and its Jerk circuit implementation[J].Acta Physica Sinica，2009，58（2）:764-770.

[9]李春彪，陳謖，朱煥強.一個改進恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)與同步控制[J].物理學報，2009，58（4）:2255-2265.LI Chun-biao，CHEN Su，ZHU Huan-qiang. Circuit implementation and synchronization of an improved system with invariable Lyapunov exponent spectrum[J].Acta Physica Sinica，2009，58（4）:2255-2265.

[10]李春彪，王翰康.推廣恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)及其演變研究[J].物理學報，2009，58（11）:7514-7524.LI Chun-biao，WANG Han-kang.An extension system with constant Lyapunov exponent spectrum and its evolvement[J].Acta Physica Sinica，2009，58（11）:7514-7524.

[11]周小勇.一種具有恒Lyapunov指數(shù)譜的混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].物理學報，2011，60（10）:100503.ZHOU Xiao-yong.A chaotic system with invariable Lyapunov exponent and its circuit simulation[J].Acta Physica Sinica，2011，60（10）:100503.

[12]李春彪，徐克生，胡文.Sprott系統(tǒng)的恒Lyapunov指數(shù)譜混沌鎖定及其反同步[J].物理學報，2011，60（12）:120504.LI Chun-biao，XU Ke-sheng，HU Wen.Sprott system locked on chaos with constant Lyapunov exponent spectrum and its anti-synchronization[J].Acta Physica Sinica，2011，60（12）:120504.

[13]李春來，禹思敏，羅曉曙.一個新的混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與實現(xiàn)[J].物理學報，2012，61（11）:110502.LI Chun-lai，YU Si-min，LUO Xiao-shu.A new chaotic system and its implementation[J].Acta Physica Sinica，2012，61（11）:110502.

[14]Sprott JC.Some simple chaotic flows[J].Physical Review E，1994，50（2）:647-650.