雙向密加筋板強(qiáng)度公式的推導(dǎo)及其修正

，

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063)

高速化和輕型化已成為船舶制造的發(fā)展趨勢(shì)。減小板的厚度對(duì)減輕結(jié)構(gòu)重量效果顯著，但由此會(huì)引起板的穩(wěn)定性、局部強(qiáng)度、局部振動(dòng)性態(tài)的下降，焊接變形增大。針對(duì)這些問(wèn)題，目前高速船廣泛采用了雙向密加筋板船體結(jié)構(gòu)這種形式。由于雙向密加筋板結(jié)構(gòu)形式和常規(guī)的結(jié)構(gòu)形式不同，故設(shè)計(jì)中多根據(jù)設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)預(yù)選有關(guān)構(gòu)件，再采用有限元方法進(jìn)行強(qiáng)度校核。這既給設(shè)計(jì)者帶來(lái)諸多不便，也帶有較多的人為因素影響[1]。本文通過(guò)將雙向密加筋板模型簡(jiǎn)化為正交異性板模型，將平衡方程進(jìn)行無(wú)因次變換，最終利用各向同性板的彎曲要素表來(lái)確定雙向密加筋板中的最大應(yīng)力值。

1 板材料屬性的轉(zhuǎn)換

運(yùn)用力學(xué)方法，將縱、橫筋等效分?jǐn)傇诎迳希瑥亩鴮㈦p向密加筋板等效為理想的正交異性板。

1.1 符號(hào)含義

Asx、Asy——x、y方向筋的截面積；

nsx、nsy——x、y方向加筋數(shù)；

L、B、t——加筋板的長(zhǎng)、寬、板厚；

νxy(νyx)——x(y)方向伸長(zhǎng)在y(x)方向收縮的泊松比；

Gxy——兩個(gè)主方向x、y間夾角變化的剪切模數(shù)；

Dx、Dy——正交異性板x、y方向的抗彎剛度；

Ix、Iy——x、y方向加筋對(duì)中性軸的慣性矩；

zox、zoy——板中面到x、y方向加筋帶板中性軸的距離；

twx、twy——x、y方向加筋腹板的厚度；

hwx、hwy——x、y方向加筋腹板的高度；

bfx、tfx——x方向加筋翼板的寬度、厚度；

H——正交異性板的有效扭轉(zhuǎn)剛度；

M1、M2——正交異性板x、y方向最大彎矩；

Mx、My——各向同性板x、y方向最大彎矩。

1.2 彈性模量轉(zhuǎn)換

(1)

(2)

1.3 抗彎剛度和抗扭轉(zhuǎn)換

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

當(dāng)為各向同性板時(shí)，則有

(12)

1.4 泊松比轉(zhuǎn)換

根據(jù)Betti能量互換定律的推理，作用在x方向的力使y方向發(fā)生的變形，等于作用在y方向的力使x方向發(fā)生的變形，則有：

(13)

(14)

2 雙向密加筋板強(qiáng)度公式推導(dǎo)及分析

2.1 強(qiáng)度公式推導(dǎo)

在均布載荷q作用下，正交異性板的彎曲微分方程式為

(15)

則式(15)轉(zhuǎn)換為

(16)

(17)

(18)

比較(18)和(19)可知，當(dāng)γ1=γ2,即

(19)

時(shí)，正交異性板的彎曲要素可以借助各向同性板的彎曲要素準(zhǔn)確地決定。當(dāng)?shù)仁?19)不滿足時(shí)，對(duì)于正交異性板的近似解可以選出某個(gè)各向同性板的計(jì)算邊長(zhǎng)比γ，借助于它使得正交異性板的彎曲要素以最小誤差決定。因此，設(shè)

w0=w1+w2

(20)

式中：w0——正交異性板撓函數(shù)(無(wú)因次函數(shù))；

w1——各向同性板撓函數(shù)(無(wú)因次函數(shù))；

w2——修正值(無(wú)因次函數(shù))。

將式(20)代入式(18)有

(21)

因?yàn)楹瘮?shù)w1由方程式

(22)

決定，所以(21)減去(22)后，得到有關(guān)w2的方程

(23)

所選擇的計(jì)算邊長(zhǎng)比必須使得修正值w2為最小。對(duì)于一般的密加筋板而言，可近似認(rèn)為γ1和γ2足夠接近，此修正值很小。采用伽遼金法來(lái)決定γ[3]，讓式(23)在第一次近似中的解恒等于零，得

(24)

將w1按照滿足相應(yīng)邊界條件展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，沿整個(gè)周界剛性固定的板有

w1=f1(1-cos2πε)(1-cos2πη)

(25)

(26)

將應(yīng)力轉(zhuǎn)換為無(wú)因次坐標(biāo)形式為

(27)

(28)

利用各向同性板的彎曲要素表，將應(yīng)力用彎矩的形式表達(dá)。彎矩的無(wú)因次形式為

(29)

(30)

可以導(dǎo)得

(31)

(32)

將上式聯(lián)合最終得到構(gòu)造正交異性板的應(yīng)力表達(dá)形式

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(33)

[zxνx(Mx-νyMy)λ2+zy(My-νxMx)]

(34)

k4、k5經(jīng)γ由各向同性板的彎曲要素表確定。

2.2 強(qiáng)度公式的分析

本文僅求得雙向密加筋板最大應(yīng)力值，而不考慮應(yīng)力的分布。又在均布載荷作用下，正交異性板的最大應(yīng)力值在其長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，故僅用公式

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(35)

此時(shí)，要求L≥B。當(dāng)L≤B時(shí)，可將L、B交換來(lái)計(jì)算結(jié)果。

3 有限元計(jì)算

3.1 有限元計(jì)算模型

板長(zhǎng)取為定值L=1 800 mm，長(zhǎng)寬比分別取0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.2,2.4；

加筋類型及尺寸為

L60×40×4，L50×32×4，⊥4×60/4×40；

邊界條件為沿周界剛性固定；

加筋數(shù)目(橫筋×縱筋)為

3×3，3×4，3×4，4×4，4×5[4]；

載荷為均布載荷，q=0.04 MPa。

3.2 計(jì)算數(shù)據(jù)分析

限于篇幅，表1給出加筋數(shù)為3×3，加筋尺寸為L(zhǎng)60×40×4，板長(zhǎng)為1 800 mm的雙向密加筋板的計(jì)算結(jié)果。

表1 最大公式值與FEM計(jì)算值比較(載荷)

圖1包含了70個(gè)計(jì)算數(shù)據(jù)，顯示出本文公式計(jì)算值與有限元計(jì)算結(jié)果之間相對(duì)誤差的分布。其變異系數(shù)COV=1.29% 。

圖1 本文公式與FEM計(jì)算結(jié)果的誤差分布

3.3 計(jì)算撓度數(shù)據(jù)分析

構(gòu)造正交異性板最大撓度為

(36)

式中k1通過(guò)γ由各向同性板的彎曲要素表確定。本文僅對(duì)長(zhǎng)邊為奇數(shù)筋的角鋼通過(guò)使用1stopt軟件對(duì)公式參數(shù)修正，得到

(37)

加筋數(shù)為3×5，加筋尺寸為L(zhǎng)60×40×4，板長(zhǎng)1 800 mm的雙向密加筋板計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 最大公式值與FEM計(jì)算值比較(撓度)

4 強(qiáng)度公式的修正

相同尺寸的T型材、L型材僅一個(gè)方向的抗彎剛度相同，其抗扭剛度和另外方向的抗彎剛度是不一樣的。故在有限元計(jì)算中，相同尺寸的T型材和L型材的應(yīng)力值不一樣，須對(duì)它們分別修正。又因本文所推導(dǎo)的公式需采用各向同性板的彎曲要素,而各向同性板的彎曲要素僅列出板兩邊中點(diǎn)的彎矩值。在均布荷重下四周剛性固定的各向同性板最大彎矩位于板長(zhǎng)邊的中點(diǎn)。故當(dāng)長(zhǎng)邊加筋數(shù)為奇數(shù)時(shí)，其最大應(yīng)力位置與最大彎矩位置相同；而當(dāng)長(zhǎng)邊加筋數(shù)為偶數(shù)時(shí)，其最大應(yīng)力位置與最大彎矩位置不同，也應(yīng)分別修正。

通過(guò)對(duì)大量的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，綜合考慮到以上因素以及誤差的平均值、誤差與邊長(zhǎng)比L/B的COV大小，利用最小二乘法,求得的修正系數(shù)見(jiàn)表3。

表3 公式修正系數(shù)

修正后的公式表達(dá)為

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(39)

式中:k——按表3所給數(shù)據(jù)選取。

5 結(jié)束語(yǔ)

大量計(jì)算驗(yàn)證了本文提供的修正公式能夠?qū)﹄p向密加筋板的強(qiáng)度進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)報(bào)，公式形式簡(jiǎn)單，能夠廣泛運(yùn)用于工程實(shí)際中。

[1] 劉彥峰,楊 平.密加筋板結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性的力學(xué)性能分析與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[D].武漢：武漢理工大學(xué),2006.

[2] PAIK J K, THAYAMBALLI A K, BONG J K. Large deflection orthotropic plate approach to develop ultimate strength formulations for stiffened panels under combined biaxial compression/tension and lateral pressure[J]. Thin-walled Structures, 2001(39):226-227.

[3] Я.И.考羅特金.板與圓筒形殼的彎曲及穩(wěn)定性[M].陳鐵，方譯.北京：高等教育出版社，1958.

[4] 張征波.內(nèi)河高速船的新型船體結(jié)構(gòu)形式—雙向加筋板船體結(jié)構(gòu)[J].船舶工程,2004,26(1):22-25.