基于擴(kuò)展DDA算法的圓弧插補(bǔ)程序設(shè)計(jì)

李 芬，王海濤，常 勇，孫明軍，何宏宏，宮迎輝

（1.煙臺(tái)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)控技術(shù)系，煙臺(tái) 264006；2.北京機(jī)械工業(yè)自動(dòng)化研究所，北京 100120）

0 引言

針對(duì)用戶而言，零件加工程序僅描述該線形所必須的相關(guān)參數(shù)，直線僅描述起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，圓弧則僅提供起終點(diǎn)坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)等信息。單單給出這些信息是無(wú)法滿足數(shù)控機(jī)床控制執(zhí)行部件運(yùn)動(dòng)要求的，必須根據(jù)其運(yùn)行軌跡在已知信息點(diǎn)之間實(shí)時(shí)計(jì)算出滿足要求的中間點(diǎn)，這種在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)之間插入中間點(diǎn)的方法就是插補(bǔ)，其實(shí)質(zhì)就是數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化。插補(bǔ)的實(shí)現(xiàn)方法有很多，不同計(jì)算方法對(duì)應(yīng)不同的算法。目前應(yīng)用的插補(bǔ)算法基本可以分為兩類，一類是基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)，又稱為行程增量插補(bǔ)或脈沖增量插補(bǔ)，其插補(bǔ)方法有逐點(diǎn)比較法、數(shù)字脈沖乘法器法、數(shù)字積分法和最小偏差法等，其最主要的特點(diǎn)是插補(bǔ)計(jì)算的結(jié)果是以一個(gè)一個(gè)脈沖的方式輸出給伺服系統(tǒng)，或者說(shuō)產(chǎn)生的是單個(gè)的行程增量[1]。另一類是數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)，或稱為時(shí)間分割法，其插補(bǔ)方法有直接函數(shù)法、內(nèi)接弦線法和擴(kuò)展DDA法、內(nèi)外均差弦線法等，與基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)法不同，采用數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)時(shí)，在加工某一直線段或圓弧段的加工指令中必須給出加工進(jìn)給速度，先通過(guò)速度計(jì)算，將進(jìn)給速度分割成單位時(shí)間間隔的插補(bǔ)進(jìn)給量（或稱為輪廓步長(zhǎng)），又稱為一次插補(bǔ)進(jìn)給量，按上式計(jì)算出一次插補(bǔ)進(jìn)給量后，根據(jù)刀具運(yùn)動(dòng)軌跡與各坐標(biāo)軸的幾何關(guān)系， 就可求出各軸在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的插補(bǔ)進(jìn)給量，按時(shí)間間隔再以增量形式給各軸送出一個(gè)一個(gè)的插補(bǔ)增量，通過(guò)驅(qū)動(dòng)使機(jī)床完成預(yù)定軌跡的加工。

1 擴(kuò)展DDA算法圓弧插補(bǔ)原理

擴(kuò)展的DDA數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法是用割線代替切線來(lái)逼近圓弧，這樣可以在很大程度上提高插補(bǔ)精度，其插補(bǔ)精度在理論上高于內(nèi)接弦線法而低于內(nèi)外均差弦線法。但其算法要比內(nèi)外均差弦線法方便很多[3]。

以圓弧圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)明圓弧插補(bǔ)原理，插補(bǔ)原理如圖1所示。

圖1 圓弧插補(bǔ)原理

以加工第一象限圓弧AD為例，圓弧半徑為R，設(shè)現(xiàn)在刀具加工點(diǎn)Ai-1位置，線段Ai-1Ai是按原DDA圓弧插補(bǔ)，沿現(xiàn)加工點(diǎn)的圓弧切線方向的一個(gè)輪廓進(jìn)給步長(zhǎng)DL（=f），從圖中可以清楚看出，點(diǎn)Ai偏離圓弧要求的軌跡很遠(yuǎn)，產(chǎn)生的徑向誤差很大。本文所采用的擴(kuò)展DDA算法就是在原DDA算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正進(jìn)給方向得到的，具體計(jì)算步驟如下。

1）計(jì)算原DDA算法的一個(gè)進(jìn)給步長(zhǎng)終點(diǎn)坐標(biāo)Ai；

2）計(jì)算線段Ai-1Ai的中點(diǎn)坐標(biāo)B；

3）計(jì)算圓心坐標(biāo)O到點(diǎn)B長(zhǎng)度L1；

4）以坐標(biāo)O與圓心，L1為圓弧半徑，計(jì)算此圓弧在點(diǎn)B處的單位方向矢量；

5）計(jì)算B點(diǎn)的單位方向矢量在X和Z坐標(biāo)軸方向上的分量；

6）加工點(diǎn)Ai-1在X和Z坐標(biāo)軸上的進(jìn)給增量值DXi、DZi就是步驟5）求出的分量值。

7）計(jì)算刀具新加工點(diǎn)的坐標(biāo)值Xi= Xi-1+ DXi，Zi= Zi-1+ DZi；

通過(guò)推導(dǎo)可以證明Ai-1Ai與Ai-1Ai’相等，通過(guò)圖中的比較也可以明顯的看出，采用擴(kuò)展DDA后圓弧插補(bǔ)精度得到很大的提高。

2 程序架構(gòu)的選擇

實(shí)時(shí)性是一個(gè)數(shù)控系統(tǒng)必須滿足的要求，因此在程序設(shè)計(jì)階段就需要充分考慮這方面的因素，在架構(gòu)選擇上采用多線程方式，并行處理，各線程之間通過(guò)消息隊(duì)列進(jìn)行通信[4,5]。插補(bǔ)功能的實(shí)現(xiàn)分四部分構(gòu)成，即插補(bǔ)預(yù)處理、插補(bǔ)運(yùn)算、位置控制和插補(bǔ)輸出。架構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 插補(bǔ)程序架構(gòu)圖

插補(bǔ)預(yù)處理線程，主要負(fù)責(zé)把一個(gè)譯碼結(jié)果處理成插補(bǔ)運(yùn)算所需的結(jié)果。本線程主要完成圓弧圓心坐標(biāo)、圓弧坐標(biāo)、起始終點(diǎn)計(jì)算以及預(yù)讀下一段程序段，與當(dāng)前程序段一起進(jìn)行轉(zhuǎn)接點(diǎn)的計(jì)算，完成循環(huán)指令處理等，并發(fā)送插補(bǔ)預(yù)處理結(jié)果到插補(bǔ)運(yùn)算消息隊(duì)列。

插補(bǔ)運(yùn)算線程，主要針對(duì)插補(bǔ)預(yù)處理的結(jié)果進(jìn)行加減速和進(jìn)給增量的計(jì)算。

位置控制線程，主要進(jìn)行完成插補(bǔ)輸出脈沖與余量脈沖等的計(jì)算。

插補(bǔ)輸出，主要是根據(jù)工作模式完成硬件FPGA的數(shù)據(jù)寫入。

3 插補(bǔ)程序詳細(xì)設(shè)計(jì)

插補(bǔ)預(yù)處理與插補(bǔ)運(yùn)算線程是用軟件程序?qū)崿F(xiàn)圓弧插補(bǔ)的兩個(gè)重要線程，位置控制和插補(bǔ)輸出則是將插補(bǔ)運(yùn)算結(jié)果輸出到硬件，以控制和驅(qū)動(dòng)執(zhí)行元件的兩個(gè)線程。

插補(bǔ)預(yù)處理是讀取譯碼結(jié)果進(jìn)行處理，處理后輸出插補(bǔ)結(jié)果。因此數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)需要建立譯碼數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和插補(bǔ)運(yùn)算的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，另外預(yù)處理過(guò)程需要對(duì)上一段、當(dāng)前段和下一段代碼進(jìn)行分析，以前還需要段的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在此只介紹插補(bǔ)運(yùn)算的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如下所示：

該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)也是用于發(fā)送消息到插補(bǔ)運(yùn)算線程的結(jié)構(gòu)。

插補(bǔ)預(yù)處理線程首先進(jìn)行變量的初始化，之后進(jìn)入for循環(huán)，在for循環(huán)中先要進(jìn)行緩沖區(qū)的初始化并進(jìn)行消息隊(duì)列的讀取，如果沒(méi)有消息，則循環(huán)讀取。有消息后還需要進(jìn)行查詢，若隊(duì)列中消息少于一定數(shù)量，則還需要通知譯碼線程進(jìn)行譯碼。讀取的消息內(nèi)容放置在緩沖區(qū)中，之后再放入當(dāng)前段數(shù)據(jù)區(qū)。圓弧插補(bǔ)預(yù)處理的過(guò)程就是根據(jù)當(dāng)前段數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷，結(jié)合圓弧給定的條件計(jì)算出起始點(diǎn)坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)和圓弧半徑等，并根據(jù)這些計(jì)算圓弧上起點(diǎn)與終點(diǎn)間弦線長(zhǎng)度、弦線中點(diǎn)坐標(biāo)、圓心到弦線中點(diǎn)距離及當(dāng)前終點(diǎn)的方向矢量，當(dāng)前段數(shù)據(jù)處理完后，還需要讀入下一段程序進(jìn)行處理，計(jì)算內(nèi)容與上一段基本相同，根據(jù)上一段終點(diǎn)的方向矢量與下一段起點(diǎn)的方向矢量進(jìn)行C刀補(bǔ)計(jì)算，獲得兩軌跡轉(zhuǎn)接點(diǎn)坐標(biāo)值。并將當(dāng)前段數(shù)據(jù)及轉(zhuǎn)接點(diǎn)數(shù)據(jù)發(fā)送給插補(bǔ)運(yùn)算線程。

插補(bǔ)運(yùn)算線程，首先進(jìn)行加減速的計(jì)算，之后再進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，插補(bǔ)運(yùn)算的過(guò)程就是按照?qǐng)A弧插補(bǔ)原理計(jì)算下個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的過(guò)程，也就是根據(jù)步驟求出X軸和Z軸方向進(jìn)給增量值的過(guò)程；計(jì)算增量值的過(guò)程首先需要考慮的就是進(jìn)給的方向，即先進(jìn)行方向判斷，進(jìn)給方向采用單獨(dú)的變量來(lái)表示。每次計(jì)算新加工點(diǎn)坐標(biāo)后都需要進(jìn)行終點(diǎn)判斷，如果到達(dá)終點(diǎn)則停止，反之則重復(fù)步驟繼續(xù)進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算。插補(bǔ)運(yùn)算線程與位置控制線程之間同樣采用消息隊(duì)列進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：

位置控制線程與插補(bǔ)輸出線程負(fù)責(zé)將各軸插補(bǔ)過(guò)程中對(duì)上次的余量與本次的增量進(jìn)行判斷處理，以使各軸都每一步長(zhǎng)都輸出合適脈沖或不輸出，確保兩軸聯(lián)動(dòng)的軌跡與實(shí)際軌跡相比在允許的誤差范圍內(nèi)。位置控制線程通過(guò)發(fā)送消息隊(duì)列方式發(fā)送數(shù)據(jù)到插補(bǔ)輸出線程，插補(bǔ)輸出線程則根據(jù)接收的數(shù)據(jù)，進(jìn)行判斷處理后寫入硬件設(shè)備，用于驅(qū)動(dòng)和控制運(yùn)動(dòng)元件。相比于插補(bǔ)預(yù)處理和插補(bǔ)運(yùn)算線程，位置控制線程與插補(bǔ)輸出更注重實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性，是最終的軟件輸出部分，代碼比較精簡(jiǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文是基于擴(kuò)展DDA算法進(jìn)行的圓弧插補(bǔ)程序設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)過(guò)程中充分考慮到數(shù)控系統(tǒng)對(duì)實(shí)時(shí)性高的特點(diǎn)，采用了多線程處理方式，可有效的解決插補(bǔ)周期問(wèn)題，提高進(jìn)給速度。但圓弧插補(bǔ)算法的程序只能是應(yīng)用程序的一部分，具體的編寫內(nèi)容要受到硬件平臺(tái)和所選用的實(shí)時(shí)操作系統(tǒng)限，但插補(bǔ)算法的原理是相通的，熟悉一種平臺(tái)程序編寫后可方便的修改到另一種平臺(tái)或系統(tǒng)下運(yùn)行。擴(kuò)展DDA算法的圓弧插補(bǔ)在程序?qū)崿F(xiàn)上很簡(jiǎn)單，但要實(shí)際應(yīng)用還需要很多的工作要做，數(shù)控系統(tǒng)的程序是一個(gè)綜合的內(nèi)容，不僅涉及到譯碼、插補(bǔ)運(yùn)算還要有刀補(bǔ)處理、間隙補(bǔ)償?shù)鹊絻?nèi)容，本文僅僅是針對(duì)擴(kuò)展DDA算法的圓弧插補(bǔ)的算法給出簡(jiǎn)單的程序?qū)崿F(xiàn)。

[1]李恩林.插補(bǔ)原理[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,1984.

[2]李赫林,方健.機(jī)床數(shù)控技術(shù)[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,2001.

[3]顏雁鷹.時(shí)間分割法插補(bǔ)運(yùn)算[J].應(yīng)用科學(xué),2008,55-56.

[4]孫程建.基于Linux的嵌入式數(shù)控系統(tǒng)底層軟件設(shè)計(jì)[D].武漢科技大學(xué).

[5]朱達(dá)宇.基于RTLinux的全軟件數(shù)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)[D].四川大學(xué).