用邁克耳孫干涉儀測量厚透明材料折射率

徐文韜，李全偉，李吉驁，周 進，周惠君

（南京大學 物理學院，江蘇 南京210093）

1 引 言

邁克耳孫干涉儀作為一種高精度的光學儀器，在實驗中有多種用途．如：測量激光的波長［1］，測量透明材料的折射率［2］，測量溫度場分布［3］，等等．

物理實驗課程中，邁克耳孫干涉儀測量玻璃折射率主要是利用出現白光干涉條紋的零光程條件［4－6］．由放入玻璃片前后出現白光0級干涉條紋的位置，得到增加的光程．再測量玻璃片的厚度，可計算得到玻璃的折射率［7］．然而，這種方法測量透明固體折射率尚有不足：a．用白光調節出干涉條紋難度很大；b．所得到的折射率是混合光的折射率，無法得到透明固體介質對單色光的折射率．考慮到介質色散，誤差不容忽視；c．白光相干長度小，要求待測樣品要盡量薄．

我們研究了實驗中一些特殊現象的成因，并且提出了測量厚透明固體折射率的方法．該方法主要利用在光路中一半視場放入平行待測材料后，對應的干涉條紋出現壓縮，調節反射鏡，對比不放玻璃板和放入玻璃板條紋陷入和漲出，得到待測透明介質的折射率．

2 理論推導

邁克耳孫干涉儀原理如圖1所示，由于補償板的“完美”補償，在普通邁克耳孫干涉儀中，光程差滿足：

式中：n0是空氣的折射率，可近似取n0＝1，dm是M1與M2′之間的距離，θ為入射光線與中心光線的夾角．增加λ／2項時表示考慮半波損失，反之不考慮．為方便起見，本文中將一律忽略λ／2項．

圖1 邁克耳孫干涉儀光路圖

假設現在邁克耳孫干涉儀兩臂已調至等光程（Δ＝0），在光臂M1中平行于 M1放置平行玻璃板（厚度為db），如圖2所示，增加的光程為

設移動動鏡M1（圖2箭頭所指為正方向）距離為dm，這樣兩光臂的光程差為

產生干涉亮條紋的條件應為

利用折射定律n sinθ′＝n0sinθ以及基本三角公式，將（4）式化簡，并舍去θ2以上高階小量，可得產生的干涉亮條紋角度θ滿足：

相鄰亮紋之間k相差1，則有：

同時得到不加玻璃片時：

在用激光進行邁克耳孫干涉實驗時，若移動動鏡M1使兩臂光程差縮小，則等傾干涉圓條紋將向內縮進；反之，條紋將漲出．

圖2 平行待測樣品對光路的影響

在兩臂調至等光程的邁克耳孫干涉儀中平行于M1放入玻璃板時，由于玻璃板折射率大于空氣折射率，此時顯然光臂M1的光程大于光臂M2的光程．然而此時移動動鏡M1向內（使光程差減少），條紋漲出；向外移動 M1，條紋縮進．出現了與之前不同的規律．

事實上，在不加玻璃片時

由于θ2?1，這就要求kλ與dm異號，這樣當｜dm｜縮小也減小，θ2值變小?θ變小，對應條紋縮進；反之，｜dm｜增大，增大增大，對應條紋漲出．

加入玻璃片后，由（5）式得

當dm增大時，θ2增大，對應動鏡M1向內時，條紋漲出；dm減小時，θ2減小，對應動鏡M1向外運動，條紋縮進．縮進漲出分界點為

3 實 驗

3．1 借助調定零光程測玻璃對單色光折射率

在用白光調至零光程出現等傾圓條紋時，平行于M1放入玻璃板（如圖3）恰過干涉條紋的圓心覆蓋一半視場．用激光器（He－Ne，632．8 nm）代替白光照射，視場中左半邊一片紅，右半邊出現等傾干涉圓條紋［如圖4（a）］．向外移動動鏡M1，左邊條紋漲出，右邊條紋縮進．當dm＝－（1－1／n）db時，兩邊干涉條紋會拼成1個完整的干涉圓條紋［如圖4（b）］，測量db，讀取dm，則可求出此玻璃對紅光（632．8 nm）的折射率n．

將總厚度為24．491 mm光學玻璃（3塊冕牌玻璃，厚度分別為：8．141，8．201，8．149 mm）放入光路中．初始調至零光程時，動鏡位置讀數為30．267 01 mm；利用 He－Ne激光器并調節動鏡使兩半干涉條紋拼成1個完整的干涉圓條紋時．讀數為34．406 32 mm．這樣，可計算得玻璃板（冕牌玻璃）對紅光（632．8 nm）的折射率為：

圖3 實驗裝置示意圖

圖4 實驗觀測條紋

實驗數據如表1所示，由表1得出平均折射率為n＝1．511，查閱文獻［5］得到的冕牌玻璃的折射率對波長656．3 nm 為1．513 89，對波長589．3 nm為1．516 30，符合很好．若近似取1．514為對波長632．8 nm的折射率，得到偏差僅為2×10－3．

表1 實驗數據

3．2 只用單色光源測量介質對單色光的折射率

上節中所述方法仍然利用了白光找基準零光程，可以不利用白光，只利用He－Ne激光器測定折射率．

注意對于不同的db，使兩半視場條紋重合移動的dm不同，可以不用調出確切零光程的位置，只通過測量玻璃板不同厚度時兩半條紋重合的位置（玻璃板由少到多，過程中動鏡只向一個方向移動），位置與玻璃板的厚度應有線性關系，通過對數據的擬合可以逆推出初始零光程位置求出玻璃的折射率．相關實驗數據如表2所示，擬合直線如圖5所示，擬合直線與y軸交于點30．294 20，求得的折射率平均值為1．512．不同厚度玻璃板對應的圖樣如圖6所示．

表2 利用單色光源測量介質折射率

圖5 擬合后曲線

圖6 不同厚度玻璃板時兩邊條紋重合時圖樣

4 討 論

實驗誤差主要來源于兩半條紋重合時位置判定的誤差．結合實測的實驗裝置數據，可對實驗誤差作如下估計：

不考慮測量db帶來的誤差，則

為了更直觀地表現動鏡移動0．01 mm后與原來兩邊條紋重合時的差異，用Zemax進行模擬．采用Zemax中的NSC模式對本實驗進行模擬，所有玻璃材質采用K9材料（即冕牌玻璃），2塊補償板厚度為8．000 0 mm，光路中加入的玻璃板厚度為24．000 0 mm，相關位置參量：

光源（632．8 nm）：（0 mm，0 mm）；分束板的第二面中心：（200 mm，0 mm）；補償板第二面中心：（250 mm，0 mm）；鏡 M2中 心：（300 mm，0 mm）；玻璃板中心：（220 mm，60 mm）．

取K9材料對632．8 nm的光的折射率為1．515 1，根據文中的理論，動鏡 M1的y軸坐標為104．079 5時，兩邊Δθ2值相等，編寫ZPL程序，兩邊條紋重合（圖7）；在104．089 8附近（改變0．01 mm）微調，可看出兩邊的差異（圖8）．

圖7 理論模擬圖像

圖8 改變0．01 mm后模擬圖

本實驗方法上有一些不足：一是調出等傾干涉圓條紋比較困難（保證 M2鏡與 M1完全垂直）；二是實驗中，圓條紋的中心會有小幅移動，需對實驗裝置進行微調；三是條紋較粗，對于兩半條紋符合要求時的點的判斷較難．

5 結束語

本文針對邁克耳孫干涉儀實驗中的一些現象進行了分析，解釋了這些現象的成因，并且由此設計了一種測量透明固體介質對單色光的折射率的方法．實驗得到了較為理想的結果．此方法無需對邁克耳孫干涉儀改裝，并且在一定厚度范圍內僅需提高待測透明板的厚度便可提高實驗的精度，可以測量液體的折射率、透明介質的色散等．

［1］ 肖文波，何興道，朱泉水，等．利用邁克耳孫干涉儀測量激光波長的誤差分析［J］．實驗室科學，2010，13（5）：86－87．

［2］ 鄧小燕，喬硚，潘永華，等．邁克耳孫干涉儀中補償板與干涉條紋［J］．物理與工程，2006，16（2）：29－32．

［3］ 溫學達，劉釗，周惠君，等．利用邁克耳孫干涉儀重建蠟燭火焰溫度場［J］．物理實驗，2007，27（6）：44－47．

［4］ 潘元勝，馮璧華，于瑤．大學物理實驗第二冊修訂版［M］．南京：南京大學出版社，2004：137．

［5］ 趙凱華．光學［M］．北京：高等教育出版社，2004：130－134．

［6］ 馬科斯·玻恩，埃米爾·沃耳夫．光學原理［M］．楊葭蓀，等譯．北京：電子工業出版社，2005：278－280．

［7］ 宋立爾．用邁克耳孫干涉儀測量氣體固體折射率［J］．物理實驗，1983，3（6）：272－273．