基礎數學的一些過去和現狀*

文/席南華

中國科學院數學與系統科學研究院 北京 100190

談論整個數學或基礎數學的發展趨勢已經超出一個人的能力，龐加萊和希爾伯特被認為是數學領域最后兩個全才，后來還有一些杰出的數學家如馮諾依曼、柯爾莫格羅夫和I.M.格爾方德等對純數學和應用數學都做出了巨大的貢獻，但現在這樣的數學家也很難尋到了。

基礎數學大致分為代數（含數論）、幾何、分析（基于微積分的數學）3部分，但看一看前幾屆國際數學家大會的報告目錄及其分組就知道現代數學的分支繁多，各部分間的融合與交叉也是日趨深入。有些方向是非常活躍的，如代數幾何、數論、表示理論、動力系統、偏微分方程、幾何分析、調和分析、微分幾何、復幾何、拓撲、組合、數學物理等等。

數學是研究數與形的科學，也研究結構。邏輯支撐著數學的大廈，而其本身也是數學研究的對象，與計算機科學密切相關。

1 數學理論的起始

形是容易感知的，我們一睜開眼睛就會看到各種各樣形狀的物體。數卻是一個抽象的概念，但其形成也有很長歷史了。據考證和研究，人類在洞穴時代就已有數的概念了，若干動物也有數的概念。剛開始時，實際的需要產生了加法、減法、乘法、除法等運算，長度、面積等概念。到公元前3000年，數學的應用范圍就很廣了，如稅收、建筑、天文等。數學從理論上系統研究始于古希臘人，在公元前600年至公元前300年期間，代表人物有畢達哥拉斯、歐幾里得等。歐幾里得的《幾何原理》采用公理化體系系統整理了古希臘人的數學成就，2000多年來一直是數學領域的教科書，其體系、數學理論的表述方式和書中體現的思維方式對數學乃至科學的發展影響深遠。

2 數和多項式方程及相關的數學分支

我們認識數學基本上都是從數開始的，然后是簡單的幾何與多項式方程。數中間有無窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數學家和業余愛好者。多項式方程是從實際問題和數的研究中自然產生的。在對數和多項式方程的認識和探究過程中，代數、數論、組合、代數幾何等數學分支逐步產生。

2.1 素數

素數有無窮多個，在《幾何原理》中有一個優美的證明。素數是數學永恒的研究對象，而且是最難以琢磨的數學研究對象，很多最為深刻的數學都與素數（或其復雜的其他形式如素理想等）有關。我們熟知的孿生素數猜想和哥德巴赫猜想，到現在仍未解決，目前最好的結果是陳景潤的。但奇數哥德巴赫猜想由維諾格拉多夫于1937年基本解決。哈代-利特伍德猜想是比孿生素數猜想更為復雜的猜想。

對于素數在自然數中的比例，有著名的素數定理，曾是勒讓德的猜想（1808年），阿達瑪和德拉瓦勒-普森最先分別證明該定理（1896年）。1949年賽爾伯格和厄爾迪斯分別給出素數定理的初等證明。這是賽爾伯格獲1950年菲爾茲獎的重要工作之一。

2004年陶哲軒和本·格林合作證明了存在任意長的等差素數數列。這項工作極大地激發了人們對解析數論的新熱情，也是陶獲2006年菲爾茲獎的重要工作之一。

18世紀歐拉對素數有無窮多個給出了深刻的證明，他用到無窮級數1+2－1+3－1＋…的發散性。他還對實數s考慮了級數1+2－s+3－s＋…。1859年，為研究素數的分布，黎曼對復數s考慮這個級數，證明了它可以延拓成復平面上的亞純函數，現稱為黎曼ζ函數，給出了函數方程，建立了這個函數的零點和素數分布的聯系，提出了著名的黎曼猜想。該猜想斷言黎曼ζ函數的零點除平凡的外實部均為1/2。黎曼對素數和ζ函數的研究影響深遠。一般認為，黎曼猜想是數學中最有名的猜想，也是克雷數學研究所懸賞百萬美元的千禧年問題之一，自它提出之時起就在數學研究中占有突出位置，很多問題與它有關，還與算子代數、非交換幾何、統計物理等有深刻的聯系，在阿達瑪和德拉瓦勒-普森對素數定理的證明中起關鍵作用。

黎曼的工作對L函數和代數幾何也有巨大的影響。L函數已是數論的一個中心研究對象，與分析、幾何及表示論的聯系極深，其在一些特殊點的值含有很多深刻的算術信息。我們先從狄利赫列的L函數說起。

2.2 L函數和朗蘭之綱領

對有限循環群的特征，狄利赫列構造了與黎曼ζ函數類似的函數，現稱為狄利赫列L函數。利用這些函數，他證明了一個有趣的結論——很多算術數列含有無限多個素數。具體說來就是：如果兩個正整數a和m互素,那么算術數列a+m，a+2m，a+3m...，a+km，...里有無窮多個素數。

后來阿丁對數域的有限擴張域的伽羅華群的表示，類似地也定義了一類L級數并解析延拓得到一個L函數,現稱為阿丁L函數。利用這些L函數,他證明了交換類域論里面很有名的阿丁互反律。上個世紀六七十年代朗蘭之想把阿丁的工作延伸到非交換的類域論去。雅各和朗蘭之對p進域上的簡約代數群的不可約表示和整體域上的簡約代數群的自守表示也定義了L函數。朗蘭之給出了一系列猜想，這就是現在非常熱鬧的朗蘭之綱領。

這個綱領的中心是函子性（functoriality）猜想，該猜想描述了不同代數群的自守表示之間深刻的聯系。函子性猜想蘊涵了很多著名的猜想，如阿丁猜想、拉瑪努金猜想、佐藤-塔特猜想等。函子性猜想的一個重要特殊情況是朗蘭之互反律，或說朗蘭之對應。通過整體域上簡約代數群的自守表示定義的L函數稱為自守L函數。還有一種L函數稱為模體(motivic)L函數，是哈塞-韋伊L函數的推廣，包括阿丁L函數和哈塞-韋伊L函數。本質上朗蘭之綱領的中心問題就是證明所有的模體L函數均是自守L函數。

在最簡單的情形下，函子性猜想就是阿丁互反律，類域論的實質。函子性猜想僅在一些很特別的情形得到證明，離完全解決遙遠得很。但對函數域上的一般線性群，拉佛格在2002年證明了朗蘭之的互反律猜想（即建立了朗蘭之對應），并因此獲得當年的菲爾茲獎。2010年發表的基本引理的證明也是這個綱領中的一個巨大進展。有意思的是來自代數群表示論的仿射斯普林格纖維和因研究可積系統而產生的希欽纖維化之間的聯系在吳寶珠的證明中起一個關鍵的作用。吳寶珠因其對基本引理的證明獲得2010年的菲爾茲獎。

研究函子性猜想的重要工具是賽爾伯格-亞瑟跡公式。賽爾伯格跡公式于1956年得出，與黎曼ζ函數的聯系導致他引進了賽爾伯格ζ函數。賽爾伯格跡公式后由亞瑟在1974—2003年間做出各種推廣，它在數學物理中也有很好的應用。

2.3 一元高次方程和群論

人們很早就會解一元一次和一元二次方程，一元三次和四次方程的公式解在16世紀被找到。在嘗試得到更高次方程的根式解時，數學家的探索失敗了，其中包括18世紀一流數學家拉格朗日。答案原來是否定：1824年挪威數學家阿貝爾證明了五次及更高次的方程一般沒有根式解。稍后法國數學家伽羅華給出的證明影響深遠，一個重要的數學分支——群論因此而誕生。我們可以簡單說一下伽羅華的證明。5個人排隊的排法有120種，一種排法按另一種方法重排就會產生第三種排法，于是這120種排法成為一個群，而且是不可解的，所以五次及更高次的方程一般沒有根式解。

群論的影響幾乎遍及整個數學，在物理、化學及材料科學中有很多應用，是研究對稱的基本工具。1872年克萊因提出著名的埃爾朗根綱領，用群來分類和刻畫幾何，對幾何發展影響巨大。拓撲學中同調群和同倫群是極重要的研究工具和研究對象。代數幾何中阿貝爾簇是一類特別重要的幾何對象。很多空間具有一些自然的群作用，從而可以作相應的商空間。這些商空間在幾何、數論和表示論中極其重要。齊性空間和志村簇是其中兩類例子，幾何不變量則是一個有關的重要數學分支。

群論自身的研究同樣是非常深刻的。上世紀一項偉大的數學成就是對有限單群的分類。這是一項龐大的工作，第一個證明主要的工作發表于1960—1983年期間，前后有100多位數學家參與，發表了數百篇論文，總長度超過10000頁。到2004年，群論專家完成第二個證明，總長度也達到5000頁。現在，他們正試圖進一步簡化。湯普森因其在單群分類中的杰出工作于1974年獲菲爾茲獎，他最出名的工作是與費特合作證明了伯恩賽德猜想：非交換的有限單群的階是偶數，論文發表于1963年，占了《太平洋數學雜志》整個一期。阿西巴赫因其在有限單群分類的杰出工作獲2012年沃爾夫獎。在有限單群中有一個非常大的單群，稱為魔群，其中元素的個數大約是8×1053，與數學中的月光猜想密切相關。1992年波謝茲證明了這個猜想，為此他引進了廣義卡茨-穆迪代數，與他人一起引進了頂點算子代數。現在，這些代數都是重要的研究對象。主要因為這項工作，波謝茲于1998年獲菲爾茲獎。

如果把所有整系數的一元多項式方程的根放在一起，我們得到一個數的集合，比有理數全體大，稱為有理數域的代數閉包。有理數域的代數閉包的絕對伽羅華群及其表示的研究是現代數學尤其是數論中極其重要的研究課題。

如果一個數不是任何整系數一元多項式的根，則稱這個數是超越數，π就是一個超越數。超越數的研究也是數論的重要組成部分，貝克爾曾因對超越數的研究獲得1970年的菲爾茲獎。一些自然產生的數如某些無窮級數的和與某些函數的值等是否為超越數是人們特別感興趣的。

在群論中，李群和代數群的理論與其他數學分支的聯系十分廣泛和深刻。群表示論，尤其是李群和代數群的表示論是現在非常活躍的分支。李群和代數群的離散子群特別有意思，與數論和遍歷論等分支的聯系極為密切，馬古利斯因其在半單李群的離散子群上的深刻工作獲1978年的菲爾茲獎。

2.4 不定方程和數論

不定方程是數論研究的中心對象之一。直角三角形三邊的關系X2+Y2=Z2就是一個不定方程，它與圓方程類似。它有很多的整數解，勾三股四弦五就給出一組。一般的解很容易給出：X=a2-b2,Y=2ab,Z=a2+b2，其中a,b是任意整數。高次的情形就是方程Xn+Yn=Zn，其中n是大于2的整數。1637年，費馬在一本書內的邊頁寫道他有一個此方程無非平凡整數解的證明，但太長，邊頁空白處寫不下。人們怎么也沒找出費馬說的那個證明，一般認為費馬在書中注記說的證明可能有問題，于是此方程無非平凡整數解成為一個猜想，稱為費馬大定理問題。這個猜想一直吸引著數學家的強烈興趣，費馬本人對4次的情形的證明流傳下來，3次的情形是歐拉在1770年證明的，5次的情形于1825年由勒讓德和狄利赫列獨立證明，等等。19世紀庫莫對這個問題的研究導致了代數數論的誕生。1920年，莫德爾提出一個猜想：有理數域上虧格大于1的代數曲線的有理點只有有限多個。這個猜想被法爾廷斯于1983年證明，它蘊含了費馬的方程在n比2大時至多存在有限多個本原整數解。法爾廷斯主要因此獲得1986年的菲爾茲獎。費馬大定理最后在1995年被外爾斯證明，這是上個世紀一項偉大的數學成就。代數數論現在是非常有活力的數學分支。

在外爾斯對費馬大定理的證明中，橢圓曲線起了關鍵的作用。橢圓曲線的方程其實很簡單：Y2=X3+aX+b，其中a,b是常數，如1，2等等。它們有群結構，在射影空間中的幾何圖形就是環面，與汽車輪胎一個形狀。對橢圓曲線也能定義L函數。BSD猜想斷言這個L函數在一處的值與橢圓曲線的群結構密切相關。這個猜想是克雷數學研究所懸賞百萬美元的千禧年問題之一，自然是數學的研究熱點之一。

BSD猜想還和一個古老的問題有關。如果考慮方程X2+Y2=Z2的正數解，那么解是一個直角三角形的3個邊長。有一個古老的問題：什么時候這個三角形的面積XY/2是整數，而且X,Y,Z都是有理數。這樣的整數稱為和諧數（congruent number）。數組（3,4,5）和（3/2,20/3,41/6）是方程的解，所以6和5都是和諧數。塔奈爾1983年的一個結果告訴我們，如果BSD猜想成立，有可行的計算辦法判定一個整數是否為和諧數。

2.5 多項式方程和代數幾何

我們已經看到解方程，哪怕是一個一元的或簡單的二元方程，都不是容易的事情，其研究給數學已經而且還要帶來巨大的發展。多項式方程組的求解顯然更為困難，甚至一般說來是毫無希望的。我們需要換一個角度，把一組多項式方程的零點集看作一個整體，就會得到一個幾何空間，稱為簇。研究簇的數學分支就是代數幾何，一個龐大深刻又極富活力的分支。我們讀中學時就知道，一個二元一次方程和直線是一回事，X2+Y2=1則是單位元圓周的方程。代數幾何的蹤跡可以追溯到公元前，17世紀笛卡爾建立的解析幾何可以看作是代數幾何的先聲。

代數幾何的中心問題是對代數簇分類。但這個問題太大太難，現階段尚無希望完全解決，人們只能從不同的角度考慮更弱的問題。一維的情形是代數曲線，其分類很容易，在19世紀就知道光滑的射影曲線可以用它們的虧格來分類，這時還有著名的黎曼-洛赫定理。大約在1885—1935年期間，代數幾何史上著名的意大利學派對二維的情形研究了分類，也得到了二維情形的黎曼-洛赫定理。意大利學派的特點是幾何直觀思想豐富深刻，后期的工作嚴格性不足。后來，上個世紀四五十年代韋伊和查里斯基用新的語言嚴格表述代數幾何的基礎。小平邦彥和沙法列維奇及其學生在上個世紀60年代重新整理了代數曲面的分類。小平在代數幾何和復流形上的工作十分有影響，早在1954年，他就獲得菲爾茲獎，沙法列維奇在代數數論和代數幾何上都做出重要的貢獻，有著名的沙法列維奇猜想，至今未解決。

曼福德和龐比利在上個世紀六七十年代把意大利學派對曲面的分類工作做到了特征p域上。曼福德在代數幾何方面的貢獻是多方面的，構造了給定虧格的曲線的模空間、幾何不變量的研究等，因為這些貢獻，他于1974年獲菲爾茲獎。龐比利則因其在解析數論、代數幾何和分析數學上的杰出工作于1974年獲菲爾茲獎。

三維情形的分類直到上個世紀80年代才由日本數學家森重文完成，他因此于1990年獲菲爾茲獎。如何把這些分類的工作推廣到高維的情形是非常活躍的研究方向。

前面提到的黎曼-洛赫定理是極其重要的定理，它計算了某些函數空間的維數。1954年希茨布茹赫把它推廣到高維，現稱為希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理。這是他最為人知的工作，其實他對拓撲、復分析和代數幾何都做出過重要的貢獻，1988年獲沃爾夫獎。希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理很快被格羅登迪克進一步推廣成格羅登迪克-希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理。為此，格羅登迪克定義了K群，這是K理論的開始。后來阿梯亞和希茨布茹赫發展了拓撲K理論，它被阿梯亞和辛格用于證明阿梯亞-辛格指標定理。希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理也是1963年出現的阿梯亞-辛格指標定理的先聲。阿梯亞于1966年獲菲爾茲獎，這個指標定理是他最為有名的結果。K理論已成為代數、數論、幾何、拓撲等分支的重要工具，奎棱因為在上個世紀70年代建立了高階K理論而于1978年獲菲爾茲獎，沃爾沃茲基因其對米爾諾關于K群的一個猜想的證明和相關的工作獲得2002年菲爾茲獎。

對有限域上的代數簇，韋伊1949年提出了一個猜想，其中一部分可以看做黎曼猜想在有限域上的形式，對以后代數幾何的發展影響巨大，包括塞爾和格羅登迪克在代數幾何上的工作。上世紀五六十年代格羅登迪克用概型的語言改寫了代數幾何，在此基礎上極大地發展了代數幾何，包括為證明韋伊猜想而建立的l進制上同調理論。他于1966年獲菲爾茲獎。其思想和工作對代數幾何與數學的發展影響深遠。1974年格羅登迪克的學生德林用l進制上同調證明了韋伊猜想中的黎曼假設部分并主要因此于1978年獲菲爾茲獎。

如果一個代數簇有奇點，那么很多對研究無奇點代數簇有效的工具就失效了。1964年広中平祐找到一個辦法解消奇點，為此于1970年獲得菲爾茲獎。幾何中的奇點很有意思，常常蘊含豐富的信息，與其他的分支有出人意料的聯系，如舒伯特簇的奇點和李代數的表示的聯系就是一個例子。

2.6 群和李代數的表示理論

前面我們看到因為一元高次方程的研究產生了群論，它的應用很廣泛。很多時候，群是通過它的表示從而應用到其他分支和領域。表示在數學中間是隨處可見的，比如說我們熟悉的多項式環，分析里面的平方可積函數空間，拓撲里面的上同調群和K-群等等，就有豐富的表示結構。在物理和化學中也很常見，例如在單粒子模型中，單電子的軌道波函數生成三階正交群的表示，自旋波函數生成二階酉群的表示。上個世紀60年代吉爾-曼用三階酉群的十維表示預言了Ω粒子的存在，后來很快被實驗證實。

群表示理論是一個龐大而且非常活躍的研究領域，在數學和物理中應用廣泛。李群和代數群在單位遠處的切空間是李代數，可以看做李群和代數群的線性化。李代數和相關的代數如頂點算子代數等及其表示同樣在數學和物理中應用廣泛。有限群的表示可以通過其群代數的模來研究。過去幾十年，代數的表示論有很大的發展，尤其是林格爾發現代數表示論與量子群的聯系之后。I.M.格爾方德似乎對這個領域有獨特的感受，曾經說“所有的數學就是某類表示論”(All of mathematics is some kind of representation theory)。他是偉大的數學家，從研究的廣度和深度來說，上個世紀后半葉能和他相提并論的數學家是非常少的，他對表示論做出的貢獻廣泛深刻。

表示論的基本的思想有兩點：一是對稱，二是線性化。這個領域關心的主要問題有：最基本的表示的性質，如分類、維數、特征標等；一般的表示如何從最基本的表示構建；如何構造最基本的表示；一些自然得到的表示的性質；等等。大致說來表示論就是要弄清楚這些事情。

表示論一直吸引著最優秀的數學家，早期如索菲斯·李、E.嘉當（陳省身先生的老師），外爾，后來有I.M.格爾方德、哈里西-錢德拉、賽爾伯格等，現在有朗蘭之、卡茲但、俊菲爾德、拉佛格、路茲梯格、吳寶珠，等等。奧昆寇夫的工作揭示了概率論、表示論和代數幾何之間的一些深刻聯系，并因此獲2006年菲爾茲獎。

表示論過去幾十年的發展可能給人印象最深的是幾何方法在代數群和量子群表示理論中的運用并由此產生的幾何表示論、用表示論研究數論的朗蘭之綱領和一個平行的幾何朗蘭之綱領、李（超）代數及其表示的發展與在理論物理和數學物理中的應用（包括標準模型），還有近20年的一股范疇化潮流。另外，傳統的李群表示理論、代數表示論和有限群的模表示理論也是很活躍的。這些依然是表示論的主要研究方向。幾何中的相交上同調、反常層理論和K理論在表示論中的運用給表示論帶來巨大的進展，很多困難的問題得到解決，也帶來了很多新的研究課題。這個方向的一個代表性人物是路茲梯格。正是用幾何的方法，他建立了有限李型群的特征標理論，或許這是目前有限群表示理論中最為深入的部分。

2.7 計數、集合論和數理邏輯

計算物品的數量是我們日常生活經常要做的事情。對有限集合，確定其中元素的個數理論上不是問題，一個一個地數就行了。組合論的一部分就是研究計數，和數論密切相關。但對無限集合，事情顯然并不簡單。例如某人有個面積無窮的王國，國土增加一兩平方公里對他顯然沒意義。無限集合的計數理論是德國人康托在19世紀后半葉建立的，稱為集合論。其中一個核心的概念是等勢：如果兩個集合之間能一一對應，則稱為等勢。有意思的是，自然數集合和有理數集合等勢，但與實數集合不等勢。1874年，康托提出有名的連續統假設：實數集合的任何無窮子集要么與實數集合等勢，要么與自然數集合等勢。1940年哥德爾證明了這個假設與現有的公理體系不矛盾。上世紀60年代，科恩建立了強有力的力迫法，證明了連續統假設之否與現有的公理體系不矛盾，他因此獲得了1966年的菲爾茲獎。

現代數學是建立在集合論上的，集合論也是數理邏輯的重要組成部分。連續統假設表明，我們的邏輯體系并不能對每個陳述斷定真偽。事實上更早以前就有各種各樣的悖論和哥德爾的不完全定理表明數學邏輯體系的危機。數學家為補救這些缺陷做了巨大的努力，這包括羅素和懷特海德的3大卷《數學原理》等。羅素獲得1950年的諾貝爾文學獎。與數理邏輯密切相關的一個問題是P和NP問題，這是克雷數學研究所的千禧年問題之一，也是理論計算機科學領域最有名的問題。簡單說，P和NP本質上問的是如下事情：給了一些整數，能否有很快捷的方法（即多項式時間算法）判斷這些整數的某一部分的和為零。

模型論是數理邏輯的一個分支，在代數和代數幾何有深刻的應用，有些代數幾何結果是最先用模型論發現并證明的。1996年赫魯曉夫斯基用模型論證明了函數域上的莫德爾-朗猜想，名噪一時。

3 形與幾何、拓撲

最簡單的形無疑是線段、直線、多邊形、多面體、圓、球、橢圓、拋物線、雙曲線等，它們也是幾何與拓撲的起點，人類很早就研究它們了。我們做一個簡單的游戲：多邊形的頂點的個數等于邊的個數，多面體的面的個數加上頂點的個數等于棱的個數加2。后一個等式稱為歐拉公式，雖然并不是歐拉最早發現的。這些公式被認為是拓撲學的起源。拓撲學研究幾何空間的整體性質，就是說那些在連續變形下不變的性質，是數學的主流分支，在數學的其他分支和物理中的應用極其廣泛，有時是研究一些問題必不可少的工具，如廣義相對論中的一般性的時空奇點定理就是彭羅斯把拓撲學引入廣義相對論而證明的。

如果把多面體的棱角磨平，再整理一下，我們就得到球了。歐拉公式本質上是說球面的歐拉示性數等于2。一個幾何空間的歐拉示性數是通過空間的同調群定義的。球面當然是一個光滑的曲面。對于一般的光滑曲面，有高斯-伯內特公式，它把歐拉示性數和曲面的曲率聯系起來，從而把微分幾何與拓撲聯系起來，非常深刻，對以后數學的發展影響很大。上世紀40年代，阿冷多爾費爾和韋伊把它推廣到高維的情形。陳省身對高維情形的高斯-伯內特公式的證明則是整體微分幾何的一個開端，影響深遠。

上面提到同調群，它們是研究拓撲的主要手段之一，也是代數拓撲研究的主要對象之一。基于不同的目的，人們定義了各種各樣的同調群和上同調群。在好的空間如流形上，這些（上）同調群都是一樣，而且有著名的龐加萊對偶。但對有奇點的空間，如何定義好的（上）同調群，花了人們很長的時間。直到上個世紀80年代，高熱斯基和曼可菲森才找到對空間奇點研究很有意義的一種上同調，稱為相交上同調。后來伯恩斯坦、貝林森和德林3人用層的語言處理相交上同調，形成了反常層理論。很快相交上同調和反常層理論成為研究代數幾何、拓撲和表示論的強有力工具。夫洛爾同調在低維拓撲和辛幾何中是有力的研究工具，它是夫洛爾為研究辛幾何中的阿諾德猜想而引進的。

同調群中有一些特別的元素對研究認識空間的幾何結構非常重要，這些元素就是示性類。最著名的示性類有陳類、史提芬-惠特尼類、龐特列亞金類等。對光滑的復代數簇的德拉姆上同調，其中一些元素稱為霍奇類。代數幾何中一個未解決的主要問題是霍奇猜想，它斷言霍奇類都是一些代數圈類的有理線性組合，這也是克雷數學研究所的千禧年問題之一。

圓和球是我們熟悉的基本形狀，在數學上的意義非凡。圓周在三維空間的嵌入稱為紐結。通俗說來紐結就是一根首尾相連的柔軟繩子，在不弄斷繩子，也不打結的情況下，它在三維空間中的各種樣子。紐結理論是拓撲學中非常活躍的分支，一個重要的問題是尋找紐結不變量。20年代發現的亞歷山大多項式是紐結不變量，紐結補的基本群是紐結不變量，稱為紐結群。70年代，瑟斯頓把雙曲幾何引入紐結的研究中，從而定義了新的有力的不變量。80年代瓊斯發現了新的多項式不變量——瓊斯多項式。威騰和孔策維奇等人一系列的后續工作則揭示了紐結和統計力學、量子場論之間的深刻聯系。瓊斯多項式是瓊斯1990年獲菲爾茲獎的重要工作之一。圖拉耶夫等人用量子群研究紐結，得到新的不變量，很有影響。以上是圓周給我們帶來的深刻數學的一部分。下面我們看一下高維的情形——球面。

關于球面，最有名的應該是龐加萊1904年提出的猜想，它斷言一個單連通的閉三維流形與球面同胚。在2003年被解決前，這個猜想是拓撲學中的一個中心問題。在此之前，數學家做過很多的努力。既然三維的情形證明不了，人們就對高維的情形考慮類似的問題。1961年，斯梅爾證明了當維數大于4時，高維的龐加萊猜想成立，他因此獲得1966年的菲爾茲獎。1982年弗里德曼對四維的情形證明了龐加萊猜想，于是他獲得1986年的菲爾茲獎。龐加萊猜想最后在2003年被佩雷曼證明，這是轟動一時的結果，標志著數學中一個大問題的終結，也是克雷數學研究所7個千禧年問題中到目前為止唯一被證明的。佩雷曼證明這個猜想所用的工具是非常有意思的，那就是幾何分析。幾何分析是微分幾何與微分方程的交叉學科，丘成桐、哈密頓等人在其中的建立和發展起了突出的作用，是一個有力的工具，也是非常活躍的研究方向。2007年布仁德爾和舍恩用幾何分析的方法證明了微分球定理，是流形理論中一個重要結論。

球面帶來的深刻數學還很多。1956年，米爾諾發現七維球面上有非標準的微分結構。這一發現對拓撲學的發展影響很大，是米爾諾最有名的工作，也是他1962年獲菲爾茲獎的主要工作之一。六維球面是否有復結構則是困擾數學家很多年的一個問題，至今未解決。球面的同倫群也是拓撲學研究的重要問題，至今未完全解決。上世紀50年代初，塞爾成功計算了球面的很多同倫群，這是他獲1954年菲爾茲獎的重要工作之一。同倫群現在仍是拓撲學研究的一個主要方向。

在幾何與拓撲中，一個基本問題是對流形分類。流形有各種各樣的，如拓撲流形、微分流形、復流形、黎曼流形、辛流形、無窮維流形，等等，這里面的問題和結果都是非常豐富的。閉二維拓撲流形是曲面，其分類很早就知道，結果很漂亮：同構類由曲面的虧格完全確定。曲面的虧格就是曲面所圍的空洞的個數，如汽車輪胎是虧格為一的曲面，它只圍了一個空洞。三維流形的研究中，瑟斯頓的工作非常重要，他發現雙曲幾何在三維流形的研究中起突出的作用。瑟斯頓提出的幾何化猜想是比龐加萊三維球面猜想更廣泛的猜想，后與龐加萊猜想一起得到證明。瑟斯頓因其在三維流形上的開創性工作獲得1982年的菲爾茲獎。

4 切線、面積、速度、加速度等和微積分、分析數學

我們會求一些簡單圖形如多邊形、圓等的面積，也會求圓的切線，但對更復雜的圖形，這就不是一件容易的事情了。在物理中，對于非勻速運動，求加速度和路程同樣不是一件容易的事情。對這些問題的探索最后導致牛頓和萊布尼茲在17世紀分別獨立建立了微積分。用微積分我們能輕易求出一些復雜圖形的面積、體積，確定物體的加速度、路程，π的精確值等等。微積分及在其上發展起來的分析數學成為認識和探索世界奧秘最有力的數學工具之一，為數學帶來全面的大發展，促進了很多新分支的產生如解析數論、實分析、復分析、調和分析、微分幾何、微分方程等等。

微積分的基本概念有極限、微分和積分，分析數學的基本研究對象是函數。1927年物理學家狄拉克在研究量子力學時引進了δ函數，它不是經典意義下的函數，給當時的數學家帶來很大的困惑。許瓦茨建立的分布理論使得δ函數變得容易理解并能嚴格處理，他因此獲1950年的菲爾茲獎。分布理論在現代偏微分方程理論中極其重要。

正弦函數和余弦函數都是周期函數。傅立葉認為它們是描述周期運動的基本函數并在19世紀初建立了相應的理論，現稱為傅立葉分析。傅立葉分析及其更一般的理論調和分析是內容非常豐富且應用很廣泛的數學分支。如果注意到正弦和余弦函數可以看作圓周上的函數并把單位圓周與模長為一的復數等同起來，就知道傅立葉分析與李群表示論是密切相關的。卡爾松因其在調和分析上的重要工作于1992年獲沃爾夫獎，特別是他理清了函數與其傅立葉級數表示的關系。陶哲軒在調和分析上的工作也是他獲菲爾茲獎的工作的一部分。李群和拓撲群上的調和分析是一個重要的分支，與泛函分析密切相關，在數論中的深刻應用使人驚嘆。

大自然很多的奧秘是通過微分方程表述的，描寫電磁運動的麥克斯韋方程，描寫微觀世界的薛定諤方程，描寫流體運動的納維爾-斯托克斯方程，描寫宏觀世界的愛因斯坦方程等等。這些方程都是非線性微分方程，有很多人研究，納維爾-斯托克斯方程是否有整體光滑解則是克雷數學研究所的千禧年問題之一。

在線性偏微分方程上，赫曼德的工作可能是最深刻和突出的，他因此獲得1962年的菲爾茲獎。P.L.里翁斯在非線性方程上的杰出工作使他獲得了1994年的菲爾茲獎。丘成桐發展一些強有力的偏微分方程技巧用以解決微分幾何的一些重要問題如卡拉比猜想等，在這些工作的基礎上，幾何分析逐步發展起來。因為這些工作，丘獲得1982年的菲爾茲獎，另外，他的工作在理論物理和數學物理中有極大的影響。偏微分方程領域引人入勝的深刻問題比比皆是，一流的數學家很多，如拉克斯、卡發熱利等等。

只有一個獨立變量的微分方程稱為常微分方程，很多這類方程來自經典力學，如牛頓第二定律，獨立變量很多時候就是時間。混飩理論來自常微分方程的研究。事情起源于19世紀末，自17世紀以來人們一直試圖弄清太陽系行星運行軌道的穩定性。如果只有兩個星球，那么牛頓的萬有引力定律很容易導出星球的軌道行為，但太陽系是多體的，極其復雜。龐加萊想先把三體問題解決，但發現問題太困難，清楚寫出微分方程的解是沒希望的，只能考慮解的定性研究，結果發現解的混沌性。對一些微分方程的解混沌性，有一個通俗的說法——蝴蝶效應，意指在一定的約束下，剛開始時很小的差別可以導致后來巨大的差異。混沌理論的應用十分廣泛，氣象預報是其中之一。三體問題的一個冪級數解在1912年由遜德曼給出，但對初始值有很強的要求，而且收斂得很慢。遜德曼的結果被王秋東（音譯）在1991年推廣到多體的情形，但沒考慮奇點問題。

常微分方程解的定性研究與動力系統密切相關。太陽系的運動是一個動力系統（運動和力之間關系的系統），由萬有引力決定，所以是一個常微分方程的動力系統，龐加萊對太陽系和三體問題的研究是動力系統史上非常重要的工作。動力系統是很活躍的研究領域，其中一個研究方向是復動力系統，研究函數的迭代。約科茲因其在動力系統的杰出工作獲1994年菲爾茲獎。曼克木棱在復動力系統方面的重要工作是他獲1998年菲爾茲獎的原因之一。部分因其在動力系統方面的重要工作，斯米爾諾夫獲得2010年菲爾茲獎。研究有不變測度的動力系統的分支稱為遍歷論，與調和分析、李群及其表示、代數群、數論有密切的聯系。林德施特勞斯因其在遍歷論中的出色工作獲得2010年的菲爾茲獎，另外馬古利斯獲1978年菲爾茲獎的工作中遍歷論起了重要的作用。

在19世紀對常微分方程的研究導致了李群和李代數的誕生，后者在數學和物理中的應用廣泛深刻。

無限維空間上的分析是泛函分析，巴拿赫空間和希爾伯特空間及其上面的算子是基本的研究對象，其中的希爾伯特空間對量子力學有著基本的重要性。泛函分析重要的一支是算子代數，與表示論、微分幾何等有深入的聯系。孔內斯因對一些算子代數的分類獲得1982年的菲爾茲獎。他還把泛函分析引入非交換微分幾何的研究中。高韋爾斯主要因其在巴拿赫空間上的重要工作獲1998年的菲爾茲獎。

5 數學物理

物理一直是給數學發展帶來最為強大推動力量的學科，在這里有著無窮無盡的問題，提供非常鮮活、生動的思想，它永遠給數學帶來很多特別深刻的東西。弦理論、量子場論和規范場論是非常活躍的領域。弦理論能統一4種基本的作用力，把量子力學和相對論統一起來。卡拉比-丘流形在超弦理論中非常重要，因為額外的時空被認為是六維卡拉比-丘流形。楊-米爾斯理論是一種規范場論，共形場論則是一種量子場論。

上個世紀80年代初期，唐納森利用楊-米爾斯理論中的方程的一類特別的解，稱為瞬子，研究四維流形的微分結構，證明了一大類四維流形沒有光滑結構，而有些則有無窮多的微分結構。唐納森因其在四維流形上的開創性工作獲得1986年的菲爾茲獎。結合他的結果和弗里德曼關于四維流形分類的結果，1987年陶貝斯證明了四維歐氏空間有不可數多的微分結構。注意我們生存的三維空間加上一維的時間就是四維歐式空間，而其他維數的歐式空間則僅有一種微分結構。瞬子在數學和物理中都有很多的用處，楊-米爾斯理論在數學上則可能是最受重視的規范場理論，是否對任意的緊單的規范群在四維歐式空間存在質量間隙非負的量子楊-米爾斯理論是克雷數學研究所的千禧年問題之一。

在共形場論的研究中，群論、李代數、頂點算子代數、維那索拉代數等代數結構是描述對稱的工具，十分重要。

也是在上個世紀80年代初，數學物理中對量子可積系統和楊-巴克斯特方程的研究導致了俊菲爾德和神保（相互獨立）在上世紀80年代中期定義了量子群，隨后引發了世界范圍的研究熱潮，產生了很多深刻的結果如典范基和晶體基，新的紐結不變量等，引出很多新的研究問題。俊菲爾德因其在量子群和表示論上的工作獲1990年菲爾茲獎。

在過去幾十年的數學物理進展中必須提到威騰的工作，他帶來很多新的深刻思想，在數學和物理中架起橋梁，為相關研究方向帶來全新的面貌和很多問題，給數學和物理兩者都帶來巨大的影響，因為其深刻的工作他于1990年獲得菲爾茲獎。在對兩個假設的量子場論作比較時，威騰對代數曲線的模空間提出一個猜想，后被孔策維奇證明。同樣基于量子場論的考慮，威騰認為存在一些可通過某些積分計算的紐結和三維流形不變量，此事后被孔策維奇證實。這些工作影響很大，是孔策維奇獲得1998年菲爾茲獎的部分主要工作。

近年來，統計力學及相關的研究方向包括隨機過程等非常活躍，有很多突出的進展，2010年維那尼因其關于波爾茲曼方程和蘭道阻尼的工作獲得費爾茲獎，斯米爾諾夫獲費爾茲獎的部分工作也與統計力學有關。

6 結束語

以上對基礎數學進展的介紹是很不全面的。不過，從以上的介紹可以看出，數學的發展始終貫穿在對基本問題和基本對象的探索認識中。好的問題對數學的發展起了巨大的推動作用。在數學研究中，我們需要考慮好的問題，基本的問題，同時要有好的數學思想。寫完這篇文章后，一個強烈的感受是在數學的發展中，我國做出的貢獻太少。缺乏好的傳統和數學思想乃至背后的哲學思想和思考可能是一個重要的原因，在這些方面我們還有很大的差距。可能我國已有很多數學家感受到我們還未形成中文數學的思考體系和語言體系，對數學的認識仍然很不足，在努力成為數學強國的路途上我們有很多的東西需要彌補，需要時間，需要國家的支持，更需要數學家的努力。

1 M.克萊因.古今數學思想(1-4卷).北京大學數學系翻譯.上海：上海科學技術出版社,2009.

2 亞歷山大洛夫AD等.數學:它的內容方法(1-3卷).孫小禮,趙孟養,裘光明等譯.北京：科學出版社，2010.

3 Weil A.History of mathematics:why and how，proceedings of the international congress of mathematicians.Helsinki,1978,1:227-236.

4 國外數學名著系列（影印版）.北京：科學出版社，2006年及以后.

5 國際數學家大會論文集.http://mathunion.org/ICNY

6 克雷數學研究所的7個千禧問題.http://mathunion.org/ICM/

7 維基百科.http://www.claymath.org/millennium/

8 Reid C.Hilbert.New York:Springer-Verlag,LLC，1996.

9 王元.華羅庚.南昌：江西教育出版社，1999.

10 張奠宙,王善平.陳省身傳（修訂版）.天津：南開大學出版社，2011.

11 Poincaré H.Mathematics and Science Last Essays.Biblio Bazaar,2009.

12 Hardy G H.A Mathematician’s Apology.Cambridge:Cambridge University Press,1940(第一版)，1992年(Canto版).中譯本：一個數學家的辯白.