概率統計的研究與發展*

文/鞏馥洲

中國科學院數學與系統科學研究院 北京 100190

1 概率統計的戰略地位與發展趨勢

概率統計是研究隨機現象數量規律的數學學科，包括隨機現象的數學理論，以及如何有效地收集、整理和分析相關數據，并對所考察問題做出推斷或預測[1]。

隨著計算機技術等高技術的迅速發展，各種高性能數據的收集設備和手段不斷更新，使人們可以針對許多復雜事物和現象直接獲得形式多樣的海量復雜數據。這也使得“數據驅動”式的科學研究成為時代的潮流，即直接利用海量復雜數據，研究傳統方法和手段失效的復雜事物和現象，發現隱藏其中的復雜結構和科學規律[2]。值得指出的是，一方面這些形式多樣的海量復雜數據之間存在著很高的相依性和聚集性，使其整體呈現出與隨機性數據類似的性質；另一方面，由于各種未知的不可控因素對復雜事物和現象以及相關的數據收集設備的影響，使得絕大多數的海量復雜數據本身就是隨機性數據。因此，對海量復雜數據進行“數據驅動”式科學研究，離不開概率統計的理論與方法。

概率統計中的概率論主要研究和發展關于隨機現象的數學理論，其主要目的是揭示蘊藏在隨機現象中的結構和規律，同時也為統計理論與方法提供理論基礎[1]。

與大部分數學分支的起源不同，概率論起源于對賭博問題的研究。概率論的創始人分別是16世紀末的意大利數學家卡丹諾（G.Cardano）和17世紀的法國數學家帕斯卡（B.Pascal）、費馬（P.Fermat）以及瑞士數學家雅各-伯努利（J.Bernoulli）。人們逐漸發現，許多領域都存在與賭博中出現的輸贏現象相似的重要隨機現象，概率論也就被應用到更多領域中，從而極大擴展了其應用范圍。19世紀末，波爾茨曼（L.Boltzmann）和吉布斯（J.W.Gibbs）建立的統計力學，運用大量隨機運動的粒子解釋了氣體的性質，成為用概率論解釋自然現象的一個巨大成功。20世紀初，受統計力學研究的刺激，人們開始研究隨時間變化的隨機現象，形成了有廣泛應用的隨機過程理論。1900年龐加萊的學生巴夏里埃（L.Bachelier）首先研究了“投機理論”，并建立了布朗運動的模型，其后愛因斯坦以及控制論創始人維納（N.Wiener）分別建立了布朗運動的物理模型與數學模型。1906年俄羅斯數學家馬爾可夫（A.Markov）提出了馬爾可夫鏈的概念。1933年蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫為概率論奠定了嚴密的數學基礎，給出了概率空間的公理化定義。這是概率論發展史上的一個重要里程碑，為概率論的迅速發展鋪平了道路[3]。柯爾莫格羅夫也因包括這一工作在內的一系列杰出貢獻于1980年獲得沃爾夫數學獎。1939年法國數學家溫勒（J.Ville）提出了鞅的概念。1942年日本數家伊藤清開創了隨機分析。

概率論不僅在后來的發展中越來顯示出它在眾多領域的應用性和實用性，而且對很多基本應用問題的研究也推動了概率論的迅速發展。例如，2006年菲爾茲獎得主奧克恩科夫（A.Okounkov）的獲獎工作解決了與弦物理學有關的一個重要數學問題。在此過程中，他建立了概率論、表示論和代數幾何之間的橋梁。該工作不僅揭示了概率論與數學中多個表面上不相關分支之間的深刻聯系，而且也為弦物理學中一些重要問題的解決提供了新的思想。同年另一個菲爾茲獎得主陶哲軒（T.Tao）的獲獎工作解決了一個長期懸而未決的著名數論難題[4]。在此過程中，他利用了概率論的思想和動力系統的多重遍歷理論。同時，他的工作也刺激了概率論學者進一步研究馬爾可夫過程的多重遍歷理論。利用動力系統理論和偏微分方程理論，維拉尼（C.Villani）解決了流體力學中的朗道阻尼和非平衡統計力學中波爾茲曼方程的長時間行為這兩個難題，并因此獲2010年菲爾茲獎[5]。他的研究大量借鑒了概率論中泛函不等式和最優輸運理論的思想和方法。

概率論和社會經濟相互促進發展的經典范例之一，就是資產定價與風險度量理論的建立與廣泛應用。資產定價與風險度量問題是經濟金融領域長期以來受到普遍關注的重大問題，1971年以前的近百年一直未得到很好的解決。1972年布萊克（F.Black）和斯科爾斯（M.Scholes）利用隨機微分方程來描述資產價格的變動，并基于此給出了資產定價與風險度量的內在形成機制，提出了著名的Black-Schole公式，創造性地解決了資產定價和風險度量問題，極大地促進了現代金融業的發展壯大。斯科爾斯因此獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。同時，由于資產定價與風險度量理論使用伊藤清建立的隨機積分理論，伊藤清被稱為“華爾街最有名的日本人”，他因此獲得了1987年的沃爾夫數學獎及2006年國際數學家大會新設的高斯獎[4]。另外，資產定價與風險度量理論的深入研究也推動了概率論的進一步發展。例如，山東大學彭實戈院士因發展了用于刻畫動態風險度量的非線性數學期望及相應的隨機分析理論，應邀在2010年國際數學家大會做大會報告[5]，成為首位獲此殊榮的國內數學家。概率論和工程技術等領域也相互促進發展，例如自動化領域著名的卡爾曼濾波器設計的理論基礎之一就是隨機過程理論，而濾波理論也推動了馬爾可夫過程理論中布萊克威爾（A.Blackwell）猜測和庫尼塔（H.Kunita）問題的提出與研究。信息技術領域的復雜網絡理論與概率論極為密切。互聯網、無線通訊網以及物聯網甚至包括基因調控網和蛋白質相互作用網等大規模網絡及其上的信息與物質流動，都是不斷發生變化的且在整體上呈現出于與隨機變動類似的行為。因此，建立相應的隨機過程模型并利用概率方法進行分析，并基于此開展復雜網絡工程的設計成為研究網絡最好的模式[6]。

從上述事實可以看出，概率論進一步與數學其他分支、自然科學、工程技術以及社會經濟等領域相互促進發展仍是其主要發展趨勢。特別是，隨著這些領域“數據驅動”式的科學研究成為時代的潮流，將越來越需要概率論為這類研究提供理論基礎，其研究重點集中在與海量復雜數據處理與分析有關的概率問題上。

概率統計中的統計學主要研究和發展有效地收集、整理和分析相關數據的理論與方法，并對所考察問題做出推斷或預測，其理論基礎是概率論[1]。它的主要目的是提取和挖掘隱藏于數據背后的結構和科學規律，并對相關的過去或未來進行推斷。因此，統計學需要關注推斷方法和所得結論與實際的吻合程度。

近代統計學的產生和發展與生物學研究密切相關。英國遺傳學家高爾頓（F.Galton）受達爾文進化論的影響，從1860年開始首先研究甜豆的遺傳，他發現，甜豆子代直徑的平均會趨向于全部甜豆直徑的平均。這不僅很好地解釋了經歷繁衍甜豆的總體不發生變化的原因，而且也成了線性回歸方法研究的起源。他在1884年的倫敦世博會上建立了測量站，測量了數千人的人體數據，并于1886年發表的文章中給出了一張相當于正態相關曲面的表，用來比較父母雙方平均身高與子女身高的關系。在他的促使下，迪克遜（H.Dickson）對這些數據開展了最早的相關性研究。高爾頓因此被公認為生物計量學的奠基人。接著，卡爾·皮爾遜（K.Pearson）以討論正態曲線和相關性為起點，定義了標準差、直方圖、眾數和相關系數等統計學的基本概念。他還提出了卡方檢驗的方法，用來檢驗觀測數據與正態曲線吻合的程度。20世紀20年代，卡爾·皮爾遜的兒子埃貢·皮爾遜（Egon Pearson）和紐曼（J.Neyman）合作，利用概率論建立了一般假設檢驗的數學理論，使得人們可以利用觀測數據來判斷它們是否服從某種科學規律。這極大地改變了統計學的面貌，使統計學完成了從描述統計到統計推斷的革命性轉變[3]。

從歷史上看，統計學中很多的開創性工作都是從研究非常具體的實際問題開始的。例如，英國統計學家戈塞特（W.Gosset）開創的小樣本統計理論，就始于他對釀酒中使用的麥子質量的研究。另外，費歇爾開創性地提出的試驗設計之隨機化原則，就始于他對農業試驗的研究。試驗設計隨機化原則后來的應用具有十分重要的影響。

到了現代，隨著人們研究的事物和現象越來越復雜，要求也越來越精細，描述數據內在規律的概率統計模型也越來越復雜。事實上，參數估計已發展為半參數與非參數估計，模型已由線性擴展到非線性，數據也由獨立改變為相依。這方面一個很好的例子就是，資產定價與風險度量中Black-Schole公式里刻畫價格風險因子的識別問題。然而，解決這一問題就需要對價格變動過程中積累的大量的條件異方差的與相依的復雜數據之間的相互關系進行識別與分析。由于處理這個問題需要的統計學理論與方法超出了當時統計學的范圍，致使10年間未有進展。直到1982年恩格爾（R.Engle）創造性地提出了統計學中時間序列分析的新模型——ARCH模型，才成功地解決了資產定價與風險度量中風險因子的識別與估計問題，他因此獲2003年諾貝爾經濟學獎。

另外，近些年來一個值得注意的事實是，自然科學、社會經濟和工程技術領域獲得的數據在規模和類型上都發生了巨大變化，統計學面臨著與以往完全不同的新問題。例如，歐洲核子研究中心（CERN）的大型強子對撞機（LHC）平均每天產生數據約4萬億個字節[7]。同時，美國國家生物技術和信息中心（NCBI）的基因庫早已收錄了1億多條記錄，1千多億個堿基[8]。由于人們缺乏對這類海量復雜數據背后復雜現象的理解而不具備提出合理科學假設的能力，所以，在面對這類海量復雜數據時，人們無法事先假設隱藏其中的科學規律。這就需要人們開展“數據驅動”式研究，即從這類海量復雜數據中直接發現新的結構和科學規律，而不是先對隱藏在這類海量復雜數據中的結構和科學規律提出合理假設，然后再利用這類數據進行假設檢驗。這種情況未曾有過，其對統計學的已有理論與方法提出了嚴峻的挑戰。

2 現代概率論研究的主要方向與發展狀況

自從柯爾莫哥洛夫為概率論奠定了嚴密數學基礎后，不但其理論迅速發展，而且研究方向也快速增加。一些方向繼續為統計學提供所需的理論基礎，另一些則大量使用數學其他分支的思想方法，側重于直接研究許多領域中可轉化為隨機結構的問題，形成了現代概率論豐富多彩的研究局面。

2.1 隨機分析

20世紀40年代，從美國數學家杜布系統地研究一般的鞅以及日本數學家伊藤清引入隨機積分概念開始，經過幾代學者的努力形成了現代概率論的隨機分析研究方向。隨機分析借鑒數學中分析學的思想方法研究隨機過程的局部結構和整體特征，被稱為是“具有隨機趣味的分析學”。隨機分析主要包括一般半鞅理論、隨機微分方程、隨機偏微分方程、馬列奧萬（P.Malliavin）分析與隨機微分幾何以及狄氏型理論等[9]。其在數學其他分支、力學、物理、化學、生物與醫學、經濟金融、管理科學以及工程技術等領域有廣泛應用。

一般半鞅理論研究，目前集中在3個方面：（1）利用半鞅理論中擴大過程信息流的方法，研究含有信用風險等道德風險的資產定價與風險度量問題；（2）依據行為金融學中的情景理論，重新研究資產定價和風險度量問題；（3）對長記憶與強關聯的隨機過程類，包括可描述復雜網絡上信息傳輸過程的分數維布朗運動等，發展它們的隨機積分理論。

隨機微分方程研究，目前集中在兩個方面：（1）在系數僅滿足某種非李普希茨條件時，研究隨機微分方程解的基本性質，以及利用隨機分析方法，研究系數僅具有弱正則性時常微分方程解的基本性質；（2）動力系統與不確定環境耦合后動力學行為變化特征的研究。這其中包括了隨機動力系統以及目前最受國際數學界關注的隨機勞威納演化（Stochastic Loewner Evolution,SLE）研究。我們稍后介紹隨機勞威納演化情況。值得特別強調的是研究如下情況的重要性。目前，我們可以大量獲得關于宇宙深處天體的海量復雜數據，然而，對該天體周圍環境的物理力學狀況幾乎一無所知，僅根據宇宙學知道在不與環境耦合時它的動力系統描述方式。事實上，類似情況在自然科學領域廣泛存在。這與以往動力系統研究的狀況完全不同，需要結合獲得的海量復雜數據，借鑒隨機分析、動力系統和統計學的思想方法，發展適合的理論與方法，研究這些動力系統與不確定環境耦合后動力學行為的變化特征。

隨機偏微分方程的研究，目前相對集中在這樣的方程，它們是力學、物理以及工程技術等領域的重要偏微分方程，但帶有隨機驅動噪聲。（1）研究這類方程解的存在唯一性以及遍歷性等基本性質。這其中具有挑戰性的是隨機噪聲退化的情況，目前僅有不多的研究成果，需要發展新的隨機分析理論；（2）研究與這些方程有關的控制問題，其中一些問題具有很強的挑戰性。比如，處于隨機復雜環境中的傳感器網絡與智能機械等柔性和彈性系統都是典型的無窮維隨機系統，而對這些系統的分析與控制是必不可少的。雖然，實際工程控制都是通過對有限維離散模型的控制來實現的，然而，為了給出精度更高的實際控制模型和控制器設計方法，需要對描述這些系統的隨機偏微分方程組進行分析。經典的分析與控制理論在柔性和彈性系統的分析與控制方面有很大的局限性，因此發展新的研究框架、思路和方法刻不容緩。特別地，需要研究隨機的熱傳導與非線性雙曲守恒律系統描述的波傳播過程、隨機的牛頓與非牛頓流體和電磁流體的分析與控制，以及隨機復雜環境中非線性彈性模型和流體與彈性體耦合模型的控制及其應用。在上述問題中，僅限于所涉及隨機偏微分方程組的可控性問題在數學理論上就極具挑戰性。

馬列奧萬分析與隨機微分幾何研究，目前相對集中在兩方面：（1）運用馬列奧萬分析與隨機微分幾何的基本方法研究數理金融學以及數學中分析學、有限維黎曼流形、有限維復流形等領域中的一些困難問題，比如，基礎資產價格或交易策略帶有強非線性約束的資產定價和風險度量，奇異擴散半群的Harnack不等式等；（2）研究無窮維線性空間和無窮維流形上的馬列奧萬分析與隨機微分幾何問題。例如，黎曼流形的Wasserstein空間上梯度流的研究。在這方面的研究中，具有挑戰性的是馬列奧萬矩陣算子非退化但其偽逆無界的情況，這是以前馬列奧萬分析與隨機微分幾何研究中幾乎未曾遇到的，需要開創性的研究思路與方法。

狄氏型理論的研究，目前相對集中在如下幾個方面：利用狄氏型理論，研究區域上Levy過程等跳躍型馬爾可夫過程的內在超壓縮性、熱核估計、邊界附近行為與相應的位勢理論，以及進一步深入研究非對稱擬正則狄氏型的Beurling-Deny型分解理論及其應用等。

現在，我們介紹關于隨機勞威納演化的情況。

為了研究復分析里著名的比伯巴赫（L.Bieberbach）猜想，勞威納（C.Loewner）于1923年引進了描述單參數共形映射形變的勞威納演化（Loewner Evolution，LE）。自20世紀80年代以來，共形場論（CFT）已成為理論物理與數學相互作用的主要物理分支。至今，它仍然在弦物理理論的發展中起相當重要的作用。從共形場論角度出發，許多物理學家預言或猜測，諸多來自統計物理的兩維模型其標度（Scaling）極限是共形不變的。這些模型包括滲流模型、自回避游走、Ising模型、FK模型與O（n）圈模型、去圈隨機游動（LERW）、均勻展開樹（UST）等。從1994年開始，一些數學家如Wolf獎得主R.Langlands等就試圖從數學角度理解滲流模型標度極限的共形不變性。為了研究上述模型共形不變的標度極限，首先必須回答，這些極限是怎樣的數學對象。2000年，微軟研究院的數學家施拉姆（O.Schramm）引進隨機勞威納演化，并推測這些極限可能是某個隨機勞威納演化。通俗地講，隨機勞威納演化是平面上具有共形不變性和一種馬爾可夫性的單參數隨機曲線族。引進隨機勞威納演化的原始動機，來自于尋找勞勒（G.F.Lawler）于1980年引進的去圈隨機游動的連續版本模型，而平面上共形不變隨機曲線的研究，則可以回溯到萊維1946年關于復布朗運動共形不變性的發現。沃納（W.Werner）、勞勒和施拉姆一起發展了隨機勞威納演化理論，深化了關于平面上共形不變的隨機曲線的理解和認識。他們嚴格證明了一些兩維空間上統計力學模型的標度極限具有共形不變性。自此隨機勞威納演化理論吸引了大批數學家和物理學家的興趣。這是因為，共形場論的出發點是假定兩維空間上離散的統計物理模型的標度極限具有共形不變性。因而，證明兩維空間上統計物理模型標度極限的共形不變性就變得意義重大而具有挑戰性。沃納因隨機勞威納演化的研究因此獲得了2006年菲爾茨獎[5]。同樣，因為隨機勞威納演化方面的杰出成就，斯米爾諾夫（S.Smirnov）獲得了2010年的菲爾茨獎[5]。目前，下述模型標度極限的共形不變性已被證明，它們是三角形格點上的滲流、去圈隨機游動、均勻展開、Harmonic Explorer與高斯自由場、Ising模型以及Ising random cluster模型。但是，大量兩維空間上統計物理模型標度極限的共形不變性還缺乏嚴格的數學證明。毫無疑問，繼續證明兩維空間上一些統計物理模型標度極限的共形不變性仍將是隨機勞威納演化理論的核心問題。另外，利用隨機勞威納演化理論理解或重建共形場論也會是一個重要的研究內容。最后，把隨機勞威納演化理論進行拓展，并用來理解兩維空間上統計物理模型在off-critical情形下的性質也將是一個重要的發展趨勢[10]。

2.2 馬爾可夫過程

馬爾可夫過程遍歷性研究，目前重點集中在具有重要實際背景而且研究難度較大的不可逆馬爾可夫過程上，特別是對一些不可逆典型過程的譜空隙進行研究和估計。例如，某些不可逆排隊論模型的遍歷性問題，特別是M/PH/1,PH/M/1等模型在位相無限時的一般遍歷性、指數遍歷性和強遍歷性；多物種模型的過程存在性、唯一性和相應的遍歷理論等。

馬爾可夫過程的衰減性與泛函不等式研究，其包括兩方面：（1）借鑒其遍歷性研究的豐富成果，建立衰減性的一套比較完整的理論，這也包括一些相應的泛函不等式；（2）研究具有非線性和非對稱性的隨機偏微分方程的泛函不等式、運費不等式和最優傳輸不等式；某些條件下生滅過程或一般Q過程的泛函不等式、修正Log Soblev不等式和相應的顯式判別準則；以及粒子之間相互排斥的連續型氣體模型的泛函不等式，比如修正的Log Soblev不等式和協方差估計等。

粒子系統與測度值過程及其遍歷性研究，包括：（1）利用擬正則狄氏型理論構造一般Polish空間上的粒子系統，并構造合理的測度值過程使其關于相對熵指數收斂到Poisson-Dirichlet分布；研究隨機流產生的超過程以及包括相關的Konno-Shiga方程在內的一類隨機偏微分方程解的軌道唯一性；（2）研究stepping-stone模型的遍歷行為，包括其泛函不等式和可逆性；研究有選擇的FV超過程的遍歷性和有移民分支過程的遍歷性和可逆性，以及選擇和重組模型與非平衡動力模型的極限行為；研究測度值過程和分支過程的大偏差等極限性質；利用Stein方法和耦合方法等，研究測度值過程和分支過程的極限和收斂性的上界估計。

隨機環境模型的研究，目前有兩個方面：（1）研究具有隨機移民的超布朗運動在Quenched概率下的中心極限定理和大偏差等性質，以及大偏差理論在通訊、排隊論中的應用；（2）研究隨機環境中隨機游動的一些挑戰性的基本問題，例如，在二維情形以及環境平穩、遍歷、一致橢圓、混合時隨機游動沿某方向運動的0-1率。目前，關于隨機環境中的隨機游動的研究在概率界是很活躍的。

馬爾可夫骨架過程研究，其是馬爾可夫過程的一種重要推廣，仍借鑒馬爾可夫過程的思想與方法。它的研究分兩個方面：（1）包括了排隊論中各種排隊過程模型在內的大量混雜隨機模型的馬爾可夫骨架過程的研究。這類馬爾可夫骨架過程由我國中南大學的侯振挺教授和合作者于1997年引入，目前的研究集中于該理論在金融保險和排隊理論中的應用。（2）大規模網絡上Web馬爾可夫骨架過程的理論及其應用的研究。Web馬爾可夫骨架過程是馬志明院士和合作者于2009年從萬維網搜索引擎設計的研究中提煉出來的一類新的重要隨機過程，囊括了離散時間馬氏鏈、Q-過程、更新過程等經典隨機過程以及一類新的重要隨機過程——鏡面半馬氏過程。它概括了萬維網中信息的輸入、傳輸和使用的基本特征，可用來描述互聯網上用戶的瀏覽過程，計算機病毒在互聯網中的傳播過程，以及計算機黑客對計算機網站進攻的演化過程等。除此之外，這類過程也可以用來描述寬帶無線移動通信網絡、傳感器網絡、物聯網和生物分子網絡等大規模網絡中信息的輸入、傳輸和使用過程，以及這些網絡上故障的傳播與擴散過程等。目前的研究相對集中在豐富和發展大規模網絡上Web馬爾可夫骨架過程的理論與方法，解決若干大規模網絡上搜索引擎設計、熱點信息挖掘以及故障的傳播與擴散現象等問題。上述的兩類馬爾可夫骨架過程互不包含，既有重疊又有區別。

2.3 非線性數學期望及相應的隨機分析

非線性數學期望的理論研究可追溯到上世紀50年代。1954年，法國數學家邵蓋（G.Choquet）提出了容度概念，并利用容度定義了一種現在被稱為Choquet-積分的非線性積分，它定義的期望就是一種非線性數學期望。這一理論目前在金融和經濟學中得到廣泛應用。70年代以來，這一理論被推廣為非可加測度和非線性數學期望理論。特別是近10多年，非可加測度和非線性積分理論的研究取得了一系列成果。1997年，山東大學彭實戈院士給出了定義非線性數學期望的新思路，即通過倒向隨機微分方程引入了非線性數學期望——G-期望與相應的條件G-期望的概念，在一定范圍內建立了動態非線性數學期望理論的基礎。近些年發現，G-期望是研究遞歸效用理論與金融風險度量的有力工具。G-期望保持了經典數學期望除線性性質之外的所有基本性質。但G-期望的研究仍然是基于給定概率空間的，并且關于維納測度由G-期望確定的概率族是絕對連續的。換言之，G-期望的研究沒有脫離概率空間。鑒于此，2005年彭實戈又提出了一般的非概率框架下由馬爾可夫鏈所產生的非線性數學期望理論。接著，他在2006年提出了G-正態分布和G-期望的概念。關于維納測度由G-期望確定的概率族一般并不絕對連續，但仍具有動態相容性。在這一框架下，他定義了G-期望下的G-布朗運動，建立了G-布朗運動的隨機積分，得到了相應的Ito-公式。這一概念受到數學家和金融學家的廣泛關注，可用它來研究證劵的收益率和波動率在不確定情形下金融風險的度量問題和隨機波動問題。在理論方面，它是柯爾莫哥洛夫概率公理體系的推廣。最近，彭實戈還證明了大數定律和中心極限定律，并給出了這些定律令人滿意的金融解釋。

關于非線性數學期望及相應的隨機分析研究目前相對集中在：進一步加強倒向隨機微分方程理論的研究；研究G-風險度量與其他風險度量之間的關系，為金融業選擇合適的風險度量工具提供理論依據；開展倒向重隨機控制系統的理論研究，以及各類反射倒向重隨機微分方程及相關的隨機偏微分方程理論研究，進一步刻畫重隨機干擾下隨機控制問題，包括最大值原理及動態規劃原理的研究；利用隨機分析的核心工具研究倒向隨機系統的濾波理論，進一步開展部分信息下隨機控制問題的研究，包括部分信息下隨機遞歸和隨機控制問題的最大值原理以及線性二次控制問題等。另外，G-期望是一個新興的研究方向，還處在初創階段，還有許多基礎理論問題尚未解決，需要進一步發展和完善G-期望下的隨機分析理論。

2.4 應用概率

應用概率研究的內涵和外延，一直隨著歷史和概率理論應用的發展而在不斷地變化和發展。下面將集中介紹近期受到概率界廣泛關注的幾方面研究，即隨機矩陣、隨機復雜網絡、滲流模型（Percolation Theory）和保險數學理論。

1933年6月國民政府制定了《各省（市）國民軍事訓練委員會暫行規程》，成立了國民軍事訓練委員會，其職責之一就是“考核全省（市）高中以上學校軍事教育之成績，并指揮監督其進行”［5］286。其后在11月頒布的《高級職業學校實施軍訓時數》中再次強調，“軍事訓練，在高中以上學校為必修科”［5］296。1934年國民政府將訓練童子軍作為中學生的必修課。1934年6月，國民政府教育部制定的《初級中學應以童子軍訓練為必修科》指出，“自二十三年度起，公私立初級中學，應以童子軍為必修科，修習時間定為三年”；而兒童因為年齡較小，在小學“辦理童子軍，仍應列為課外作業，無庸在課內一律實施”［5］301。

隨機矩陣研究始于1928年維希特（J.Wishart）關于多元統計分析的工作。上世紀30年代，中國數學家許寶騄在多元統計分析研究中獲得了許多重要結果，對隨機矩陣理論發展做出了重要貢獻。50年代，受到核物理和量子力學研究的重大推動，隨機矩陣理論在數學和理論物理兩個領域中都獲得了迅速發展[12]。隨機矩陣理論關注的核心問題是，刻畫滿足某種對稱性條件的高維隨機矩陣如下相關量的漸近分布，它們是：特征值和特征向量、最大特征值、特征值之間的間隙等。特別是它們的普適性問題，即不同類型的隨機矩陣模型的特征值和特征向量是否具有某種共同的漸近分布。1952年，物理學家維格納證明了高斯型厄米隨機矩陣模型（Gaussian Unitary Model）的特征譜測度弱收斂到半圓周律。隨后，又有一些其他類型隨機矩陣模型的特征譜和最大特征值的漸近分布被確定。非常有趣的是，蒙哥馬利（H.Montgomery）關于黎曼-ζ函數非平凡零點對分布規律的關聯猜想，被物理學家和隨機矩陣專家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）指出，其密度函數正好是高斯型厄米隨機矩陣模型特征值對的關聯密度函數。后來，奧德里茲科（A.M.Odlyzko）做了大量的數值計算，經過適當的歸一化后，驗證了黎曼-ζ函數非平凡零點的間距分布與高斯型厄米隨機矩陣模型特征值間距分布確實相同。這為蒙哥馬利所猜測的零點分布與隨機矩陣理論間的聯系提供了大量的數值證據，其被稱為蒙哥馬利-奧德里茲科定律（Montgomery-Odlyzko Law）。該定律說明，黎曼-ζ函數非平凡零點與一個典型隨機矩陣的特征值相對應。這與希爾伯特-波利亞猜測（Hilbert-Polya conjecture）很相似。這一猜想預言，黎曼-ζ函數非平凡零點與某個厄米算符（Hermitian operator）的特征值相對應。這促使一些學者利用隨機矩陣理論去研究著名的黎曼-ζ函數猜測。隨機矩陣理論目前的研究包括：隨機多項式、隨機全純函數及全純截面的零點分布，隨機矩陣與典型域上的積分理論，酉群上的Harish-Chandra-Itzkson-Zuber積分，以及隨機矩陣與曲線模空間上的相交理論等。

隨機復雜網絡理論始于1998年沃茲（D.J.Watts）和斯道格茲（S.H.Strogatz）在《自然》的一篇文章，在文章中引入了一個“小世界”網絡模型，用于描寫人際關系網絡。1999年，鮑勞巴希（A-L.Barabasi）和艾伯特（R.Albert）在《科學》上又發表了一篇文章，引入了無標度網絡的模型，用于刻畫互聯網和科學家之間合作關系的網絡。隨后，隨機復雜網絡研究便成為熱點。許多領域中都發現了這種網絡結構，比如基因調控網就是無標度網絡等[6]。這些大規模網絡是不斷地發生變化的，且從對它們的統計研究結果來看，它們整體上呈現出類似于隨機變動的行為。因此，可以選擇某個典型網絡的隨機模型來研究它們。隨機復雜網絡研究目前集中在3個方面：（1）利用現代概率論思想與方法研究小世界網絡、無標度隨機網絡和演化網絡等隨機復雜網絡的構造及特征性質；尋求新的方法來研究小世界網絡、無標度隨機網絡和演化網絡等隨機復雜網絡若干重要特征刻畫的解析表達式，探索構造演化網絡的新機制，建立更符合現實世界的網絡模型。（2）構建群體遺傳中新的隨機復雜網絡模型及其統計推斷方法，并應用于同物種內不同亞種生物進化歷史研究；利用隨機復雜網絡的概率特征，研究不同類型生物基因組和蛋白質組的差異和功能預測；利用隨機復雜網絡方法研究基因動態調控模型、非編碼區的遺傳功能及其與編碼基因的關系；利用隨機復雜網絡的形成機制與結構穩定性，構建干細胞等重要生物體的演化模型并研究它們的生物功能特征。（3）考察計算機病毒在互聯網或郵件網絡中的傳播與計算機黑客對計算機網站進攻的演化過程，SARS、禽流感和艾滋病等惡性傳染病在人群構成的復雜網絡中的傳播，以及信用風險與非法資金在金融機構形成的復雜網絡中的傳播和擴散等；建立描述復雜網絡中隨機過程的數學模型并研究其基本性質，要求其涵蓋上述現實網絡中重點關注信息的傳播和擴散現象。

滲流模型具有十分明確的應用背景，用于描述地下巖層中石油流動的不規則通道，在如何轟炸和封鎖跑道等軍事問題的研究中也有應用。在理論上，滲流模型展示“相變”現象。“相變”是統計物理中的一個重要概念，它是指當某些參數連續變化時，系統驟然間發生了巨大變化，表現為某個宏觀觀察量的不連續性。在滲流模型中這個參數就是每條邊為“開通”的概率p。當p很小時，開通的邊所連接而成的連通分支（open cluster）是有限的；而當p上升且超過臨界值時，該連通分支包含了無窮多個頂點。滲流模型主要研究臨界值和連通分支的大小以及一系列相關量的估計。自上世紀90年代以來，滲流模型的研究范圍被大大擴展。人們發現滲流模型在許多其他學科的應用，可由此挖掘出更加精細且豐富的性質。滲流模型的研究，相對集中在兩方面：（1）研究與驗證隨機勞威納演化有關的滲流模型的精準的估計。滲流模型中與隨機勞威納演化緊密相關，例如，三角形格點上滲流模型的標度極限已被證明是隨機勞威納演化。目前人們還只能對幾個特殊模型驗證隨機勞威納演化理論成立。驗證隨機勞威納演化通常需要4個步驟，其中一步就是要建立非常精準的估計，而這需要對滲流模型有深刻的認識。（2）研究滲流模型中無窮連通分支上的隨機游動以及其他隨機過程。無窮連通分支雖然很不規則，人們卻相信，它與原圖具有相同或相近的性質，其上的隨機過程也應該具有相同或相近的性質。例如，三維歐氏格點上無窮連通分支的隨機游動是非常返的，隨機游動的熱核估計也與普通歐氏格點上隨機游動具有相同的形式，以及不變原理依然成立。換言之，經過適當的標度變化，無窮連通分支上的隨機游動非常接近布朗運動。如果把隨機運動替換為其他隨機過程，如無窮粒子系統，則許多問題有待研究，例如不變分布的存在唯一性，其他分布收斂到不變分布的速度等。

保險數學理論是保險公司對其風險進行定量分析和預測并根據這些結果管理與控制風險的一般理論。它的主要研究內容包括，保險模型的建立、破產理論、分紅理論、風險分析以及決策與風險控制等。破產理論是經典保險理論的核心內容。瑞典精算師林德伯格（F.Lundberg）1903年的博士論文是破產理論研究的源頭。利用隨機過程理論，1955年瑞典概率論學家克萊默（H.Cramer）建立了林德伯格破產理論的嚴格數學基礎。后來，利用隨機過程與分析理論，破產理論得到突飛猛進的發展。通俗地講，在忽略投資回報、利率和通貨膨脹等金融因素影響的前提下，破產理論從理賠的角度研究了破產風險對保險公司償付能力的影響。它主要研究保險公司所關心的如下幾個精算量：破產概率、破產時、破產前余額以及破產赤字等。然而，隨著金融保險業的空前發展和金融業一體化進程的加快，保險公司面臨著如何動態地采取更為有效的方式，來規避風險以達到自身效益的最大化[13]。因此，破產理論中原有的幾個靜態保險精算量的刻畫，已經不再能滿足保險公司的需求。保險公司需要進行風險決策與控制。事實上，許多金融保險公司所面臨的風險決策與控制問題，均可轉化為相應的隨機控制問題。離散時間的隨機控制理論稱為馬爾可夫決策理論，主要研究受控制馬爾可夫鏈的優化問題。連續時間的隨機控制理論，主要利用馬爾可夫過程控制理論和粘性解理論進行研究。保險數學理論目前的研究包括，多維風險模型的研究，博弈論應用于再保險市場的研究，以及對投資連結保險中最優控制問題的研究等。

2.5 極限理論

概率論中的極限理論從概率論誕生起就一直是一個重要研究方向。它直接為統計學中的大樣本理論和統計推斷理論等提供理論支撐，許多研究內容來自于統計學的需求。因此，研究內容很豐富，我們僅介紹較熟悉的兩個方面。

斯坦（C.Stein）方法和自正則化極限理論。利用正態分布的分部積分公式，斯坦于1972年精確估計了不同概率逼近的差異。特別地，他估計了獨立隨機變量和與正態分布的差異，得到了著名的中心極限定理以及一致與非一致的Berry-Essen界。斯坦方法是一種精確估計各種概率逼近的有力工具，無論對獨立與相依隨機變量列還是正態逼近與非正態逼近都適用。同時，利用斯坦方法可以研究概率逼近的絕對誤差和相對誤差。自正則化方法則是用隨機變量列部分和的經驗方差取代理論方差，來正則化隨機變量列的部分和。自正則化極限定理的主要優點是，不像經典的極限定理，對隨機變量矩條件的假設無要求或要求很弱。將斯坦方法和自正則化方法結合，可以獲得許多假設條件很弱的概率逼近的絕對誤差和相對誤差估計。很多時候，斯坦方法、自正則化方法再結合正態隨機變量的小概率估計方法，可以解決組合學和離散數學等領域中難度很大的問題。目前，這一方面相對集中的研究，是對來自于海量復雜數據統計理論的問題的研究，以及隨機組合概率模型和統計力學模型標度極限理論中的相關問題的研究。例如，隨機配置中最優配置方差的精確漸近界與中心極限定理，歐氏空間上極小生成樹和最短路徑的統計量概率極限性質，不同概率測度下隨機劃分的漸近性質，隨機劃分和隨機矩陣之間內在聯系的刻畫，以及隨機劃分所生成的點過程及其極限點過程和極限過程分布性質的刻畫等。

大偏差理論。大偏差理論的研究，可以追溯到20世紀30年代初關于隨機變量尾概率的精確漸近性的研究。在克萊默、薩諾夫（I.N.Sanov）和斯萊德（M.Schilder）等人工作的基礎上，瓦拉德汗（S.R.S Varadhan）于1966年提出了大偏差原理的現代定義。70—80年代，唐斯克（M.D.Donsker）和瓦拉德汗為了認識薛定諤算子第一本征值的變分公式與大偏差的關系，建立了馬爾可夫過程大時間漸近行為的大偏差原理。為了研究狄利克雷邊值問題基本解的小時間漸近性質，瓦拉德汗建立了擴散過程的小時間大偏差原理[15]。馬爾可夫過程的大偏差理論已被廣泛應用于許多相關問題，例如：維納Sausage問題、極問題與流體力學極限等。馬爾可夫過程的大偏差理論還被推廣到平穩過程、動力系統、吉布斯測度等。對一些隨機環境中隨機游動和擴散過程、隨機矩陣以及無窮交互粒子系統模型也建立了大偏差和中偏差原理。70年代，為了研究動力系統的隨機擾動問題，在斯萊德的工作基礎上，弗瑞德林（M.I.Freidlin）和溫茨爾（A.D.Wentzell）系統地發展了隨機擾動的大偏差理論。這方面的結果已經成為研究動力系統隨機擾動穩定性、排隊網絡等相關問題的一個強有力工具。20世紀末和本世紀初，為了研究隨機過程的軌道大偏差，隨機過程大偏差的弱收斂方法已被提出，并對一些隨機偏微分方程建立了Freidlin-Wentzell型的大偏差估計。目前，大偏差理論相對集中于研究來自海量復雜數據統計理論中相關精確估計的問題，以及統計力學模型標度極限研究中相關精確漸近估計問題等。

3 現代統計研究的主要方法與發展狀況

統計學在埃貢·皮爾遜和紐曼建立了一般假設檢驗的數學理論后迅速發展，逐步突破了經典理論的標準假設。例如，處理的數據由數值向多維向量甚至無窮維向量和各種集合值發展，以及由靜態數據向時間序列數據發展，如時空數據、函數型數據、多尺度數據、縱向數據、區間數據、圖像數據和文本數據等；估計的類型由點估計向半參數估計和非參數估計發展；數據與殘差的性質由獨立性與正態性向各種相依性和非正態性發展，以及由簡單性向各種復雜性發展；數據的規模由適當規模向小子樣和海量發展；數據的完整性由完全數據向各種非完全數據發展；以及模型假設由線性假設向非線性假設甚至無模型假設發展等。從歷史角度看，統計學理論和方法的研究熱點，與自然科學、工程技術和社會經濟等領域的熱點需求是一致的，而且統計學的研究重點是統計方法，而統計理論對一般統計方法起支撐作用。這與數學的其他分支有所不同。所以，在此僅介紹現代統計學的主要方法，而且選擇我們比較了解的主要方法加以介紹。

3.1 大維數據分析與隨機矩陣的譜理論

由于當代計算技術的迅速發展，可以搜集、存儲和處理海量的高維數據，而且數據的維數可以隨著樣本量的增加而迅速增加。這類數據被稱為大維數據。通俗地講，對大維數數據，數據的維數上界與樣本量之比趨于無窮。這與經典統計的假設完全不同，也使許多經典的統計方法失效。在這種情況下，大維隨機矩陣的譜分析理論成為目前唯一可用于大維數據分析的極限理論。通過發展大維隨機矩陣的譜分析理論，并將其用于大維數據的樣本協方差陣分析，人們發現，像均值與協方差陣的似然比檢驗都需要修正。不僅如此，實際中樣本量永遠不會是無窮，人們還需要發展對數據大維性的判別方法。通過大維隨機矩陣的譜分析理論，人們可找到適當的統計方法來完成此事。為了擴展大維數據分析的應用范圍，就需要逐步放寬對樣本協方差陣的限制條件，這導致一些已有的大維隨機矩陣的譜分析理論不適用于這樣的大維數據分析。因此，需要進一步發展相應的大維隨機矩陣的譜分析理論[16]。下面的問題需要重點進行研究，即樣本協方差陣的弱Haar猜測，以及Tracy-Widom律和特征根間隙極限的普適性。

3.2 大規模數據分析與降維技術

目前，幾乎各個科學與工程技術領域都普遍存在如下的數據，即表面上數據量很大，但由于對可以唯一確定所考察對象狀態的適當特征數目幾乎一無所知，而只知道幾乎所有可能來確定該考察對象狀態的特征；然而，這些幾乎所有可能的特征數目巨大，平均到每個特征的樣本量很少，從而導致經典的統計方法失效。通俗地，這種類型的數據被稱為大規模數據。為分析這樣的數據，人們需要發展統計方法，去估計可唯一確定所考察對象狀態的適當特征數目以及可包含所給數據的適當空間，使得可對這些數據進行可靠的統計分析。粗略講，用來達到上述目標的統計方法被稱為降維技術，可包含所給數據的適當空間被稱為中心降維子空間，其維數被稱為結構維數。人們已提出有效的統計方法，處理相關問題，如，識別中心降維子空間的切片逆回歸方法，估計結構維數的貝葉斯（T.Bayes）信息型準則等[16]。目前，需要進一步研究的問題很多。例如，當數據的表觀維數相對于樣本量非常大甚至大于樣本數時，如何進行降維。

3.3 變系數模型

變系數模型是近年來受到重視的高維數據回歸分析的一個新的建模技術，是線性模型的推廣。其特點是，模型的回歸系數是某些因子的函數。這一模型既保留了參數模型容易解釋的優點，又保留了非參數回歸模型的靈活性與穩健性，還可以減少建模偏差和避免維數禍根。另外，它還包含了可加模型、部分線性模型、單指標系數回歸模型以及自適應變系數線性模型等。已有成果包括了獨立數據和縱向數據，并對回歸系數估計使用了許多有效的非參數估計方法[16]。值得研究的問題是，發展一些復雜數據下變系數模型和半參數變系數模型的統計方法。

3.4 縱向數據模型的穩健推斷

對一系列不同的個體在不同時間點上重復觀察獲得的數據稱為縱向數據或面板數據。縱向數據在生物醫學、臨床實驗和社會經濟等領域大量出現，需要對其進行統計分析。分析縱向數據的目的在于：針對單一個體獲得其隨時間變化的規律；研究個體間的差異；確定關注變量與其他變量的關系。若把縱向數據按個體順序排成列，再按時間順序排成矩陣，則它是列相關且行獨立的隨機矩陣。因此，不同于一般的時間序列數據，需要專門的統計分析方法。根據上述特點知，縱向數據的內部相關性，一個來自于個體間的差異，一個來自于單一個體的不同時間的差異。前一個用回歸系數的隨機性來刻畫，后一個用測量誤差來反映。根據不同要求，可用很多方法對縱向數據進行建模和推斷[16]。從縱向數據出現的領域及要達到的目的看，所建模型要對數據的分布律有一定的穩定性。因此，要求所建模型的推斷具有穩健性。目前，已有一些建模方法符合上述要求。進一步研究的問題有，不完全縱向數據的分析以及縱向數據模型的模型選擇。

3.5 測量誤差模型及其統計推斷方法

在對經濟學、流行病學、化學與工程等領域的許多數據進行分析時，常出現以下情況，理論或經驗知識告訴人們，可以用回歸方法進行分析，但結果總不能令人滿意。出現上述情況的一個較大的可能性是，獲得的數據帶有一定的誤差，未能較真實地反映所考察對象的信息。這就是所謂的帶測量誤差的數據，對其所建的模型就稱為測量誤差模型。對測量誤差的幾種較簡單類型，雖然問題具有難度，但仍給出了有效的統計方法去處理它們[16]。目前，所研究的測量誤差的類型在不斷變復雜，值得深入研究。特別是，當測量誤差是非線性復雜數據時，對它的各種統計推斷方法和穩健統計方法的研究是很值得深入研究的。

3.6 缺失數據的回歸分析

當多維數據的部分分量因某種原因無法完全獲得時，這類數據稱為缺失數據，其在醫學和社會經濟等領域普遍出現。由于刪除這些無法完全獲得的數據會造成信息損失，人們需要根據不同的缺失機制來研究此問題。通常考慮如下3種缺失機制：（1）完全隨機缺失（MCAR）機制，指的是，數據缺失不依賴其他任何變量；（2）隨機缺失（MAR）機制，指的是，數據缺失僅依賴被觀察到的部分而不依賴可能缺失的部分。這種情況在現實中更常見。最后是，不可忽略缺失或非隨機機制，指的是，數據缺失依賴可能缺失的部分。一般，人們考慮隨機缺失機制，可以根據情況采用似然方法、插補方法、逆概率加權法以及經驗似然方法等來分析[16]。

3.7 復發事件數據的統計分析

復發事件數據是指，對一些個體進行觀察時，一些令人感興趣的事件重復發生的時間組成的數據。這類數據經常出現在生物和社會經濟等領域。由于這類數據有次序和相依性，同時由于刪失了很多時間且這些刪失的時間可能與該事件發生的時間具有相依性，使得復發事件數據的分析、建模和統計推斷變得困難。然而，復發事件數據既具有重要特點又有廣泛應用，對它的研究受到高度重視。近十幾年來，隨著生物和醫學統計的進步，復發事件數據的研究已取得快速發展。這些研究，主要根據對時間間隔的假設以及事件發生的時間與刪失時間相依程度由簡單到復雜的順序開展[16]。

3.8 因果推斷

尋找事物之間因果關系，幾乎是所有科學研究的最重要目的之一。這是因為，當作為原因的事件發生時，利用因果關系我們可以斷言或預測作為結果的事件必然發生。然而，當事件之間僅知道存在相關和關聯關系時，人們不好做出上述的斷言或預測。根據費歇爾提出的試驗設計的隨機化原則我們知道，只要可以控制試驗使其完全隨機化，人們仍可以利用試驗獲得的數據推斷事件之間的因果關系。事實上，由于很多原因人們無法使試驗完全隨機化，只能獲得觀測的數據。對這類觀測數據尋找統計方法，努力對事件之間的因果關系作出推斷，就是因果推斷。統計推斷的目的是研究變量之間的相關和關聯關系，而因果推斷則是研究變量之間的因果機制。關于因果推斷的模型主要有3個：（1）潛在結果模型，通過引入潛在變量推斷因果關系；（2）因果網絡模型，利用有向非循環圖來描述因果關系；（3）格蘭杰（C.W.Granger）因果模型，利用對兩個事件觀察獲得的時間序列數據之間的預測關系，來推斷這兩個事件之間的因果關系。除了因果模型的研究，還需要深入研究現實中出現的替代指標問題和混雜因素的判斷問題[16]。

3.9 時間序列分析

一般根據時間順序獲得的數據稱為時間序列數據，對它的統計分析就是時間序列分析。勿用置疑，時間序列數據遍布各個領域，它是人們經常遇到的數據[17]，長期以來在金融領域尤其受關注。受資產定價和風險度量理論的影響和推動，各種自回歸條件異方差時間序列模型被提出，并被廣泛研究。原因是，這類模型可以用來揭示和估計蘊藏在金融資產價格過程中的風險變動情況[18]。這其中比較著名和常用的是ARCH模型和GARCH模型。事實上，在很合理的經濟假設下，可以從理論上證明，資產的價格序列符合GARCH模型。對這類事件序列的理論研究需要運用現代馬爾科夫過程理論和遍歷理論。另外，海量復雜的金融資產價格序列在不同時間尺度上表現出不同的高頻震蕩特征，也向這類數據的時間序列分析與建模提出了挑戰，需要發展新的時間序列模型去研究分析它。

3.10 小子樣數據的可靠性推斷

在實際中，有許多產品不可能通過大量的試驗來驗證其可靠性，只能進行很少的試驗。如何從這些少量的試驗數據來推斷該產品的可靠性？研究這一問題的統計理論與方法就是小子樣數據可靠性推斷的理論與方法。這一理論與方法的基本思想是：所考察的產品一般有許多部件，這些部件和它們之間的相互關系形成了一個網絡，通過分析每個部件生產過程中積累的歷史數據，或對一些關鍵部件進行適量的試驗，就可獲得各個部件的可靠程度與壽命分布。然后，利用概率統計知識和部件的網絡關系圖，就可以得到該產品的可靠程度與壽命分布。最后，結合這些少量的試驗數據就可以對該產品的可靠性做出推斷。在部件的網絡關系圖不太復雜時，上述思想行之有效，但當比較復雜且部件數量巨大時，如何實施上述思想需要在理論和方法上進一步研究。

4 我國概率統計研究隊伍現狀及建議

我國現代概率統計的教學科研始于許寶録1940年底從英國回到西南聯大執教。在1956年制定的《全國科學發展十二年遠景規劃》中把概率統計列為數學的3個重點發展方向之一。隨后，許寶録在上級和同行專家大力支持下，招收來自全國的進修教師和學生在北京大學集中開班，延聘外國知名學者來華講學，開設現代概率統計課程，組織概率統計教材建設和學術討論班，帶領青年教師和學生開展概率統計研究[19]。目前，一支活躍在教學科研一線的高質量的概率統計教學科研隊伍已經形成。當選為中科院院士的概率統計學者有6位，獲國家基金委創新群體資助的概率統計研究團隊有3個，獲國家基金委杰出青年資助的概率統計學者有17位。還有4個概率統計的省部級重點實驗室，4人次擔任科技部“973”項目首席科學家。中國的概率統計研究處于國際學術前沿，部分研究工作處于國際領先地位。

然而，無論是從國際概率統計的發展趨勢還是從我國建設創新型國家的需求來看，我國的概率統計研究還有很大的提升空間，鑒于概率統計在數學領域的特殊地位及其重大的應用價值，建議國家有關部門應著手籌建概率統計國家重點實驗室，以更有效地組織隊伍為我國的概率統計學科的崛起奠基，為我國經濟社會發展做出更大貢獻。

1 數學手冊編寫組.數學手冊.北京:高等教育出版社，1979,782-920.

2 Hey T,Tansley S,Tolle K.The Fourth Paradigm,2009.

3 約翰·塔巴克.楊靜譯.概率論和統計學——不確定性科學.北京：商務印書館，2008.

4 Proceedings of ICM 2006,.Madrid,.I..European Mathematical Society,2007.

5 Proceedings of ICM 2010,Hyderabad,I.Hindstan Book Agency,2010.

6 National Research Council.Network Science,2006.

7 LHC網站.http://lhc.web.cern.ch/lhc/

8 GenBank網站http://www.ncbi.nlm.nih.gov/genbank/

9 黃志遠.隨機分析學基礎（第二版）.北京:科學出版社，2001.

10 Schramm O.Conformally invariant scaling limits:an overview and a collection of problems.Proceedings of ICM 2006 Madrid,2006,I:513-543.European Mathematical Society,2007.

11 Kallenberg O.現代概率論基礎（Foundations of modern Probability）（影印版）.北京:科學出版社，Springer，2001.

12 Guionnet A..Large deviations and stochastic calculus for large random matrices Probability Surveys,2004,1:72-172.

13 Aase,K K.Perspectives of risk sharing.Scand.Actuarial J.2002,2:73-128.

14 Rajendra Bhatia.Abstracts,Plenary Lectures,Invited Lectures,Panel Discussions.Hindstan Book Agency,2010.

15 Eills R S.Entropy,Large Deviations and statistical Mechanics.New York:Springer-Verlag,1985.

16 王啟華,史寧中,耿直主編.現代統計學基礎.北京:科學出版社，2010.

17 安鴻志,陳敏.非線性時間序列分析.上海:上海科學技術出版社，1998.

18 LevineA G,Finance's Quant(um)Mechanics.Science,2008,322.

19 許寶騄先生紀念文集編委會.道德文章垂范人間.北京:北京大學出版社，2010,286-293.