基于離散混沌系統的A/D轉換器研究綜述

劉奇峰，李清都

(重慶郵電大學 非線性電路與系統研究所，重慶400065)

1 混沌系統概述

從20世紀60年代開始，大量混沌系統的例子被數學家們所發現。在過去的50年里，動力系統的混沌特性也得到了廣泛研究，對動力系統混沌特性的研究逐步從控制或者抑制混沌發展到如何有效地利用混沌。近年來，混沌許多潛在和實際的應用已被人們發現，特別是混沌在通信及信號處理中的研究更是在如火如荼地進行。例如，利用混沌進行保密通信、利用混沌對弱信號進行檢測、利用混沌來產生真隨機序列發生器等。最近，利用混沌檢測方法，將混沌理論應用于模擬與數字系統接口的A/D轉換器為混沌理論實際有效的應用指明了新的方向。

現實世界中大部分的信號是連續信號，而隨著微電子技術、計算機技術和數字信號處理技術的發展，處理這些連續信號時更多的是將其轉換成數字信號來進行處理。A/D轉換器的目的就是將時域和幅度上連續的模擬信號轉換成時域上離散、幅度上量化的離散信號。傳統A/D轉換器的精度一般受到無源器件和有源器件參數失配的影響，此時，如果要提高A/D轉換器的轉換精度，通常采用兩種方法:一是使用更加精密的無源器件和有源器件;二是利用更加優化的電路結構來適配與補償器件的誤差。目前在廣泛使用的高性能A/D轉換器中，典型的高精度A/D轉換器為(Σ-Δ)調制型，而典型的高速A/D轉換器則較多采用并行技術。這兩種A/D轉換器要么需要數字抽取濾波器，要么需要大量高精度無源和有源的數字或模擬元件，這些元件的使用提高了電路的復雜度，加大了成本，增加了所需的功耗。因此，如何利用少量和低成本的元件來實現A/D轉換成為目前人們比較關注的研究方向。Ray Brown早在1992年就提出通過利用混沌的初值敏感性來對微弱信號進行檢測，并且提出具體的實現方式［1］。Michel Peter Kennedy于1995年在Ray Brown的研究基礎上提出利用混沌的初值敏感性來進行A/D轉化，并且給出其算法實現的框圖［2］。

對初值的敏感性和參數的敏感性是混沌最重要的特征。初值敏感性的含義是指混沌系統里初始值的一個微小的變動會導致混沌軌道的長期不可預測性的巨大變化:軌道之間的距離可能從極大突然變為極小，它體現了混沌系統對初值敏感的隨機性［3］。初值的敏感性說明了一個非線性系統在混沌狀態下對初始值的高分辨［4］。在相關的混沌理論應用方面，混沌檢測方法與傳統測量方法不同:混沌方法以非平衡、不穩定作為基本特征，在非線性系統的非平衡、不穩定狀態中提取并且處理信息［5］。目前混沌檢測的普遍方法是利用混沌振子對同頻信號的初值敏感性和對噪聲的免疫能力來實現微弱信號的檢測［6］。而本文所討論的混沌測量方法是一種新型的利用混沌進行檢測的方法，這種方法，也為混沌在A/D轉換中的應用提供了基礎。

2 現有混沌A/D轉換的理論及方法

目前有關混沌A/D轉換器的研究都是使用基于離散時間系統模型的非線性離散映射方法。初值信號經過離散時間系統模型的采樣過程后，初值信號轉換成一個個獨立的離散信號。而這些轉換后的信號有利于進行計算機數值計算與仿真分析，對于研究該混沌系統的軌道、周期性、稠密性和初值敏感性有著很大幫助［7］。所以，離散時間系統通常被用于混沌A/D轉換上。

混沌帳篷映射(Tent map)、貝努力映射(Bernoulli map)、倒鋸齒映射(Sawtooth)等映射都是目前混沌A/D轉換器普遍采用的方法。m移位映射是連續的，且具有周期點集在緊致度量空間∑m內處處稠密、是拓撲傳遞的、對初始條件敏感依賴這3點性質。由于單邊符號空間上的m移位映射和移位映射存在拓撲共軛的關系。根據Devaney混沌定義，m移位映射與移位映射都是混沌的。他們具有相同的拓撲熵，而且帳篷映射等離散映射也擁有相同的拓撲熵。這幾種離散映射是混沌的。同樣可以證明，這幾種用于混沌A/D轉換器的離散映射是在相空間里平面R2正方形上進行拉伸和壓縮變換得到的，這符合拓撲馬蹄映射的特點，說明它們是典型的一維混沌映射。下文將詳細地分析這幾種離散映射的具體的實現、應用及性能［9］。

2.1 基于混沌帳篷映射的A/D轉換器

混沌帳篷映射是一種離散的非線性系統，定義為

混沌帳篷映射所對應的非線性放大和線性放大的區別是:初始值從迭代開始，每次放大的倍數都不是常數，這要取決于迭代后的值所在區間。但是初始值經過混沌帳篷映射的放大后，其仍然在混沌的吸引子以內，而不會出現溢出。這種迭代的放大方式，會使帳篷映射系統的軌道進入混沌狀態，可以用來對微弱信號進行檢測。

假設帳篷映射系統的輸入值為Vin，它對應著系統初始的狀態x0，x0可通過二進制數表示為

并假設gn=sgn(xn-0.5)。

在這里通過另外一種映射——Bernoulli映射來實現帳篷映射的迭代輸出與初始狀態x0的關系。其映射關系式為

Bernoulli映射每次迭代的輸出都對應著相對應的二進制比特流的一位，即xi+1=B(x'i)=0.ai+1ai+2ai+3…，這里假設bn=sgn(xn-0.5)。

由帳篷映射里的gi與bi的數學關系可以知道，gi是與bi相對應的格雷碼序列，其關系為

由于Bernoulli映射的初始狀態x0和帳篷映射的初始狀態x'0都等于輸入值Vin，gi與bi可有以下關系

根據式(5)，可以將混沌帳篷映射的格雷碼輸出轉換成最終需要的二進制碼輸出［4］。

通過帳篷映射實現的A/D轉換器如圖1所示，通常由比較器、D觸發器、開關電容和比例延時器組成。

圖1 帳篷映射實現的A/D轉換器框圖

運算放大器的輸出信號即為格雷碼序列gj，同時也可以得到初始條件b0，根據式(3)，可以得到所需的A/D轉換后的二進制序列。基于帳篷映射的混沌A/D轉換器特別適用于陣列傳感器的并行信號采集系統，這類混沌A/D轉換器更容易進行系統集成，降低功耗，提高分辨力［10］。

2.2 基于Bernoulli映射的A/D轉換器

該類A/D轉換器是直接基于Bernoulli混沌映射的，它不需要進行格雷碼到二進制碼的轉換，所以在原理上更加直接、簡單。其映射關系可見式(3)。

給定一個初始狀態的值x0，經過式(3)所表示的混沌系統的若干次迭代，可以產生相對應的混沌迭代值xn。假設x0∈［0，0.5)時，定義符號ε=0，x0∈［0.5，1)時，定義符號ε=1，即

將式(6)代入到式(3)中，可以得到

通過式(7)與式(8)和后面序列的反復迭代，可以得到

通過式(9)即可推算出初始值為

其誤差估計小于1/2L。

這里的Bernoulli映射，由于其混沌軌道與系統初始值存在一一對應的關系，那么可以通過符號動力學，利用其軌道所對應的符號序列計算出其軌道對應的初始值。這也是混沌測量的基本思想，此時的式(10)就可以應用于對微弱信號的檢測，用得到的二進制數來推算出初始值，通過提高迭代的精度來降低對初始信號檢測的誤差［11］。

而式(6)組成的符號序列{ε0，ε1，ε0，…}即為所需要的模數轉換的二進制序列。初始值在貝努力映射系統作用后的迭代過程如圖2所示。

圖2 初始值在貝努力映射系統作用后的迭代過程圖

基于貝努力映射的混沌A/D轉換器的具體實現的一般方式是通過若干運算放大器、比較器、D觸發器和模擬開關這幾個核心元件構成。通過時序電路對模擬開關的控制，實現電路不同拓撲結構之間的改變，最終達到對初始信號進行模數轉換的效果。

2.3 基于倒鋸齒(Sawtooth)映射的A/D轉換器

倒鋸齒映射的映射關系為

該映射產生混沌的條件是(1＜λ≤2)。同樣，將定義式(11)表示的混沌系統的迭代值與符號序列形成一一對應的關系［15］

倒鋸齒映射的關系如圖3所示。

圖3 倒鋸齒映射關系圖

該映射通過將［0，1］區間拉伸k倍并轉回到原區間內的迭代方式將初值的軌道進行指數分離，進入混沌態［12］。在這里，一般將取λ=2來使倒鋸齒映射關系用于混沌A/D轉換器［15］。通過式(11)和式(12)可以用該混沌系統的迭代符號序列來表示初值為

該式的量化誤差為

3 混沌A/D轉換器的性能參數及優化方法

3.1 混沌A/D轉換器電容的充放電

由于混沌映射系統迭代的實現都是通過電容上電壓值的充放電完成的，所以電容容值的選取與電容性能對A/D轉換的過程是非常重要的。電容上電壓的充放電過程是通過積分來實現的，這里的積分時間要小于兩個轉換的時鐘周期。

對于電容值的選取，可以通過小電容、電阻和運放組成的模擬電容網絡［14］來實現電容容值的倍增。對電容值有如下兩個要求:一是所組成的等效電容C的容值不超過轉換臨界點所對應的電容值的兩倍［7］;二是待轉換的初始值和轉換臨界點所對應的電容值不能相同。

3.2 混沌A/D轉換器映射模型的軌道偏離

在第二節所述的混沌A/D轉換器的幾種映射模型中，往往通過電壓源或者電流源的關系來確定映射圖的斜率，而斜率的誤差會導致混沌系統的偏離。例如在實現式(11)的電路中，斜率k是可以由兩個電壓源來實現的，定義實際參數值為λ，它們之間的關系為

或者，k由兩個電流源實現，它們之間的關系為

如果保證系統的初值空間與符號空間是一一對應的關系［13］，那么定義k=2。

實際電路中，激勵源受到運算放大器的偏置電壓、偏置電流等因素的影響，參數很難達到將混沌映射轉換為實際混沌A/D電路所需的嚴格數學值，λ會在該嚴格的數學值附近發生變化。λ＞2比λ＜2軌道偏離要大，因為當大于理論k時，混沌映射可能出現大于所需的2條軌道，而發生錯誤編碼，這時就需要采用更多的符號來進行編碼，并添加符號0來保證正確的編碼，只要λ的偏離小于0.1%，那么混沌軌道的偏離對A/D轉換的結果也不會產生明顯的影響［14］。

利用混沌軌道的距離公式定義，可以得到混沌A/D轉換器的編碼方式，這種編碼方式的優勢在于混沌電路的時鐘頻率與積分時間常數對電路編碼的檢測結果不產生影響。

3.3 改進混沌映射模型來減小迭代誤差

上述用于A/D轉換器的混沌映射模型在數學上都是分段函數，初始值的若干次迭代也正是在分段函數之間進行切換的。在具體電路實現上，由于比較器參考電壓的穩定性、精度、噪聲干擾等方面的問題，會導致電路系統在判斷電壓值，也就是迭代過程中出現錯誤，從而引起映射時選擇了錯誤的分段函數，最終導致混沌系統的發散與不穩定。

為了解決實際電路中閾值電壓判斷錯誤的問題，可以采用相伴IFS隨機移位系統作為混沌A/D轉換器的映射模型［17］。該系統是將原有的混沌映射的范圍區域擴大，然后再重新定義混沌吸引子，該吸引子為原混沌映射系統吸引子的子集。例如式(3)表示的Bernoulii映射的混沌吸引子是［0，1］，本文想將該映射的區域擴大到［-1，1］，此時在［0，0.5］區域內有分段函數重疊，此時在電路具體判斷電壓值的時候會隨機選擇其中一個分段函數，再規定［-0.5，0.5］區間內選擇確定一個分段函數，那么等效的映射模型可以定義成相伴IFS隨機移位系統，新系統的吸引子為［-0.5，0.5］，是原吸引子［-1，1］的子集。新系統的邊界是穩定的，可以作為混沌A/D轉換器的映射模型，在具體的電路實現上，只要迭代過程中電路的參數影響保證在［-0.25，0.25］以內，由于判斷時隨機的選擇分段函數，那么整個系統將不會發生發散和錯誤編碼的情況［18］。

這種改進辦法降低了系統的噪聲對A/D轉換的干擾，同時降低了整個電路對比較器參考電壓的高精度的要求，提高混沌A/D轉換器的在高速運行時的性能。

4 總結

本文綜述了當前主流的混沌A/D轉換器，分析了這些離散動力系統用作A/D轉換的原理及技術特點，討論了這類轉換器的電路設計與電路性能，并論述如何優化混沌映射系統，使其更加適用于A/D轉換器。

不同類別的混沌A/D轉換器具體實現的一般方法是:通過對初始電壓值的設置，以及對電容上電壓值的混沌迭代和對混沌軌道的位置判斷，最終實現模數轉換。使用常用的元件和簡單的模擬開關，在用于A/D轉換電路時，可以實現較高的轉換精度和速度，幾種混沌A/D轉換器均達到12位以上，如果在提高元件穩定性，提高激勵性能，采用模擬補償和數字處理的情況下，其轉換精度有可能達到15～16位。此外，所討論的混沌A/D轉換器也擁有電路簡單、功耗小、易于IC集成，并且其擁有集信號放大、信號采集與A/D轉換于一體等諸多優點。

主流的混沌A/D轉換器基本采用帳篷映射、Beinoulii映射或倒鋸齒映射等離散映射，因為這類離散映射具有天生的應用于A/D轉換的優勢，可以采用直接應用電路實現的混沌映射方式來進行A/D轉換，也可以通過改變混沌吸引子或者改變映射斜率的方式來更新以上幾種混沌映射，從而減小對初始值判斷的誤差估計。

除了目前廣泛應用的離散時間系統的混沌映射作為混沌A/D轉換器的數學模型外，通過龐加萊截面轉換成離散時間系統作為A/D轉換器的數學模型的方法，以后還可以研究如何利用連續時間系統。

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