RLC串聯電路暫態過程衰減系數的能損法修正

吳明仁

（上饒師范學院物理與電子信息學院，江西上饒334001）

1 引 言

在電磁學實驗中，“RLC串聯電路暫態過程的研究”是學生必做的實驗[1]，其中欠阻尼情況下暫態過程衰減系數的測量是重要的實驗內容.理論上定義衰減系數為其中R為電路串接的電阻r和電感的直流電阻rL之和.但在實驗中發現，實驗測量值α總比理論值偏大，經分析筆者認為引起偏差的主要原因是欠阻尼振蕩狀態下的電感和電容存在著附加能量損耗[2]，該附加能量損耗可等效成電感和電容上附加損耗電阻上的能量損耗.由于損耗電阻的存在，理論上已不能用r＋rL來簡單代替電路總電阻R，必須把電感和電容的損耗電阻也考慮進去.本文以實測欠阻尼振蕩波為基礎，建立響應波形的數學表達式，繼而列出電路實際能量損耗方程式，計算出電感和電容上附加損耗電阻RLC，利用它對衰減系數的理論值進行修正，使得實驗測量值α和修正后的理論值α0′基本吻合.

2 實驗電路原理

測量RLC串聯電路暫態過程衰減系數α的電路如圖1所示，激勵us取方波信號，幅度為U0，為使過渡過程能達到穩態，us的半周期應大于.在不計附加損耗電阻R時，其理論上的零LC輸入響應方程為[3－4]

圖1 測量RLC串聯電路暫態過程衰減系數電路圖

初始值uC（0＋）＝U0.其中R＝r＋rL，為電路串接的電阻r和電感的直流電阻rL之和.欠阻尼振蕩下零輸入響應的解為

3 衰減系數的實驗測量方法

圖2 零輸入響應波形

（6）式除以（7）式得

所以實測衰減系數為[5－6]

4 測量電感和電容上附加損耗電阻RLC

4.1 零輸入響應電流實驗波形表達式的建立

把ur（t1）＝－Ur1代入（5）式，求得待定系數Ar＝Ur1eαt1.則電流實驗波形表達式為

4.2 零輸入響應下實際能量損耗方程式的建立

零輸入響應條件下電容初始儲能通過回路振蕩放電，可認為t＝∞時放電完畢，過渡過程結束，電能全部被回路中的電阻r、電感的直流電阻rL和附加損耗電阻RLC所消耗.電容的初始電壓uC（0＋）＝U0，電容的初始儲能，電阻r、電感的直流電阻rL和附加損耗電阻RLC消耗的能量為

由此建立能量損耗方程式為

因此可得[7]

式中：

5 實驗數據分析

實驗中電路的電容C＝0.01μF，電感L＝10mH，電感的直流電阻rL＝50Ω，電阻r＝200Ω，激勵方波信號us的幅度U0＝3V，頻率為1kHz，可以計算未加修正時衰減系數理論值為

用示波器測得電阻r兩端電壓波形振蕩周期Td＝64μs，在時的電壓－Ur1＝－470mV時的電壓－Ur2＝－165mV，可得實測衰減系數16.356ms－1，相對偏差為23.6%.

6 結 論

通過實驗可得出結論：

1）實測衰減系數與未加修正時理論值存在一定偏差，其偏差來源是電感和電容元件的附加電阻損耗.

2）附加損耗電阻可通過能損分析測算，以此對衰減系數理論值進行修正，修正后的理論值與實測值偏差甚微，若忽略測量誤差等因素，可認為兩者基本吻合.

3）用能損法測電感和電容上附加損耗電阻，反映了電路的實際情況，實驗證明此方法是簡便可行的.

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