帶有臨界Sobolev指數和位勢的擬線性方程的變號解

康東升，方 達，李智萍

(中南民族大學數學與統計學學院，武漢430074)

1 問題的引入

本文研究下列橢圓方程:

則稱u為方程(1)的解.求方程(1)的解等價于求:

的臨界點.

研究方程(1) 涉及到 Hardy 不等式［1，2］:

近年來，有作者研究含有Hardy項的橢圓極限問題:

文獻［3］已經證明了當0＜λ＜ˉλ和1＜p＜N時，方程(2)存在徑向對稱基態解:

滿足:

其中S(λ)是方程(2)對應的最佳 Sobolev常數，Up，λ(x)是方程(2)的徑向解，滿足:

其中C1，C2是關于 λ，p和N的正常數，a(λ) 和b(λ)是函數f(t)=(p－1)tp－(N－p)tp－1+λ(t≥0)的零點，滿足:

并且存在正常數L1(λ)和L2(λ)，使得:以上結果對于研究問題(1)非常重要.

在本文中，我們假設:

(H1) λ1≤ λ2≤ … ≤ λk，k≥2，且存在l∈{0，1，2，…，k－1}，l0=0，使得:

定義下列常數:

本文的主要結果如下.

定理1在假設(H1)下，如果下面2個條件之一成立:

(ii)2≤p＜N，N＞p(p2－p+1)，0＜λk＜λ＊＊且

其中v(u)是加權特征值問題:

的第一本征函數.

在本文中，為簡單起見，我們省略積分號中的“dx”.

2 變號解的存在性

為了研究方程(1)變號解的存在性，我們需要研究Mountain-Pass類型正解的奇性問題.

引理1存在v*＞0使得對任意的v∈(0，v*)，方程:

有變號解u2，v，使它滿足:

則v(u2，v)是加權特征值問題:

證明對v≥ 0，取v充分小且定義:當Jv∈C1(W1，p0(Ω)，R)，且對v'＞0，取v'充分小，則存在下界a0＞0使得:

則方程(1)就有一對變號解±u(x)滿足:

由(6)～(9)式并結合文獻［4］，引理1可得證.

引理2假設定理1，存在正常數σ，v＊＊滿足:

證明假設1＜p＜2，N＞N1，0＜λk＜λ*且，其中:

由文獻［5］知，當N＞p(p+1)時，有:

注意到在這個假設下，有pb(λk)－N+p＞p，可得:

假 設p≥ 2，N＞N2，0＜λk＜λ＊＊且其中:

可得:

在這個假設中，同樣有pb(λk)－N+p＞p，則:

因此，在定理1的假設下，方程(1)的Mountain-Pass類型正解u0∈W1，p0(Ω) 存在.根據文獻［5］有對ε＞0，取ε充分小，則存在正常數C＞0滿足:

對任意q∈［1，+∞)，存在常數C=C(q)＞0滿足:

因此，由文獻［6］中引理4的結論可以得到:

由上面估計可知，對ε＞0，取ε充分小，則有那么可以假定α和β在一個有界集中.由(11)式可得:

有:

往下我們分2種情況進行討論.

(i)假設1＜p＜2，N＞N1，0＜λk＜λ*且.由(11)式可得:

當N＞p(p+1)時，有:

如果N(p－1)－2p2+p＞0，那么有＜δ，則:

如果N＞N1且0＜λk＜λ*，對ε＞0，取ε充分小，則存在常數σ＞0滿足:

對v＊＊＞0，取v＊＊充分小，對0＜v＜v＊＊滿足I1＜σ.然后由(13)式有:

(ii) 假設p≥2，N＞N2，0＜λk＜λ＊＊且，由(12)式可得:

注意當N＞p(p2－p+1)時:

且當N＞p2+p時有:

如果N＞N2，0＜λk＜λ＊＊，ε 充分小，則有:

對常數σ＞0，取充分小的正數v＊＊，使得當0＜v＜v＊＊時，I1＜σ.則由(13)式和(14)式可得(10)式.

引理2證畢.

定理1的證明 證明過程類似于文獻［4］和［7］.定義v0=min{v'，v*，V＊＊}.因為當v→0時，c1，v→c1，0，則由引理2 可得c2，v是均勻有界的，其中v∈(0，v0).假設c2，v是引理1的解，則存在常數C＞0滿足:

定義u±(x)={±u(x)，0}，對任意則可以發現對一些當vn→0時弱屬于為了方便起見和 Λvn分別由un，

c1，n，c2，n，Jn和 Λn表示.因為則由引理2 可得:

當n充分大時，必然有:

當n充分大.因為所以:

對正常數C1和C2，應用集中緊性原理［8，9］和文獻［7］，可以得出在Ω中u±≠0.因此u在Ω內改變符號，un→u弱屬于因此u是方程(1)的解.由n→ ∞，c2，n→c2，0容易證實{un} 實際上是J0在c2，0上的PS序列.事實上由再次應用集中緊性原理可以證明{un}的一個子序列在中強收斂于u.因此定理1證畢.

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