一類具有周期擾動的向日葵方程的次調和分支

殷紅燕

(中南民族大學數學與統計學學院，武漢430074)

1 問題的引入

本文考慮下面一類具有擾動的向日葵方程:

其中a是分支參數，ε，μ，b是實的參數，并且0＜ε?1，r＞0，b＞0.ω=ω0(1-εη)，η 為去諧參數.

先把方程(1)寫成如下等價形式:

令t=sr，α(rs)=x(s)，β(rs)=y(s)，且仍記s=t，則有:

系統(3)又有如下等價形式:

系統(4)在v=0時，線性部分的特征方程是:

在文［1］中，已經討論了系統(1)在v=0時的Hopf分支情況.文［1］中的結論是:當v=0時，系統(4)在μ=0時存在Hopf分支，且分支發生在μ＜0方向，并且分支周期解是穩定的.在文［2］中，討論了一類比較簡單的擾動的向日葵方程的Hopf分支，得到了方程的調和解分支.本文將進一步考慮一類較復雜的擾動系統，即系統(4)在經歷Hopf分支時，加上周期擾動所起的作用，即v≠0的情況.主要考慮周期擾動頻率接近于σ0/2的情形，這里σ0是系統(4)的臨界固有Hopf分支頻率.

2 系統的簡化

利用文［2］中的方法可以把系統簡化.首先對系統(4)進行尺度變換，令，則(4) 式化為:再將變換后的系統寫成滯后型泛函微分方程的形式.令C=C(［-1，0］，R2)，L(εμ) 是C［-1，0］到R2上的有界線性算子族.于是由Riesz表示定理［3］，存在一個二階的、分量為有界變差函數的矩陣函數η(.，μ):［-1，0］→R2，使對任意φ∈C［-1，0］，有.事實上，只要取

即可，其中 δ(θ) 是 Dirac δ-函數.

對 φ ∈C［-1，0］，定義:

同時，由于對Ut=U(t+θ) ∈C［-1，0］，有記U=(x，y)T于是系統(6)可寫成:事實上，當θ=0時，(7)式就是(6)式［4］.

令Λ={iσ0，-iσ0}是方程(5)的一對純虛根，使用文［5］或文［6］的方法可以把方程(7)的解Ut分解到二維特征空間及其補空間上去，方程(7)可分解為:

3 次調和解的存在性與穩定性

下面討論次調和共振情形下分支解的存在性與穩定性.對系統(8)的前2個方程施行積分平均法［6，7］，可以揭示出該系統的擾動Hop f分支的性態.首先引入新的時間變量τ=ωt，則.再令u1(τ)=ξsin(Jτ+φ)，u2(τ)=ξcos(Jτ+φ)，其中J=σ0/ω0.在此變化下，忽略o(ε)項，系統(8)的前2個方程可化為:

令J=1/2(二階次調和共振情形)，對方程(9)進行積分平均得到:

從方程(11)可看出其正根的分布情況:

方程(11)有2個正實根，從方程(11)中可求得:

現在考慮非平凡解的穩定性，令ξ=ξ0+υ1，φ=φ0+υ2，得到關于非平凡解的線性變分方程為:

其特征根是:

因此，如果非平凡解滿足條件

則非平凡解ξ0是穩定的，此時ξ0所對應的系統(1)的次調和分支解是穩定的.

容易看出由(12)式給出的較小的非平凡解始終不滿足不等式(17)，因此是不穩定的，而另一個解只要滿足(16)式，則必是穩定的.

［1］魏俊杰.向日葵方程的Hopf分支［J］.應用數學學報，1996，19(1):73-79.

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