基于響應面法的強力甲板結構優化設計

黃重陽 林 焰，2 于雁云，2

1 大連理工大學船舶工程學院船舶CAD 工程中心，遼寧大連116024

2 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧大連116024

0 引 言

當散貨船空載航行時，為保持適當的穩心高度、避免產生過大的船體彎矩、剪切力及振動，常要在壓載艙內注入壓載水。然而，在壓載工況下，除重壓載艙注滿了壓載水外，其余貨艙均為空，頂邊艙的局部橫向載荷與中拱狀態下的總縱彎矩便一同作用于船體。因此，船體中部貨艙強力甲板的劇烈彎曲變形便會導致其總縱強度被削減［1］。可見，強力甲板的設計是否合理直接關系到船舶營運的安全性與經濟性。

在船體結構的優化設計中，設計變量（結構尺寸）與結構的應力等響應存在著復雜的關系，很難用彈性力學理論推導出某種顯式函數，因而使得對設計約束（強度、剛度）或設計目標的計算變得困難。雖然運用有限元法可解決復雜結構的強度計算問題，但是需要耗費大量的時間，在結構優化迭代過程中不斷調用有限元分析程序，這樣的設計計算既不經濟又不實用。

本文結合有限元法與響應面法［2］，將首先對一艘76 000 DWT 散貨船貨艙段的強力甲板（在不同板厚、相同工況下）進行靈敏度分析，并選取適合的厚度參數作為響應面函數的自變量，然后應用大型通用有限元軟件計算出最大相當應力后，運用響應面法的均勻設計試驗方法得出該艙段強力甲板最大應力與結構厚度的響應面函數，繼而以結構重量最輕為目標函數，以強度和規范要求的最小厚度為約束條件，對該貨艙段的強力甲板結構厚度進行優化。

1 響應面法

響應面法（RSM）是試驗設計與數理統計學分析相結合的綜合試驗技術，用于處理幾個變量對一個系統或結構的影響問題，因而被廣泛用于眾多領域。

上世紀50年代，響應面法便被運用于化學工業，用于確定最優的操作過程［3］。在生物學上，響應面法主要用于研究混合反應物中各化學反應成分所占比例與其生物學活性之間的關系，以便確定生物材料最優的試驗條件［4］。在結構工程領域，響應面法主要被應用于結構優化設計和可靠性分析等方面，其作為一種近似的計算方法，在過去的十幾年中得到了迅速的發展和應用［5-6］。目前，我國已有研究人員將響應面法用于大型船舶的中剖面結構優化中，但還只是初步嘗試，其中，有的學者簡化了船舶有限元模型的橫向構件，忽略了縱向骨材，僅考慮純扭轉這一種工況而未選取結構最危險的工況。

1.1 響應面法的原理

響應面法的基本原理是：首先假設一個包含未知系數的、由狀態變量與基本變量構成的解析表達式，然后用擬合的方法確定未知系數以表達隱式函數或高度非線性函數。多項式系數的確定一般以試驗設計為基礎，應用正交設計或均勻設計回歸得到特定因子的最小二乘估計。采用此方法時，隨機變量的個數越多，試驗次數便越多。

在結構力學分析領域，響應面函數模型常采用二階多項式形式：

式中，a，bi，ci，di為待定系數；xi（i＝1，2，…n）為基本變量。為簡化計算、節省時間、避免限制響應面法的應用范圍，本文根據文獻［7］和文獻［8］保留了常數項、一階項及二階平方項，舍去了二階交叉項，采用以下形式：

響應面法用二次多項式代替大型復雜結構的極限狀態函數，并通過系數迭代進行調整，一般都能滿足實際工程的精度要求，具有較高的效率和使用價值。

1.2 基于響應面的結構分析及優化

通常的結構優化設計主要是著眼于重量最輕等目標，并借助基于梯度信息的傳統數值優化方法直接進行尋優，而高精度結構有限元分析模型的引入則使得計算時間變長，且在約束條件較多的情況下不利于尋優，往往容易陷入局部最優解。探索型優化技術（如模擬退火算法、蟻群算法、遺傳算法等）在全局搜索中往往要對目標函數值進行大量的計算評估，無法針對具體工況下的受力特征合理、精確地優化具體結構，且計算規模也不易控制［9］，這對于借有限元法計算的目標值（如應力響應、壽命響應）而言，計算代價過大。

為解決上述問題，本文借助試驗設計方法和響應面近似模型技術建立了結構優化設計方法，其基本思想是：在規范設計方法的指導下選取結構的設計變量，利用靈敏度分析方法選取對結構響應影響較大的樣本點［10］，對艙段結構建立有限元模型并進行結構分析，得到對應各樣本點的響應（彎曲應力），利用這些樣本點和響應值，建立應力的響應面近似模型，從而避免在尋優過程中進行大量耗時的有限元建模與分析。

1.3 試驗設計方法

響應面法的計算成本隨樣本點向量維數的增加而快速增長，其擬合能力很大程度上受樣本點試驗空間分布的影響。當樣本點向量維數很大時，首先要進行靈敏度分析和試驗設計，對樣本點的合理選擇十分重要。目前，用于優化領域的試驗設計方法［11］主要有正交設計和均勻設計。

為兼顧時間和擬合精度，本文采用均勻設計試驗安排響應面試驗。試驗所考察的結果稱為指標，如結構的最大剪應力、最大相當應力、最大位移等。對指標可能有影響的參數稱為因素，如結構的幾何尺寸、材質等。各因素用于比較的具體條件稱為水平，如幾何尺寸的不同取值。

2 構造結構響應面模型

2.1 艙段有限元模型的建立

以一艘76 000 DWT 散貨船為例，其總共有9個貨艙，總長243.80 m，兩柱間長235.00 m，型寬32.20 m，型深19.50 m，設計吃水12.50 m，結構吃水14.00 m，方型系數0.887，航速約為14.20 kn。

按照中國船級社的相關規范［12］，建立船體中部6 號貨艙（125～153 號肋位）的艙段模型，并施加相應的邊界條件及載荷，如圖1 所示。為了盡量消除邊界條件的影響，本文僅以模型中部整艙段的強力甲板（AH32 高強度鋼）作為研究對象。該艙強力甲板的最大受力情況出現在輕壓載工況，相當應力云圖如圖2 所示。由圖可見，強力甲板的應力分布是不均勻的。在壓載工況下，貨艙范圍內靠近橫艙壁上方的強力甲板的受力顯著大于其他區域。根據結構強度計算對甲板厚度進行優化設計，不僅能提高船舶安全性，而且還可降低船舶的結構重量。

圖1 艙段有限元模型Fig.1 Finite element model of cargo holds

圖2 強力甲板應力云圖Fig.2 Stress contours of strength deck

2.2 均勻試驗分析

船體結構復雜，影響構件強度的參數眾多，為能更合理地構造響應面函數，本文針對該艙段強力甲板應力最大的壓載工況，對不同受力區域、不同厚度的強力甲板進行了敏感度分析。對于大型散貨船，強力甲板的板厚主要取決于壓載工況。甲板初始設計結構圖如圖3 所示。本著基于母型、不增加焊縫的原則，確定設計參數，各參數所代表的區域如表1 所示。選取對強度影響較大的參數作為響應面函數中的自變量。分析方法是，保持其他參數不變，只變化其中某一參數，然后利用有限元軟件計算、分析此參數的變化對最大相當應力的影響。

圖3 甲板結構圖Fig.3 Structural plan of deck

表1 設計變量及所代表的區域Tab.1 Design variables and their representative areas

通過參數化建模、變換板厚尺寸并進行試驗后，對參數進行敏感度分析，選擇敏感度較大的AH6-8 號甲板板厚x6、AH6-11號甲板板厚x7、AH6-13 號甲板板厚x9、AH6-16 號甲板板厚x10和AH6-18 號甲板板厚x12作為自變量。

以減少試驗次數為原則［13］，采用均勻設計試驗法安排響應面試驗。本文選用不含交叉項的二次多項式作為響應面方程，其中參數為5 個，方程的未知數為11 個（方程未知數個數等于2n＋1），16 水平5 參數的正交試驗需進行16 次。試驗結果如表2 所示。

利用最小二乘法擬合響應面函數：

表2 均勻試驗表Tab．2 Experimental data table of uniform design

式中，ye為最大相當應力的響應值。

根據復相關系數評估公式

進行擬合度評估，得出各響應面函數的R2為0.991 825。

由擬合度評價指標可看出，本文中通過試驗擬合的強力甲板強度響應面的擬合度高，即響應面相對于實際模擬得比較好，為下一步進行優化提供了良好的基礎。

3 優化設計

強力甲板為AH32 高強度鋼，許用應力為282 MPa。為了消除結構強度冗余，本文引入值為1.2的安全系數，使得最大相當應力響應面函數可起到約束目標函數的作用，并保證結構優化后的結果偏于安全。根據回歸方程的二次多項式及相關規范［14］要求，以強力甲板結構質量最輕為目標，可建立如下優化模型：

式中，xi為板厚，mm；Ai為表面積，m2；P 為密度，t/m3；[σ ]為許用應力，N/mm2。

使用非線性整數優化的分支定界法對優化模型進行求解，將各區域的強力甲板厚度作為離散變量進行優化，優化結果如表3 及圖4 所示。

表3 強力甲板設計變量優化結果Tab．3 Optimization results of strength deck

圖4 優化后的甲板厚度Fig.4 Thickness of optimized deck

原始重量為39.071 2 t，優化重量為34.858 0 t，優化后，重量較實際設計減小了10.78%。

使用優化后的板厚對模型重新建模，計算得到最大相當應力245 MPa（圖5），滿足規范要求。

圖5 優化后的應力云圖Fig.5 Stress contours of optimized strength deck

通過優化結果及驗證結果可以看出，利用大型通用有限元軟件和響應面法探討散貨船艙段強力甲板的結構優化問題，其計算結果合理可信，說明該方法是可行的。

4 結 論

1）提出了一種基于響應面的船體結構優化方法，首次將響應面法和有限元法應用到散貨船強力甲板結構優化計算中，并針對不同受力區域的甲板板厚進行優化，驗證了該方法的實用性，開拓了船舶結構強度分析以及結構優化的新思路。

2）首先對不同受力區域的甲板厚度參數進行敏感性分析，合理選擇構造響應面函數的自變量，而后運用均勻試驗的方法設計試驗，最后通過最小二乘法擬合成響應面函數。該函數能夠模擬散貨船強力甲板在壓載工況下的應力狀態，為進一步構造船體響應面提供了參考。

3）構建了散貨船整艙段的強力甲板結構優化模型。該優化模型以該貨艙段強力甲板的重量最輕為設計目標，以不同區域的甲板厚度為設計變量，以總縱彎曲產生的最大彎曲應力及相關規范要求為約束條件。優化結果顯示，該優化設計方法減輕了強力甲板的重量，說明其在實際工程中具有一定的應用價值。

4）該方法具有一定的通用性，響應面函數的擬合與結構具體形式無關，因而可以應用于大多數散貨船的典型結構優化設計中。

［1］HUANG C Y，LIN Y，YU Y Y. M/V‘Hebei Mercy’bulk carrier structural strength direct calculation report［R］.Plan Approval Center，CCS，2010．

［2］黃重陽. 基于響應面法的散貨船結構優化設計［D］.大連：大連理工大學，2011．

［3］HILL W J，HUNTER W G. A Review of response sur?face methodology：A literature review［J］. Technomet?rics，1966，8（5）：571-590.

［4］MEAD R，PIKE D J. A review of response surface methodology from a biometrics viewpoint［J］. Biomet?rics，1975，31（12）：803-851.

［5］ROUX W J，STANDER N，HAFTKA R T. Response surface approximations for structural optimization［J］.International Journal for Numerical Methods in Engi?neering，1998，42（3）：517-534．

［6］佟曉利，趙國藩.一種與結構可靠度分析幾何法相結合的響應面方法［J］.土木工程學報，1997，30（4）：51-57.TONG X L，ZHAO G F. The response surface method in conjunction with geometric method in structural reli?ability analysis［J］. China Civil Engineering Journal，1997，30（4）：51-57.

［7］劉潔雪. 基于響應面法的集裝箱船優化設計研究［D］.天津：天津大學，2008.LIU J X. Research on optimum design of a container ship based on response surface methodology［D］. Tian?jin：Tianjin University，2008.

［8］楊書儀，劉德，文澤軍. 基于響應面法的橋梁主桁架結構優化設計［J］.機械設計，2007，24（6）：14-16.YANG S Y，LIU D，WEN Z J. Structural optimization design of bridge main truss based on method of re?sponse surface［J］. Journal of Machine Design，2007，24（6）：14-16.

［9］MAKOTO A，TAITO S，TATSUHIRO S. Optimization of transverse bulkhead design by response surface methodology［J］. Journal of the Kansai Society of Naval Architects，2000，234：237-243.

［10］王永菲，王成國. 響應面法的理論與應用［J］. 中央民族大學學報（自然科學版），2005，14（3）：236-240.WANG Y F，WANG C G. The application of response surface methodology［J］. Journal of The Central Uni?versity For Nationalities（Natural Science Edition），2005，14（3）：236-240．

［11］鄧苗毅，任偉新. 基于響應面方法的結構有限元模型修正研究進展［J］.鐵道科學與工程學報，2008，5（4）：42-45.DENG M Y，REN W X. Study on structure finite ele?ment model updating based on response surface meth?odology［J］. Journal of Railway Science and Engineer?ing，2008，5（4）：42-45.

［12］中國船級社. 散貨船結構強度直接計算分析指南［S］.北京：人民交通出版社，2003．

［13］隋允康，張立新，杜家政.基于響應面方法的桁架截面敏度分析和優化［J］. 力學季刊，2006，27（1）：96-102.SUI Y K，ZHANG L X，DU J Z. Sensitivity analysis and cross sectional optimization of truss structure us?ing response surface methodology［J］. Chinese Quar?terly Mechanics，2006，27（1）：96-102.

［14］中國船級社. 鋼質海船入級規范［S］. 北京：人民交通出版社，2009.