穿孔管消聲器橫截面模態及消聲特性的有限元分析

方 智，季振林

(哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱 150001)

穿孔管消聲器具有較低的流動阻力損失和良好的消聲性能，在管道噪聲控制中被廣泛使用。為研究消聲器中高頻消聲性能必須考慮高階模態的影響。Munjal［1］利用分離變量法給出了矩形截面和圓形截面本征函數的解析表達式。Selamet等［2-3］根據模態節線的分布，應用模態匹配法研究了進出口位置和插管長度對圓管膨脹腔消聲器消聲性能的影響。Denia等［4-5］應用數值方法求解了橢圓截面的模態頻率，應用模態疊加法分析了進出口位置和膨脹腔長度對橢圓形消聲器聲學特性的影響。Albelda等［6］利用元件模態綜合方法研究了圓形截面穿孔管阻性消聲器的橫向模態，但給出的結果中并沒有將穿孔管考慮進去。Selamet等［7-8］給出了圓形截面軸對稱穿孔管的特性方程，但并未給出具體的模態結果。有關含有穿孔元件聲學結構的橫截面模態計算和分析的具體研究尚未見有文章發表。由于解析方法只適用于圓形或矩形同軸結構，對于截面為任意形狀的結構，應使用數值方法。

本文研究的目的在于:① 基于伽遼金加權殘數法，推導有穿孔元件存在時任意形狀橫截面本征值問題的有限元方程，利用狀態空間原理將非線性特征值問題轉換成標準的線性特征值問題，從而求出模態頻率;② 對圓形同軸穿孔橫截面，將有限元法計算結果與解析結果進行比較，檢驗有限元法預測穿孔管消聲器橫截面模態的有效性和精確性。③ 分析孔徑、穿孔率和穿孔管偏移對穿孔管消聲器的橫截面模態頻率和消聲特性的影響。

1 橫截面本征值問題求解的有限元法

圖1為含有穿孔元件聲學結構的橫截面示意圖。對于此類二維聲學問題，區域S1和S2內的控制方程為:

其中:p1和p2分別為區域S1和S2內的聲壓，k為波數。相應的邊界條件為:

(1)剛性壁面邊界條件，即法向質點振動速度為零，即:

圖1 穿孔橫截面Fig.1 Perforated cross-section

(2)穿孔壁面邊界條件，假設穿孔兩側的法向質點振速連續，法向質點振速un和穿孔板兩側的聲壓差通過穿孔聲阻抗ζp聯系起來，即:

其中:ρ0為空氣密度，c0為聲速。穿孔聲阻抗可表示為:

其中:φ為穿孔率，r=0.006為單孔的聲阻，j為虛數單位，t'w=tw+αdh為穿孔管壁的聲學厚度，tw為穿孔板壁厚，dh為穿孔直徑，α為穿孔板的聲學厚度修正系數，可表示為［9］:

由法向質點振速和壓力梯度的關系可得:

利用伽遼金加權殘數法和格林公式推導聲學有限元方程［10］，從而可以得到含有穿孔元件聲學結構橫截面的特征方程。

區域S1內有:

其中，［K1］e=∫S1［▽N］［▽N］TdS為剛度矩陣，［M1］e=∫S1{N}·{N}TdS為質量矩陣，［］e= ∫Lp{N}·{N}TdL，［］e=∫Lp{N}{N}TdL為穿孔阻抗矩陣，下腳標e代表單元，{N}為形函數列向量。

將區域S1中的所有單元進行組裝后可得:

其中［K1］、［M1］、［］和［］分別由相應的各單元系數矩陣擴充而成。

同樣，在區域S2內有:

聯合式(9)、式(10)得到:

式(11)即為含有穿孔元件聲學結構的特征方程，求解該方程即可得到橫截面的模態頻率。由于該方程為非線性特征值方程，求解時，應用狀態空間理論將非線性特征值方程轉換為線性特征值方程。

將式(11)寫成:

將式(5)代入式(12)，整理方程得到:

引入{PP}=k{P}，{PPP}=k2{P}，得到如下狀態方程形式:

從而得到一個標準的特征值方程。通過求解此特征值方程可以求得所有特征值和特征向量。在穿孔阻抗邊界條件下，其特征值為復數，從而構成所謂的復模態問題。在物理上，復特征值的實部對應模態的固有圓頻率，虛部為模態衰減系數。

基于上述理論編寫有限元計算程序，并將其應用于計算和分析穿孔管消聲器橫截面模態頻率，進而分析消聲器的消聲特性。

2 算例及分析

為驗證本文方法和編寫的有限元計算程序的正確性，首先計算如圖2所示的直通穿孔管消聲器的徑向模態頻率，并與解析結果進行比較。由文獻［7］可以得到特性方程:

圖2 直通穿孔管消聲器Fig.2 Straight-through perforated tube silencer

對該方程求根即可得到徑向模態頻率的解析結果。

本文所用的消聲器具體尺寸為:膨脹腔的內半徑和長度分別為R=82.2 mm，L=257.2 mm，管道的內半徑和外半徑分別為r=24.5 mm和r'=25.4 mm，穿孔管壁厚為tw=0.9 mm，聲速取344 m/s。

表1給出了使用有限元法和解析方法計算得到的穿孔率為φ=8.4%、孔徑dh=4.98 mm的穿孔管消聲器的徑向模態頻率。可以看出，兩種方法計算結果吻合很好，相對誤差在0.35%以內，從而驗證了本文有限元法和編寫的計算程序的正確性和計算精度。

表1 有限元結果與解析結果比較Tab.1 Comparison of FEM and analytical results

2.1 孔徑對橫截面模態頻率的影響

表2給出了穿孔率為8.4%，孔徑分別為2.49 mm和4.98 mm時消聲器橫截面的前4階徑向模態頻率和模態形狀。可以看出，孔徑越大，相同階次的高階模態頻率越低。圖3比較了兩種孔徑的直通穿孔管消聲器的傳遞損失。在傳遞損失曲線中，存在通過頻率的拱形特性是聲波以平面波形式傳播的特征。拱形特性不再存在，說明高階模態被激發，消聲器內部出現高次波，聲波以三維波的形式傳播，消聲器傳遞損失變差。從圖3可以看出，孔徑為2.49 mm的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線在(0，1)階模態頻率(即2 188.6Hz)附近平面波特有的拱形特性消失，說明(0，1)階模態被激發;而孔徑為4.98 mm的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線則在對應的(0，1)階模態頻率(即1 987.5 Hz)附近不再有平面波傳播的特性。說明孔徑越大，(0，1)階模態頻率越低，消聲器內高次波出現的越早，中頻消聲效果變差。

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圖4給出了穿孔率為8.4%時，孔徑分別為0.62 mm，1.25 mm，2.49 mm，3.74 mm，4.98 mm，7.47 mm和9.96 mm幾種情況下計算得到的橫截面(0，1)階模態頻率。可以看出，在同一穿孔率下，孔徑越大，(0，1)階模態頻率越低。圖5則比較了不同孔徑時直通穿孔管消聲器的傳遞損失，可以看出，孔徑越大，傳遞損失曲線上拱形不存在的頻率越低，即平面波有效的頻率范圍越窄。

2.2 穿孔率對橫截面模態頻率的影響

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表3給出了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%和8.4%時前4階徑向模態頻率與模態形狀。可以看出，穿孔率越大，同一階次的高階模態頻率越高。圖6比較了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%和8.4%時直通穿孔管消聲器的傳遞損失。可以看出，穿孔率為2.1%的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線在(0，1)階模態頻率(即1 367.9 Hz)附近不再有平面波特有的拱形特性，說明 (0，1)模態被激發;而穿孔率為8.4%的直通穿孔管消聲器傳遞損失曲線則在對應的(0，1)階模態頻率(即2 188.6 Hz)附近不再有平面波傳播的特性。說明穿孔率越大，消聲器內高次波出現的越晚，平面波截止頻率越高。

圖9給出了幾種典型穿孔率下不同孔徑時橫截面(0，1)階模態頻率分布。可以看出，穿孔率越低，孔徑和穿孔率對(0，1)階模態頻率影響越大;孔徑越大，(0，1)階模態頻率越低。隨著穿孔率升高，(0，1)階模態頻率升高。穿孔率大于40%以后，孔徑和穿孔率對(0，1)階模態頻率的影響較小。為增加有效的消聲范圍，孔徑應減小，穿孔率應增大。為簡便起見，當穿孔率高于40%以后，工程設計中可以忽略穿孔管的存在。

圖6 不同穿孔率直通穿孔管消聲器傳遞損失比較Fig.6 Comparison of transmission losses of straight-through perforated tube silencers with different porosity

圖7 穿孔率對橫截面(0，1)階模態頻率的影響Fig.7 Effect of porosity on cross-sectional(0，1)modal frequencies

圖8 穿孔率對直通穿孔管消聲器傳遞損失的影響Fig.8 Effect of porosity on transmission losses of straight-through perforated tube silencers

圖9 孔徑和穿孔率對橫截面(0，1)階模態頻率的影響Fig.9 Effect of hole diameter and porosity on cross-sectional(0，1)modal frequencies

2.3 穿孔管偏移對橫截面模態頻率的影響

圖10 穿孔管偏移橫截面Fig.10 Cross-section with offset perforated tube

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考慮圖10所示的穿孔管偏移結構，表4比較了穿孔率為8.4%，孔徑為2.49 mm，穿孔管分別偏移δ=10 mm，δ=30 mm和δ=55 mm時穿孔管消聲器的前4階橫截面模態。由于穿孔管(進出口管)位于消聲器第1階模態的節線上，所以第1階模態被抑制，第2階模態首先被激發并傳播。由表4可以看出，穿孔管偏移對消聲器的第1和第2階模態頻率影響較小，但總體來講，偏移量越大，第1和第2階模態頻率越高，但增加的幅度不大。圖11比較了穿孔管偏移對消聲器傳遞損失的影響，三種結構的消聲器傳遞損失曲線拱形消失的頻率接近，即平面波截止頻率(第2階模態頻率)接近。

圖11 穿孔管偏移時消聲器傳遞損失比較Fig.11 Comparison of transmission losses of silencer with offset perforated tube

表5比較了穿孔率為8.4%，孔徑分別為2.49 mm，4.98 mm和9.96 mm時穿孔管偏移消聲器的第2階模態頻率。可以看出，孔徑固定時，穿孔管偏移對消聲器第2階模態頻率有一定的影響，但幅度較小。

表6比較了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%，8.4%和16.8%時穿孔管偏移消聲器的第2階模態頻率。可以看出，對于固定的穿孔率，穿孔管偏移對第2階橫截面模態頻率的影響較小。

解析方法只能計算圓形同軸消聲器的橫截面模態。由于工程需要，不同軸穿孔管消聲器應用也比較廣泛，本文的有限元法不受幾何形狀的限制，可以計算任意截面形狀消聲器的橫截面模態，為工程設計提供了一種有實用價值的計算方法。

表5 不同孔徑時穿孔管偏移對消聲器第2階模態頻率的影響Tab.5 Effect of perforated tube offset on the second modal frequencies of silencers with different hole diameter

表6 不同穿孔率時穿孔管偏移對消聲器第2階模態頻率的影響Tab.6 Effect of perforated tube offset on the second modal frequencies of silencers with different porosity

3 結論

基于伽遼金加權殘數法，推導了含有穿孔元件聲學結構橫截面的聲學本征方程，利用狀態空間原理將非線性特征值問題轉換為標準的線性特征值問題。對于圓形同軸結構，橫截面模態頻率的有限元計算結果與解析結果吻合良好，從而驗證了本文有限元方法及程序計算穿孔管消聲器橫截面模態的準確性。有限元數值計算結果表明，穿孔率低于40%，孔徑越大，(0，1)階模態頻率越低，消聲器中頻消聲效果越差;穿孔率越高，(0，1)階模態頻率越高，中頻消聲效果越好。穿孔率高于40%，孔徑和穿孔率對(0，1)階模態頻率影響較小。對于固定孔徑和穿孔率，穿孔管偏移對第2階模態頻率影響較小。

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