關于丟番圖方程

管訓貴

（泰州師范高等專科學校 數理信息學院，江蘇 泰州 225300）

管訓貴

（泰州師范高等?？茖W校 數理信息學院，江蘇 泰州 225300）

與階乘有關的高次丟番圖方程，一直是數論中引人關注的課題。本文研究了方程

丟番圖方程；階乘；方冪數；同余；正整數解

All positive integral solution can be reached under certaiss condition with a finite number of congruence.Key Words:diophantine equation; factorial; power number; congruence; positive integral solution

1 引言及主要結論

設N為全體正整數的集合。長期以來，高次丟番圖方程的求解，一直是數論中引人關注的課題[1]。許多數學家及其數學愛好者曾對此做過大量的研究[2-4]。2005年，M. Bencze[5]提出了含有階乘的方程

的求解問題。2006年，樂茂華[6]證明了方程（1）僅有解(m,n)=(1,1)，(2,2)。2009年，鄭濤和楊仕椿[7]提出了更一般的方程

這里a是給定的整數。他們給出了a∈{-4,-2,-1,1,4}時，方程（2）的全部解。本文證明了

定理1設n≥6，

（I）若

a≡1,3,7,15,17,23,29,31,35,43,45,49,51,63,65,71,77,79, 87,91,93,99,107(mod112)，則方程(2)無解；

（II）若a≡3,7,11,13,15,23,29,31,33,39,43,47,49,51, 59,61,65,67,75,77,79,83,87,93,95,97,103,111,113,115,119, 123,129,131,139,141(mod144)，則方程(2)無解。

定理2方程(2)

當a=1時，僅有解(m,n,q)=(3,3,2)，(5,4,2)；

當a=17時，僅有解(m,n,q)=(4,4,2)；

當a=29時，僅有解(m,n,q)=(2,4,2)；

當a=-3時，僅有解(m,n,q)=(2,1,2)，(2,4,6)；

當a=-5時，僅有解(m,n,q)=(3,2,2)；

當a=-13時，僅有解(m,n,q)=(4,2,2)；

當a=-15時，僅有解(m,n,q)=(4,1,2)；

當a=-31時，僅有解(m,n,q)=(5,1,2)，(6,4,2)；

當a=-33時，僅有解(m,n,q)=(2,2,6)；

當a=-35時，僅有解(m,n,q)=(2,1,6)；

當a=-61時，僅有解(m,n,q)=(6,2,2)；

當a=-63時，僅有解(m,n,q)=(6,1,2)，(3,5,6)；

當a=-67時，僅有解(m,n,q)=(2,4,10)；

當a=-95時，僅有解(m,n,q)=(7,4,2)；

當a=-97時，僅有解(m,n,q)=(2,2,10)；

當a=-111時，僅有解(m,n,q)=(2,4,12)；

當a=-141時，僅有解(m,n,q)=(2,2,12)。

2 關鍵性引理

引理1（孫子剩余定理） 設m1,m2,Λ,mk（k≥2）是兩兩互素的正整數，令

則同余方程組

有唯一解

這里證明參見文獻[8]。

引理2同余方程組

的解為a≡49r+64t(mod 112)。

證明因gcd(16,7)=1，故本題可用孫子剩余定理求解。此時m1=16，m2=7，M=112，M1=7，M2=16。由7α1≡1(mod16)可取α1=7；由16α2≡1(mod7)可取α2=4，故根據引理1知，原同余方程組的解為

引理3同余方程組

的解為a≡81r+64t(mod 144)。

證明因gcd(16,9)=1，故本題可用孫子剩余定理求解。此時m1=16，m2=9，M=144，M1=9，M2=16。由9α1≡1(mod16)可取α1=9；由16α2≡1(mod9)可取α2=4，故根據引理1知，原同余方程組的解為

3 定理證明

先證定理1。

方程(2)可化為

當n≥6時，

故

若a≡7,3,1,-1,-3,-5(mod16)，則

結合(3)知，2∣q。令q=2l(2s+1)，這里l為正整數，s為非負整數。

假如m≥4，則qm≡0(mod16)，即

與(4)矛盾，故m=2或3。

當l≥2時，qm≡0(mod 16)，即

與(4)矛盾，故此時方程(2)無解。

當l=1，m=2時，qm≡4(mod16)，即

與(4)矛盾，故此時方程(2)也無解。

當l=1，m=3時，

（I）對(5)取模7得，q3≡0,1,6(mod7)，即

考慮到n≥6時，

若再令a≡3,2,1,0(mod7)，則

(6)與(7)矛盾，說明此時方程(2)無解。

由引理2知，同余方程組

的解為

這說明n≥6且a取上述整數時，方程(2)無解。

（II）對(5)取模9得，q3≡0,1,8(mod9)，即

考慮到n≥6時，

若再令a≡2,3,4,5,6,7(mod9)，則

(8)與(9)矛盾，說明此時方程(2)無解。

由引理3知，同余方程組

的解為

這說明n≥6且a取上述整數時，方程(2)也無解。

定理1證畢。再證定理2。

當n=1,2,3,4,5時，

令

考慮n≤5的情況。

由f(1)=0, 2, 8, 32, 152知，(2)有解(m, n, q)=(3, 3, 2)，(5, 4, 2)；

由f(17)=-16, -14, -8, 16, 136知，(2)有解(m, n, q)= (4, 4, 2)；

由f(29)=-28, -26, -20, 4, 124知，(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 2)；

由f(-3)=4, 6, 12, 36, 156知，(2)有解(m, n, q)= (2, 1, 2)，(2, 4, 6)；

由f(-5)=6, 8, 14, 38, 158知，(2)有解(m, n, q)= (3, 2, 2)；

由f(-13)=14, 16, 22, 46, 166知，(2)有解(m, n, q)= (4, 2, 2)；

由f(-15)=16, 18, 24, 48, 168知，(2)有解(m, n, q)= (4, 1, 2)；

由f(-31)=32, 34, 40, 64, 184知，(2)有解(m, n, q)= (5, 1, 2)，(6, 4, 2)；

由f(-33)=34, 36, 42, 66, 186知，(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 6)；

由f(-35)=36, 38, 44, 68, 188知，(2)有解(m, n, q)= (2, 1, 6)；

由f(-61)=62, 64, 70, 94, 214知，(2)有解(m, n, q)= (6, 2, 2)；

由f(-63)=64, 66, 72, 96, 216知，(2)有解(m, n, q)= (6, 1, 2)，(3, 5, 6)；

由f(-67)=68, 70, 76, 100, 220知，(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 10)；

由f(-95)=96, 98, 104, 128, 188知，(2)有解(m, n, q)= (7, 4, 2)；

由f(-97)=98, 100, 106, 130, 190知，(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 10)；

由f(-111)=112, 114, 120, 144, 264知，(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 12)；

由f(-141)=142, 144, 150, 174, 294知，(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 12)。

再結合定理1可知結論成立。

定理2證畢。

[1] Mordell L J. Diophantine equation[M]. London: Academic press, 1969.

[2] Erd?s, Oblat R. Uber diophantische Gleichungen der From n!=xp±ypund n!±m!=xp[J]. Acta Szeged, 1937, 8: 241-255.

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[4] Marius O. The Diophantine equation n!+1=m2[J]. Bull London Math. Soc., 1993, 25: 104-110.

[5] Bencze M. Proposed problem 9247[J]. Octogon Math. Mag, 2005, 13(2): 1227.

[6] 樂茂華.三個含有階乘的Diophantine方程[J].曲靖師范學院學報,2006,25(6):28-31.

[8] 管訓貴.初等數論[M].合肥:中國科技大學出版社,2011.

（責任編輯、校對：趙光峰）

On the Diophantine Equation

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics, Physics ＆ Information Science, Taizhou Normal College, Taizhou 225300, China)

The higher Diophantine equation is very important in number theory. In this paper, we study the Diophantine equation

O156

A

泰州師范高等?？茖W校重點課題資助項目（2010-ASL-09）

2011-10-30

管訓貴（1963-），男，江蘇興化人，副教授，研究方向為基礎數論。

主要結果為在一定條件下求出了它的全部正整數解，所用的方法僅限于取有限模。