一個新的正項級數斂散性的判別法

顧先明，彭 浩

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

一個新的正項級數斂散性的判別法

顧先明，彭 浩

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

用級數

比較判別法；級數判別法的極限形式；Lagrange中值定理；對數判別法

as a comparing standard. This type of criterion is finer and more convenient than that frequently-used Raaba’s criterion.Key Words:new criterion; positive series; ponvergence; Raaba’s criterion

1 引言

目前較常用而又精細的正項級數判別法是拉阿比判別法，然而此判別法有時精確度仍然不夠。本文以級數

做比較標準，得到一個比拉阿比判別法更為精細又應用方便的判別法—“對數判別法”。雖然文獻[1-3]以對數級數

做比較標準得到一系列關于正項級數的斂散性判別法，并稱為Bertrand判別法，但是筆者在文章中得到的一種有別于Bertrand判別法的新的判別法。首先先給出幾個引理：

Lemma 1[1]設

和

為正項級數，且存在正數N，對一切n＞N，有

于是

（1）若級數

收斂，則

來說，當p＞1時是收斂的；當p≤1是發散的。

2 主要結果

我們得到的定理如下：

Theorem（Logarithm Test） 設正項級數

發散。

先考慮發散的情況。設數列{un}是正項數列，若n足夠大時，由比較判別法有

發散。

為了應用方便，我們來尋求像拉阿比判別法那樣的“極限形式”：

由拉格朗日中值定理知，對任意n，存在

發散。

收斂的情況可類似討論：設數列{un}是正項數列，若存在p＞1使得n足夠大時，有

由拉格朗日中值定理知，對任意n，存在

收斂。

此外，當s=1時此判別法失效。

[1] 吳良森,等.數學分析學習指導書(下冊)[M].北京:高等教教育出版社,2006:26.

[2] 謝惠民,等.數學分析習題課講義(下冊)[M].北京:高等教教育出版社,2004.

[3] 菲赫金哥爾茨.徐獻瑜,等譯.微積分學教程(第二卷-第二分冊)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[4] 華東師范大學數學系.數學分析(下冊)(3版)[M].北京:高等教教育出版社,2006:13-14.

（責任編輯、校對：趙光峰）

A New Criterion of the Convergence and Divergence of the Positive Series

GU Xian-ming, PENG Hao

(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

In this paper, a new criterion was proposed to discriminate the convergence of positive series by using series

O173

A

1009-9115(2012)02-0031-03

唐山師范學院的大學生科技創新立項項目

2011-01-22

顧先明（1989-），男，安徽壽縣人，本科學生，研究方向為函數論，計算數學。

做比較標準，得到一個比拉阿比判別法更為精細又應用方便的判別法，稱為“對數判別法”。