外微分在微積分中的應(yīng)用

宋澤成，于蘭芳

（1. 唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000；2. 河北民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，河北 承德067000）

外微分在微積分中的應(yīng)用

宋澤成1，于蘭芳2

（1. 唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000；2. 河北民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，河北 承德067000）

引進(jìn)外積和外微分的概念后，用來解釋微積分中的二重積分變量變換式、場論中的格林公式、斯托克斯公式和高斯公式。

外微分；解釋；微積分

在實際應(yīng)用中，我們常用到的積分一般在三重積分以內(nèi)，因此，這里只討論到三重積分。實際上可推廣到n重積分。

1 外積和外微分

定義1設(shè)φ、ψ是一元函數(shù)，我們規(guī)定一種運算為“外積”，用“∧”表示

外積具有下列性質(zhì)：

（1）外積是可結(jié)合的，即

（2）外積是雙線性的，即

（3）外積是不可換的，但有如下關(guān)系式：

定義2設(shè)M是二維或三維空間，如果線性映射dM具有下面性質(zhì)：

（1）f是一連函數(shù)時，dMf=df，這里d是普通微分。

則稱此線性映射為外微分。

有了以上的預(yù)備知識之后，就可以來解釋微積分中的一些問題了。

2 外微分的應(yīng)用

2.1 用外微分解釋二重積分的變量變換公式

設(shè)

其中D是R2中區(qū)域，f是D上連續(xù)函數(shù)（如果需要，可以假定它是C1階）作變量代換：

則f(x,y)代換成f(x(u,v),y(u,v))，將用坐標(biāo)（u,v）表示，而積元素dxdy將代換為

這就是微積分所述的公式

但是，如果將變量代換(*)微分，得：

那么，積分號∫下的dxdy是否是(**)中兩式相乘呢？顯然不是。但如果把dx、dy看作一次微分形式，把積分號∫下的dxdy看成外積，即dx∧dy，那么，利用外積的性質(zhì)，有

在n重積分中的變量代換公式也有完全類似的結(jié)果。

注：由以上解釋可以看出，積分號∫下的dxdy不能寫成dydx，因為它們不相等，相差一個負(fù)號。

2.2 用外微分考察場論中的三個公式

（1）格林公式

設(shè)(x, y)是R2中坐標(biāo)，令

（2）斯托克斯公式

設(shè)(x, y, z)是R3中的坐標(biāo)，令

The Application of Outside Differential in Calculus

SONG Ze-cheng1, YU Lan-fang2

(1. Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China; 2. Department of Mathematics and Computer Science, Chengde Teachers College for Nationalities, Chengde 067000, China)

After the concept of outer product and outside differential has been introduced, it is used to explain double integral variable transforms in the calculus, green's formula in the field theory, a stoke formula and the Gauss formula.

outside differential; explanation; calculus

O172

A

1009-9115(2012)02-0036-02

唐山師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項目（2011001013）

2012-01-04

宋澤成（1964-），男，河北唐山人，學(xué)士，副教授，大學(xué)本科，研究方向為函數(shù)論。