可變形電子元件的非線性動力屈曲行為分析*

張曉晴，歐智成

(華南理工大學土木與交通學院，廣東 廣州510640)

可變形電子技術在微電子、生物、醫學等領域有廣闊的應用前景［1］，它以硬質薄膜、柔性基底結構為基礎，將薄膜粘附在已施加預應變的基底上，然后釋放預應變，致使薄膜發生屈曲［2］。將薄膜/基底結構的屈曲特性應用于半導體納米技術中，便可實現電子元件的可變形特性。R.Huang 等［3-6］建立了薄膜基底結構的力學模型，研究了各向同性、正交各向異性的彈性薄膜在彈性、粘性和粘彈性基底上的屈曲行為，得到了薄膜屈曲的波長、波幅和臨界荷載等。B.Audolya 等［7］、X.Chen 等［8］、J.Song 等［9］研究了包括人字形、棋盤形、波浪形等多種受到雙軸預應變荷載的薄膜屈曲構型。文獻［10-12］中研究了有限窄帶薄膜的屈曲，并考慮了大變形和超彈性的情況。

當前的研究主要集中在靜力屈曲方面，并未考慮結構的動力響應，事實上無論是在生產還是使用過程中，可變形電子元件都不可避免地會承受各種動力荷載的作用。這些荷載可能來自化學反應、機械碰撞、環境溫度等，并最終體現在薄膜/基底結構受到的隨時間變化的荷載。一般而言，這些荷載包括線性荷載、階躍荷載、脈沖荷載、周期荷載和隨動荷載等，原來的靜力屈曲問題轉化為與時間相關的動力屈曲問題。動力屈曲同靜力屈曲分析一樣，需要確定臨界荷載和屈曲模態等，但動力屈曲有更豐富的動力響應，包括沖擊屈曲、振蕩屈曲等，而且對初始條件敏感［13-14］。

本文中，分析線性荷載下薄膜/基底結構的動力屈曲。假設薄膜受到線性遞增的單軸預應變，利用Kirchhoff 平板理論描述薄膜，用小變形平面應變理論描述基底，導出薄膜的應變能和動能，以及基底對薄膜所作的功。然后定義Lagrange 函數，利用Euler-Lagrange 方程導出動力屈曲控制方程。通過量綱一化后，得到一個關于屈曲波幅和線性荷載的非線性常微分方程。通過數值方法求解結構的動力響應，并利用B-R 準則確定臨界屈曲荷載［15］，最后討論初始條件對動力響應的影響。可以發現，動力屈曲的臨界荷載較靜力屈曲的大，波幅響應圍繞靜力屈曲的振蕩。

1 基本模型和控制方程

彈性薄膜無滑移地粘附在彈性基底上，薄膜厚度為h，基底厚度為H，且H?h。基底受到單軸預拉伸應變ε0，以此時的構型為初始構型，以接觸面的中心為原點建立坐標系，如圖1(a)所示。釋放基底的預應變，結構發生屈曲，如圖1(b)所示，假設在此過程中薄膜受到線性變化的壓縮應變ε(t)。用Kirchhoff 平板理論描述薄膜，用小變形理論描述基底。由于結構在y 方向的長度遠大于波長，因此基底可簡化為平面應變問題。薄膜與基底接觸面處(z=0)的位移連續，基底底部固定，即邊界條件為

式中:上標s 表示基底。

圖1 硬質薄膜/柔性基底結構Fig.1 The structure in a stiff thin film bonded to a compliant thick substrate

1.1 薄膜

由于薄膜只受到單軸荷載，其基本方程可簡化為一維情況，并考慮中等應變

式中:u0和w0分別表示薄膜中面上的面內位移和撓度。Kirchhoff 平板理論認為薄膜撓度沿著厚度方向無變化，等于中面撓度。但面內位移沿著厚度線性分布。于是薄膜任意位置的位移為

運用Hooke 定律得到薄膜中面的應力

將式(2)～(4)代入式(5)，得到位移表示的平衡方程

假設薄膜的撓度

式中:A(t)為波幅，k 為波數。假設薄膜的波長與時間無關，并且遠大于厚度，λ=2π/k?h，即kh?1。將式(7)代入式(6)解得中面位移

于是接觸面處的位移

再由式(2)得薄膜的面內應變

薄膜的應變能包括彎曲應變能Ub和壓縮應變能Um，即

本文中，上標“·”表示對時間的一階導數。

1.2 基底

計算基底對薄膜的反力。由小變形平面應變理論得基底應變

運用Hooke 定律(平面應變)得到應力

式中:Es和νs為基底的楊氏模量和泊松比。利用平衡方程

將式(13)～(14)代入式(15)，得到位移表示的平衡方程

分離變量得到

式中:下標“，”表示對坐標的偏導數。考慮位移的周期性和有界性，得到微分方程的通解為

利用邊界條件(1)解得

注意到基底的預應變ε0被完全釋放。再式(19)代入式(14)，得到接觸面上的應力

忽略高階項和小量后得到基底對薄膜的作用力

1.3 動力屈曲控制方程

定義Lagrange 函數

式中:薄膜應變能Ue=Ub+Um。將式(11)～(12)、(22)代入，得

考慮撓度的周期性，將式(7)、(10)代入式(24)，計算一個周期內的平均值，得到

將式(25)代入，整理得到

忽略式(27)中的慣性項12ρ hA″(t)，則得到靜力屈曲的控制方程。聯立式(28)解得靜力屈曲時的平衡波數

將式(29)代入式(28)并令A=0，解得靜力屈曲的臨界荷載(預應變)

假設薄膜動力屈曲中平衡波數不變，把式(29)代入式(27)得到

其中

2 動力屈曲

假設單位預應變隨時間增長如下

式中:c 為變形率;τ 有兩重意義，一為量綱一時間，二為當前應變較靜力屈曲臨界應變的相對增量。將式(33)代入式(31)得到線性荷載下的動力平衡微分方程為，或寫成

圖2 動力響應Fig.2 Dynamic response

利用B-R 準則確定動力屈曲臨界荷載［15］，即波幅響應第1 個拐點處。由式(34)得到臨界荷載滿足，即動力屈曲的臨界荷載為動力屈曲與靜力屈曲波幅響應的交點。由圖2(b)～(c)可知，在動力波幅的第1 個極值點處，動力屈曲的波幅對靜力屈曲的波幅的增幅最大，之后隨著荷載的增大，增幅減小。定義動力屈曲波幅增長系數，表示第1 個極大值處二者的比值。

3 討 論

圖3 動力屈曲臨界荷載Fig.3 The critical load in dynamic buckling

圖4 動力屈曲波幅增長系數與初始撓度和應變率的關系Fig.4 The relationship among the increment ratio of dynamic buckling amplitude，initial amplitude and strain rate

4 結 論

基于Kirchhoff 平板理論以及Euler-Lagrange 方程導出薄膜、基底結構的動力屈曲控制方程，分析該結構在線性荷載下的動力特性。隨著線性荷載的增大，波幅的動力響應先是緩慢增長，然后發生突變，最后圍繞靜力屈曲的路徑振蕩，并且波幅的峰值較靜力屈曲的要大。動力屈曲受到初始撓度和應變率的影響，應變率越大，初始撓度越小，則臨界荷載以及動力屈曲的波幅增幅也越大。當柔性電子元件受到的荷載較大時，結構可能發生二次屈曲，文中對基底的小變形假設也不再適用。

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