復雜載荷作用下潛艇結構疲勞裂紋擴展預報方法

張鼎，黃小平

（上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200240）

1 概述

潛艇由于必須不定期的上浮和下潛，承受著反復作用的外壓隨機載荷，面臨著疲勞問題。目前采用的疲勞壽命預測方法大致可分為2類:一類是基于SN曲線和Palgren-Miner線性累積損傷的疲勞理論（Cumulative Fatigue Damage，CFD）;另一類是基于疲勞裂紋擴展率曲線的疲勞裂紋擴展理論（Fatigue Crack Propagation，FCP）。由于海洋結構物幾何形狀及所受載荷的復雜性，CFD理論預測疲勞壽命的結果不甚理想。研究表明，FCP理論能克服CFD理論的缺陷［1］。一種預測疲勞裂紋擴展率的好方法是正確預報疲勞壽命的關鍵，盡管關于裂紋擴展率模型有不少研究報道，但是很少有模型能模擬在實驗中出現的各種特殊現象［2］。

自Paris等［3］在線彈性斷裂力學基礎上給出第1個應力強度因子幅和裂紋擴展速率的關系表達式以來，關于裂紋擴展率的不同表達式已不下幾百個。到目前為止，所有這些關系式都是經驗或半經驗的。為了減少由于所取經驗參數的不同帶來的隨意性，不少學者在裂紋擴展率統一公式方面做出了不懈的努力。McEvily等［4］發表了一系列屬于部分閉合的裂紋擴展率模型，此模型不僅可以模擬初始缺陷及載荷次序的影響，還可以模擬在實驗中出現的其他各種特殊現象。但是此模型只適合線性區域或極限水平附近區域，且只對理想彈塑性材料有效。在McEvily模型基礎上，崔維成、黃小平等［5］提出了統一疲勞裂紋擴展模型，此模型在以下幾個方面做了改進:

1）引入了不穩定斷裂情況;

2）用虛擬強度來代替材料的屈服強度;

3）引入過載/低載參數來模擬循環載荷進程中的過載遲滯和低載加速現象。

最近，王芳等［6－8］在前面研究的基礎上又做了如下改進:

1）將斷裂韌性當成一個關于裂紋長度的變量;

2）將裂紋張開水平處的應力強度因子表示為裂紋長度的函數，進一步完善了統一疲勞裂紋擴展模型。模型將疲勞裂紋擴展的3個擴展區域統一起來，并能解釋更多的疲勞試驗現象［8］。

本文主要進行了以下3個方面的工作:

1）介紹了統一疲勞裂紋擴展模型的基本表達式;

2）將此模型和焊趾表面裂紋應力強度因子的計算方法以及焊接殘余應力引起的應力強度因子的計算方法結合起來，給出了一種復雜載荷作用下潛艇結構疲勞裂紋擴展預報方法;

3）將服從Weibull分布的隨機載荷系列編排為升序、降序載荷譜及隨機載荷譜，預報了潛艇錐柱結合殼焊縫焊趾處表面裂紋在這3種載荷譜下的疲勞裂紋擴展情況，并分析了隨機載荷譜下載荷次序效應及初始裂紋尺寸對疲勞裂紋擴展行為的影響。

2 統一疲勞裂紋擴展模型

文獻［8］運用統一疲勞裂紋擴展模型對不同載荷比下各種材料的疲勞裂紋擴展率進行了預報，并將預報結果與實驗結果進行了對比，對比結果證明了該模型的準確性。其中，模型的基本表達式為［7－8］:

式中:A為材料及環境常數，（MPa）－2;R為應力比，定義為Smin/Smax;ΔKeffth為門檻值處的有效應力強度因子為當應力比R=0時的應力強度因子幅門檻值為材料的平面應變斷裂韌性為裂紋開口狀態函數，定義為Kop/ΔK;KC為材料的斷裂韌性為過載時的最大應力強度因子為低載－過載引起的應力強度因子幅為裂紋尖端塑性區大小，m;rOL為過載時裂紋尖端塑性區大小，m;rUL為低載時裂紋尖端塑性區大小，m;Φ為載荷次序修正因子;Y為裂紋實際長度的幾何因子;σV為材料的虛擬強度，MPa;re為量級在1 μm左右的材料內部缺陷長度;λ為塑性區大小系數;γ為載荷效應指數;A0，A1，A2和A3為裂紋張開函數的系數;σf1為流變應力，MPa;α'為平面應力/應變約束參數;α為計算材料虛擬強度的參數;w為裂紋平板試件的寬度，m;t為裂紋平板試件的厚度，m;Kmax，fop和KC均為裂紋長度的函數。

3 潛艇結構表面裂紋應力強度因子計算

3.1 壓彎組合應力下焊趾表面裂紋應力強度因子計算

由于潛艇結構的特點以及所受載荷的特殊性，其錐柱結合殼焊縫處受到壓彎組合應力作用。焊接結構在壓彎組合應力下焊趾表面裂紋應力強度因子的一般形式為［9］:

其中:σb為彎曲應力;a為裂紋深度;c為裂紋半長; w為板寬;MK為壓彎組合應力下焊接結構應力強度因子修正系數;KR為殘余應力引起的應力強度因子。適用范圍:0＜a/c≤1.0，0＜a/t≤1.0，2 c/w≤0.5，0≤φ≤π。

3.2 焊趾處應力集中的影響

當缺陷或裂紋位于局部應力集中區時，在計算K時必須考慮應力集中場的影響，對于焊趾表面裂紋來說，應力強度因子放大系數MK是裂紋尺寸，接頭的幾何參數以及載荷的函數。對于很淺的表面裂紋，可以認為MK=Kt。當裂紋深度增加時，裂紋尖端就逐漸遠離應力集中區域，MK隨裂紋深度的增加而減小，在厚度為t的平板上的焊接接頭。對于對接焊縫，當a/t=0.1時，MK可認為減小到1.0［10］，對于突出成圓弧形的雙面加強高對接接頭，其簡圖如圖1所示，在MK＞1.0的范圍內，文獻［11］給出了一種對接接頭的MK計算方法:

圖1 對接接頭簡圖Fig.1Sketch of weld joint

3.3 焊接殘余應力引起的應力強度因子計算

在焊接結構加工過程中，由于焊接熱循環的作用，引起接頭局部不均勻的熱塑性變形和相變，產生了自相平衡的殘余應力。一般而言，大型的壓力容器焊接成形后，難于進行整體的退火處理，在容器殼體的曲率突變處，往往存在著殘余應力。對于平行于焊縫的焊趾表面裂紋，應當考慮垂直裂紋面的焊接殘余應力的影響。文獻［12］建議垂直焊縫方向的焊接殘余應力在焊趾處表面的取值為:

式中:σR為殘余應力;σY為材料的屈服強度。

當保守計算時，可認為殘余應力沿壁厚均布且等于表面處的殘余應力。對于殘余應力引起的應力強度因子的計算，借用Newman-Raju公式［13］的拉應力部分，將殘余應力簡單的視為拉應力即可，故殘余應力的應力強度因子計算式可如下表示:

4 實例分析

4.1 潛艇載荷譜分析

潛艇結構的疲勞熱點部位是錐柱結合殼連接焊趾處，焊趾表面裂紋及其疲勞擴展導致結構的失效是該結構破壞的主要形式［14］。文獻［15］從疲勞損傷的角度出發，考慮可能出現的最危險情況下的載荷統計特性，探討了建立潛艇所受外壓載荷模型的方法。在此基礎上，給出了典型的潛艇或潛水器外壓載荷分布概率密度函數。本文假設潛艇的極限深度為450 m，且下潛深度符合Weibull分布，其概率密度函數和分布函數如下所示［15］:

由于下潛深度是隨機的，若直接由數學軟件工具Matlab生成服從式（25）的隨機數時，隨著數據的增多，必然會產生大于450 m的數據。為了盡可能使產生的隨機數可靠，首先利用Matlab隨機產生40 000個從0～0.975的服從均勻分布的隨機數，其中，0.975為極限深度450 m對應的累積概率，由式（25）得到。然后將這些數據轉化為服從Weibull分布的數據。

為了使計算過程簡單，認為潛艇在每次下潛到一定深度后都潛出水面。當潛艇到達水面時，將只承受殘余應力;潛艇在水下時承受彎曲應力、壓縮應力和殘余應力的影響。彎曲應力和壓縮應力隨深度變化，殘余應力作為常量來考慮。且殘余應力為交變載荷的最小應力，它通過應力比R影響裂紋的擴展速率。圖2為載荷隨機數據分布圖，由于數量較多，只列舉了前200個載荷隨機數。其中，彎曲應力σb與壓縮應力σc可通過下式來計算［16］:

式中:P為海水外壓，取1 MPa，即對應100 m水深;r為圓柱殼內徑;β為錐柱結合角。

圖2 服從Weibull分布的載荷隨機數據分布Fig.2Random loading obey the Weibull distribution

本文將生成的隨機載荷系列編排為升序、降序載荷譜及隨機載荷譜，在此基礎上分析了潛艇結構在這3種載荷譜下的疲勞裂紋擴展情況。同時探討了在隨機載荷譜下，載荷次序效應及初始裂紋尺寸對潛艇結構疲勞壽命的影響。圖3和圖4分別為升序載荷譜和降序載荷譜的示意圖。其中，結構材料為921鋼，其屈服強度600 MPa，計算過程中，模型選取的系數為:A=1.39×10－10，m=2.325，n=6，γ=4.8。

4.2 預報結果分析

對于初始狀態的裂紋，由一般工業上無損探傷可以檢測到的裂紋的大小或允許最大的缺陷尺寸的大者作為初始裂紋的尺寸:a＞0.05 mm，c＞0.5 mm。如圖5所示，完成相同的循環次數后，當初始裂紋深度a為0.2 mm，初始裂紋長度c分別取5 mm和7 mm時，均可得到升序載荷譜下最終裂紋深度值最大，隨機載荷譜時次之，降序載荷譜時最小。在降序載荷譜下，載荷從大到小，開始階段載荷較大，裂紋擴展速度較快，但隨著載荷逐漸減小，裂紋擴展速度越來越慢;另一方面，在升序載荷譜下，載荷從小到大，開始階段載荷較小，裂紋擴展速率較小，當循環到一定次數后，隨著載荷越來越大，裂紋擴展速率越來越大。

圖3 升序載荷譜塊Fig．3Ascending loading spectrum

表1表示載荷循環（40000次）完成后，不考慮載荷次序效應時不同的初始裂紋尺寸組合所對應的最終裂紋深度。表2為考慮載荷次序效應時的最終裂紋深度情況;表3為比較表1和表2數據，考慮載荷次序效應后最終裂紋深度的減幅。從表1和表2可以看到，當初始裂紋深度a和初始裂紋長度c的取值均較大時，最終裂紋深度值亦較大。原因為:當初始裂紋尺寸較大時，由上文裂紋擴展率公式可知，裂紋長度和深度方向的擴展速率均較大，故當循環次數相同時，初始裂紋尺寸越大，最終裂紋深度值越大。初始裂紋的尺寸大小對裂紋擴展影響顯著，可見合理的確定初始裂紋尺寸是分析裂紋擴展非常關鍵的一步。

表1 隨機載荷譜下不考慮載荷次序效應時的最終裂紋深度Tab．1Estimate of final crack depth after 40000 cycles under random loading spectrum without considering the loading sequence interaction

表2 隨機載荷譜下考慮載荷次序效應時的最終裂紋深度Tab．2Estimate of final crack depth after 40000 cycles under random loading spectrum considering the loading sequence interaction

表3 隨機載荷譜下考慮載荷次序效應后裂紋深度的減幅Tab．3Decreasing amplitude of crack depth under random loading spectrum after considering the loading sequence interaction

從表3還可看到，對于服從Weibull分布的載荷譜，考慮載荷次序效應后大部分裂紋深度的減幅都高達30%以上，甚至高達70%，過載遲滯現象很明顯，說明載荷次序效應的影響很大。原因是Weibull分布的載荷譜較寬，出現載荷大幅度跳躍的可能性較大，而載荷次序的修正因子跟載荷變化范圍有關，即如果高載后的載荷越小，由上文裂紋擴展率公式可知，載荷次序的修正因子Φ越大，裂紋擴展速率越小。

5 結語

本文介紹了統一疲勞裂紋擴展模型的基本表達式，同時將此模型與焊趾表面裂紋應力強度因子計算方法以及殘余應力引起的應力強度因子的計算方法結合起來，預報了潛艇錐柱結合殼焊縫焊趾處表面裂紋在幾種典型載荷譜下的疲勞擴展行為，得到結論:

1）疲勞裂紋擴展預報方法中考慮了載荷次序效應，應力比，門檻值，焊趾放大系數和殘余應力等因素的影響，結合相應的載荷譜，能有效預報潛艇結構在復雜載荷作用下的疲勞裂紋擴展行為。

2）將滿足Weibull分布的隨機載荷系列編排成升序、降序載荷譜及隨機載荷譜。通過對這些載荷譜進行預報分析可以看到，完成相同的載荷循環次數后，在升序載荷譜下潛艇結構表面裂紋的最終裂紋深度值最大，隨機載荷譜時次之，降序載荷譜時對應的最終裂紋深度值最小。

3）潛艇結構的疲勞裂紋擴展預報結果表明，在隨機載荷譜下，載荷次序效應對結構疲勞壽命的影響很明顯。

4）潛艇結構疲勞裂紋擴展壽命分析中確定合理的初始裂紋尺寸非常重要。

5）統一疲勞裂紋擴展模型的參數相對較多，對于基礎數據不充分的結構強度評估有較大難度，在推向實際運用之前還需做更多的實驗驗證工作。

［1］CUI W C．A feasible study of fatigue life prediction for marine structures based on crack propagation analysis［J］．Journal of Marine Environmental Engineering，2003，217 （5）:11－23．

［2］FRICKE W，CUI W C，LEE H L，et al．Comparative fatigue strength assessment of a structural detail in a containership using various approaches of classification societies［J］．Marine Structure，2002，15（1）:1－13．

［3］PARIS P C，GOMEZ M P，ANDERSON W E．A rational analytical theory of fatigue［J］．The Trend in Engineering，1961，（13）:9－14．

［4］McEVILY A J，BAOH，ISHIHARAS．Amodified constitutive relation for fatigue crack growth［M］．Beijing: Higher Education Press，1999．329－336．

［5］CUI W C，HUANG X P．A general constitutive relation for fatigue crack growth analysis of metal structures［J］．Acta Metall Sinica，2003，（16）:342－354．

［6］WANG Fang，CUI Wei-cheng．On the engineering approach to estimating the paremeters in an improved crack growth rate model for fatigue life prediction［J］．Ships and Offshore Structure，2010，（5）:227－241．

［7］CUI Wei-cheng，WANG Fang，HUANG Xiao-ping．Towards a unified fatigue life prediction（UFLP）method for marine structures:an overview［A］．Proceedings of the ASME 2010 29th International Conference on Ocean，Offshore and Arctic Engineering［C］．Shanghai，2010．981－989．

［8］CHEN Feng-luo，WANGFang，CUIWei-cheng．Applicability of the improved crack growth rate model for a wide range of alloys under constant amplitude load［J］．Journal of Ship Mechanics，2010，14（12）:1349－1360．

［9］黃小平，石德新．壓彎應力下焊趾表面裂紋疲勞性能試驗研究［J］．船舶力學，2002，2（1）:37－43．

HUANG Xiao-ping，SHI De-xing．Experiment on fatigue behaviour of surface cracks at weld toe under combination stresses of compressing and bending［J］．Journal of Ship Mechanics，2002，2（1）:37－43．

［10］BS7910-1999，Guideonmethodsforassessingthe acceptability of flaws in structures［S］．

［11］張毅，黃小平，崔維成，等．對接接頭焊趾應力集中有限元分析［J］．船舶力學，2004，8（5）:91－99．

ZHANG Yi，HUANG Xiao-ping，CUI Weic-heng，et al．Finite element analysis on stress concentration at weld toe of butt-welded joints［J］．Journal of Ship Mechanics，2004，8（5）:91－99．

［12］黃小平，賈貴磊，崔維成，等．海洋鋼結構疲勞裂紋擴展預報單一擴展率曲線模型［J］．船舶力學，2011，15（1－2）:118－125．

HUANG Xiao-ping，JIA Gui-lei，CUI Wei-cheng，et al．Unique crack growth rate curve model for fatigue life prediction of marine steel structures［J］．Journal of Ship Mechanics，2011，15（1－2）:118－125．

［13］NEWMAN J C，RAJU I S．Analysis of surface cracks in a finite plate under tension or bending loads［R］．NASA TP－1579，1979．

［14］黃小平，崔維成，石德新．潛艇錐柱結合殼焊趾表面裂紋疲勞壽命計算［J］．船舶力學，2002，6（4）:62－68．

HUANGXiao-ping，CUIWei-cheng，SHIDe-xing．Calculation of fatigue life of surface cracks at weld toe of submarine cone-cylindershell［J］．JournalofShip Mechanics，2002，6（4）:62－68．

［15］黃小平，崔維成．潛艇疲勞載荷的概率模型［J］．海洋工程，2003，21（3）:18－23．

HUANG Xiao-ping，CUI Wei-cheng．Probability model of fatigue loading for submarines and submersibles［J］．The Ocean Engineering，2003，21（3）:18－23．

［16］戴自昶．錐－環－柱結合殼和錐－柱結合殼應力的近似解［J］．艦船科學技術，2002，24（5）:1－8．

DAI Zi-chang．Approximate solutions of stress in conetoroid－cylinder and cone-cylinder complex shells［J］．Ship Science and Technology，2002，24（5）:1－8．