凸多面體不確定混合時滯系統的均方指數穩定

郭曉寶， 焦賢發， 周堂春

（1.合肥工業大學 數 學學院，安徽 合 肥 230009；2.陸軍軍官學院 數 學教研室，安徽 合 肥 230031）

0 引 言

眾所周知，在工程、生物系統以及信號處理（如多徑傳播和數據通信）領域中經常發生時滯的現象，這類現象可能導致實際系統的不穩定和震蕩。同時，根據時滯發生的方式，可以劃分為時變時滯和分布時滯。近年來，研究Markov跳變參數下時滯系統的穩定是控制領域的熱點課題之一［1－4］。在 Markov跳變參數系統中，文獻［5］研究了帶有離散時滯的線性不確定系統魯棒穩定及可鎮定的充分條件；文獻［6］研究了分布時滯系統的魯棒可鎮定充分條件；文獻［7－8］研究了時滯依賴于模態系統的指數穩定性條件；在線性實常參數凸多面體不確定系統中，文獻［9］討論了離散時滯和時變延遲的魯棒穩定性。已有的研究涉及了帶有Markov跳變參數連續系統的魯棒穩定性問題或實常矩陣凸多面體不確定系統下的魯棒穩定性問題。

本文綜合考慮了Markov跳變參數下，帶有時變與分布時滯的混合時滯類凸多面體不確定系統，通過構造Lyapunov－Krasovskii候選函數，利用線性矩陣不等式方法，給出系統均方指數穩定的充分條件。

1 問題描述與假設

假設1｛rt，t≥0｝為定義在一個帶有自然流的完備全概率空間（Ω，F，｛Ft｝t≥0，P）上，取值于有限維狀態空間S＝｛1，2，…，N｝，且右連續

Markov過程，其模態轉移概率為：

考慮在全概率空間（Ω，F，｛Ft｝t≥0，P）上一類具有混合時滯的Markov跳變參數下的凸多面體不確定系統為：

其中，x（t）∈RN為系統的狀態向量；初始條件φ（t）∈RN為在區間［－h，0］上的連續向量函數；ω（t）為在（Ω，F，｛Ft｝t≥0，P）上獨立于狀態x（t）的維納過程，滿足

E2α（rt）為含參數不確定性且依賴于模態rt的適當維數矩陣，假設其可以表示為若干個頂點矩陣的凸組合，即

其中，Ai（rt）、Bi（rt）、Ci（rt）、E0i（rt）、E1i（rt）、E2i（rt）為頂點矩陣，i＝1，…，N。

d（t）、h（t）分別為系統時滯，且滿足條件：

定義1 系統（1）為均方指數穩定，如果存在正的常量a＞0和b＞0，使得對于系統（1）的每個解x（t；φ）滿足：

引理1 對常值矩陣J＞0，任意標量β＞0，向量函數ν：［0，β］→Rn有［10］：

引理2 （Schur）對給定的對稱矩陣［11］

其中，S11∈Rr×r，以下3個條件是等價的：

（1）S＜0。

（2）S11＜0，S22－ST12S－111S12＜0。

（3）S22＜0，S11－S12S－122ST12＜0。

2 主要結論

對于系統（1），任取rt＝i∈S，則系統（1）的等價形式為：

其中

定理1 如果?i∈S，存在矩陣Pl（i）＞0，Ql＞0，Rl＞0（l＝1，2，…，N），使得以下線性不等式成立，即

其中

則系統（4）為均方指數穩定。

證明 對 系 統 （4），考 慮 Lyapunov－Krasovskii候選函數：

其中

其中，Pα（i）、Qα、Rα為含凸多面體不確定性的適當維數矩陣，形式如下：

由引理1，則有：

由（3）式、（9）～（14）式，可得：

其中

由（5）式和（6）式，得：

其中

由引理2、（16）式，可得Φ＜0。

設α0＝λmin（－Φ）＞0，由（15）式，可得：

由（7）式知，存在標量α1＞0，α2＞0及λm＝（Pα（i））｝，使得：

選取合適的β＞0，使得：

由（17）式、（19）式，對eβtV（x（t），i，t）求導，并取其數學期望得：

對（20）式兩邊從0到T積分得：

由（21）式、（22）式，得：

即

其中，φ＝（α1＋α2h＋α2heβh）／λm。

由定義1，系統（4）為均方指數穩定。

3 數值例子

考慮Markov參數下帶有混合時滯的凸多面體不確定系統（1）二維的數值例子。

例1 取Markov跳變的狀態空間S＝｛1，2｝，各系數矩陣及參數為：

選取滿足（7）式、（8）式的矩陣為：

運用Matlab中的LMI工具箱可得：

通過驗證滿足定理2的條件，故系統（1）為均方指數穩定。

例2 當系統（1）中Cα（rt）、E0α（rt）、E1α（rt）、E2α（rt）項為零矩陣時，文中系統（1）轉化為文獻［12］中系統（1）的情形，對文獻［12］中數值例子利用本文所給方法，運用Matlab中的LMI工具箱可得：

結果滿足文獻［12］中定理1條件，表明文獻［12］中系統均方指數穩定。

4 結束語

本文針對Markov跳變參數下同時具有時變與分布時滯的凸多面體不確定系統，通過構造Lyapunov－Krasovskii候選函數，利用線性矩陣不等式方法，得到該類帶有混合時滯的凸多面體不確定系統的均方指數穩定的充分條件。數值例子表明此方法的可行性與有效性。

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