基于模態(tài)參數的模型縮減及結構動力學分析＊

（武漢理工大學能源與動力工程學院 武漢 430063）

隨著彈性結構幾何形狀的復雜化，體積大型化，各種復雜的邊界條件以及受力狀態(tài)以及較高的求解精度的要求（如船舶柴油機結構），對結構進行有限元動力學分析時，往往需要精細的單元劃分，使得彈性結構的自由度達到幾十到幾百萬個．這樣的現實作為一種推動因素，一方面促進了計算機容量的增加和計算機計算能力的加強，另一方面促進了各種模型縮減技術的發(fā)展［1－4］．

在眾多的模型縮減技術中，本文主要研究在單點激勵－單點響應（SISO）的情況下，由彈性結構的模態(tài)參數（固有頻率和振型）所表達的模型縮減技術，及其在結構動力學分析中的應用．本文以一懸臂梁為例，演示了模態(tài)參數模型縮減技術的過程，然后，對于縮減后的模型分別在頻域和時域對結構進行了動力學分析，計算結果與有限元分析的結果進行了對比，驗證了模態(tài)參數模型縮減技術的正確性和有效性．

1 基本理論

對于具有n個自由度的結構，其基本的動力學方程為

式中：M，K，C分別為結構的質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，其中阻尼矩陣C為瑞利阻尼，滿足：C＝αM＋βK；X為結構的自由度向量，X＝［X1，X2，…，Xn］T；F 為外力向量，F＝ ［F1，F2，…，Fn］T．

為了得到結構的模態(tài)參數，即固有頻率和振型參數，令式（1）中的F＝0和C＝0，得到式（1）的齊次方程．則該齊次方程的解可以表示為：X＝φejωt，其2階導數為：¨X＝－ω2ejωt．將 X 和¨X 代入式（1）的齊次方程中，有

通過求解方程（2），可以得到結構的n個固有頻率和振型，其固有頻率矩陣Ω和振型矩陣Φ表示如下：

式中：ωi為第i階固有頻率；φi為ωi所對應的第i階振型．

當將方程（1）展開為n個獨立的方程時，在自由度之間存在耦合，使得方程（1）求解困難，為此可以利用振型向量之間的正交性，對方程（1）中的剛度矩陣和質量矩陣進行解耦，使矩陣成為標準的對角矩陣形式．為了使用模態(tài)參數來表示解耦后的對角矩陣，需要對振型矩陣Φ進行歸一化處理，這里采用的歸一化處理方法為加權振型法［5］．令Φ為經過處理后的加權振型，則加權振型Φ使得方程（1）中的剛度矩陣和質量矩陣具有如下形式．

則此時，瑞利阻尼矩陣為

為了將方程（1）從物理坐標轉換成模態(tài)坐標來表示，令X＝ΦY，并對方程中每一項前面乘以ΦT，則此時式（1）為

式（8）展開后的非耦合方程的一般形式為

對式（8）進行拉氏變換，并令初始條件為0．則有

因為只是研究單點激勵－單點相應（SISO）的情況，故只研究單個輸入的情況，則對任意施加的單個外力Fi：

將上式除以Fi，則可以得到由Ewins所提出的著名由模態(tài)參數縮減模型所表達的傳遞函數公式：

式（15）表明：對于具有n個自由度的復雜有限元模型，在單點激勵－單點響應（SISO）的情況下，只要得到結構的n階固有頻率和模態(tài)振型矩陣中激勵點和響應點所對應的自由度的行向量，就可以建立激勵點和響應點之間的傳遞函數表達式，實現模型的縮減．

2 算 例

以一懸臂梁結構為例來表示方程（13）在結構自由度縮減以及動力學分析的過程．懸臂梁結構的幾何尺寸以及有限元模型的節(jié)點排列如圖1所示，梁單位的材料屬性如表1所列．

圖1 懸臂梁的幾何尺寸和有限元模型節(jié)點排列

在圖1中，·表示建立的梁單元有限元模型的節(jié)點，節(jié)點均勻分布，固定端的節(jié)點編號為1，自由端的節(jié)點編號為11，中間節(jié)點按照從左到右，從小到大依次排列．

表1 梁單元的材料屬性

2.1 模態(tài)參數傳遞函數的計算

對圖1所示的懸臂梁結構進行有限元模態(tài)計算，取前10階模態(tài)．計算中將各節(jié)點的y方向的自由度設置成主自由度，結構的阻尼對結構的響應有很大的影響［6］，將各階振型的阻尼比設置成相同值，令ξi＝0．01．為了應用式（15），只提取所關心節(jié)點的模態(tài)振型向量，分2種情況：（1）激勵點和響應點為同一節(jié)點，如節(jié)點11；（2）激勵點和響應點為不同的節(jié)點，如節(jié)點11和節(jié)點5．則模態(tài)計算后所得到的固有頻率和振型使用向量表示為：

節(jié)點5和節(jié)點11的模態(tài)振型向量分別為：

1）激勵－響應均在節(jié)點11時，將模態(tài)頻率ω、阻尼比ξi＝0．01，以及振型向量X11代入式（15），得到節(jié)點11處的傳遞函數公式，以sys01表示（略）．

2）激勵－響應在節(jié)點11和節(jié)點5時，將模態(tài)頻率ω、阻尼比ξi＝0．01，以及振型向量X11和X5代入式（15），得到節(jié)點11和節(jié)點5之間的傳遞函數公式，以sys02表示（略）．

2.2 運用模態(tài)參數模型進行動力學分析

在得到由懸臂梁的模態(tài)參數表示的激勵點與響應點之間的傳遞函數表達式后，就能夠對懸臂梁結構進行動力學分析，分別在頻域和時域進行分析．為了驗證分析的結果，將傳遞函數分析的結果與有限元分析的結果進行對比．在動力學分析中，均是在節(jié)點11對結構在y方向上進行激勵，得到節(jié)點11和節(jié)點5上的響應．

1）頻域分析 在懸臂梁的節(jié)點11處施加激勵，做諧響應分析，分別獲取節(jié)點11和節(jié)點5處的幅頻特性得到FRF．對于由模態(tài)參數表示的傳遞函數sys01和sys02，采用MATLAB的Bode函數［7］繪制傳遞函數的幅頻特性得到FRF．兩種方法得到的FRF見圖2．

圖2 有限元分析和由模態(tài)參數表示的FRF之間的比較

2）時域分析 在懸臂梁的節(jié)點11處施加y方向向下的半正弦的激勵，該激勵幅值為100N，作用時間為0．001s，分別獲取節(jié)點11和節(jié)點5上的y方向的位移響應歷程，位移響應結束時間為0．03s．同樣的半正弦激勵也施加于傳遞函數sys01和sys02．半正弦激勵的時間歷程如圖3所示，兩種方法得到的時間響應歷程見圖4．

圖3 半正弦激勵的時間歷程

3 分析與結論

通過前一節(jié)對于基于模態(tài)參數傳遞函數模型以及有限元模型在時域和頻域計算結果的分析，可以得到如下結論：在單點激勵－單點響應（SISO）情況下：（1）兩種方法在時域和頻率中的計算結果具有非常好一致性，表明了模態(tài)參數傳遞函數模型的正確性；（2）模態(tài)參數傳遞函數模型能夠給出結構激勵與響應之間的具有緊湊形式的表達式，這是通過有限元分析計算無法達到的；（3）與有限元模型相比較，模態(tài)參數傳遞函數模型能夠通過數值計算軟件（如MATLAB）對結構進行后續(xù)各種動力學分析，而且計算結果具有很高的精度．

本文在SISO的前提下，研究基于模態(tài)參數的模型縮減技術縮減模型的自由度以及進行動力學分析的方法，是以簡單的懸臂梁結構，且在單一方向上為例進行說明．而對于結構復雜，節(jié)點個數和自由度較多的彈性結構，因為每個節(jié)點在空間都具有6個自由度，在運用模態(tài)參數縮減技術時，對于每個節(jié)點各個方向上的自由度，只要根據式（1）中的自由度向量的X表達式，合理的對自由度進行組合形成列向量，后面的數據處理方法和本文所演示的方法完全一樣．模態(tài)參數模型縮減技術的進一步研究包括如何縮減模型的模態(tài)階數，以及多點激勵－多點響應（MIMO）下的應用．

圖4 有限元分析和由模態(tài)參數所得到的傳遞函數所計算蝗位移時間歷程之間的比較

［1］王文亮，杜作潤．結構振動與動態(tài)子結構方法［M］．上海：復旦大學出版社，1985：275－399．

［2］EWINS D J．Modal testing：theory and practice［M］．UK：Research Studies Press，1984．

［3］KOUTSOVASILIS P，BEITELSCHMIDT M．Comparison of model reduction techniques for large mechanical systems［J］．Multibody Syst Dyn．，2008，20：111－128．

［4］ZDEGAN A H，ZILOUCHIAN A．Model reduction of large－scale discrete plants with specified frequency domain balanced structure［J］．Journal of Dynamics Systems，Measurement and Control ASME，2005，127：486－498．

［5］THOMSON W T，DAHLEH M D．Theory of vibration with applications（fifth edition）［M］．Pearson Education，Ins，2005：178－180．

［6］張開銀，劉亞軍．結構動力學應用中若干基本概念的探討［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2010，34（6）：1124－1128．

［7］BISHOP R H．Modern control systems analysis and design using MATLAB［M］．Addison－Wesley Pbulishing Company，Inc，1993．