水下聲散射問題的奇異積分研究

（海軍工程大學理學院 武漢 430033）

0 引 言

水下目標聲散射特性研究是水聲技術中的重要課題，主要研究方法有高頻近似方法和低頻數值方法．隨著計算機的高速發展，低頻數值方法在聲散射特性研究中得到快速發展．邊界元法作為一種水下聲散射問題研究中常用方法，具有降低問題空間維數、自動滿足Helmholtz方程等優點，但是存在兩個數值計算上的難點，一個是奇異積分、近奇異積分的計算，主要的解決方法有坐標變換方法、Roberto D G提出的利用梯度定理消除積分奇異性方法、基于Cauchy主值積分的Gauss積分法等，另一個是Helmholtz外問題在特征頻率處解的非唯一性問題，主要有CHIEF方法和B－M方法等．

當場點位于源域內時，就會產生奇異積分的元素；當場點和源域十分接近但不在源域內時的積分，則會產生近奇異積分的元素，從理論上說，此時積分是非奇異的，但從計算結果可以發現，當場點接近源域時，被積函數在積分區間內變化非常迅速，而且場點和源域距離越近，積分值變化越劇烈．當場點充分遠離源域時，可以通過Gauss積分公式計算得到準確結果，然而隨著場點逐漸接近源域，通過Gauss積分公式計算得到的結果精度會急劇降低，這就是所謂的“邊界層效應”．

對于邊界元法中奇異積分和近奇異積分，采用全局法（global approach）加以解決，推導得到了積分的數值計算表達式，通過該表達式計算邊界元法中的積分，對剛性球的水下散射特性進行了仿真研究，仿真結果證明了本文方法的有效性和正確性，且較坐標變換方法等常用于奇異積分計算的方法具有計算效率高、計算精度高等優點．

1 聲散射特性研究的建模方法

Kirchhoff表面積分方程在平面波入射下，任意形狀、任意表面阻抗目標表面的散射聲場經離散化處理后為［1－2］

通過3ds max將目標表面離散為N個三角形面元，通過（1）式得到一個N×N的關于ps矩陣方程組，計算該方程組即可得到ps值，將ps代入Kirchhoff外部積分方程即可計算得到空間中任意一點的散射聲場值．矩陣系數的數值計算難點是兩類靜態項積分的計算，即

2 積分方程中兩類積分的計算

對于度為α的齊次函數積分I在積分區域S內的積分

式中：z0為常數．式（3）即為全局積分方法將面積分轉變為曲線積分的公式．為便于處理，將S做平移變換（－u0，－v0），變換后O為三角形的重心就滿足了齊次性的要求，可以通過全局法計算．

圖1 第i個三角形坐標變換后的積分區域S′

根據式（3）有

使用全局法處理后，積分由最初的面積積分轉化為計算沿三角形單元邊界的線積分，線積分方向取逆時針．見圖1．因此P3在局部坐標系（O；x，y，z）中的落點對積分計算影響較大，下面進行說明．為了方便處理，采用局部坐標系來進行說明，以三角形面元一條邊做x軸，取與其垂直的為y軸．設三角形單元3個頂點為Pi（xi，yi，zi），i＝1，2，3，坐標變換后3個頂點坐標分別為P′1（－u0，－v0），P′2（l3－u0，－v0），P′3（u3－u0，v3－v0）．

經過上述處理后，邊界元法中面積分就轉化為線積分，通過處理化成為閉合數值表達式，提高了邊界元的計算效率；由于積分計算過程中并沒有采用近似計算，計算精度很高．

根據式（8），式（9）即可計算得到奇異積分I1的數值．

第一部分可以通過2．2節的計算結果求解，下面對第二項的數值計算進行研究．

代入式（11）即可得到積分I2的數值．

2.4 數值算例

表1 I1與坐標變換方法比較

3 仿真算例與結果分析

用剛性球的目標強度來檢驗方法的正確性和可行性，在全波數范圍內，對半徑為1的剛性球的后向散射強度進行計算．目標中心位于坐標原點，入射波為平面波，方位角α＝π，極角β＝，介質密度為1 040kg／m3，聲速為1 460m／s，接收點與坐標原點的距離為20m．將第2節的結論計算邊界元法中積分，使用Matlab軟件進行仿真，仿真結果見圖2．

圖2 剛性圓球后向散射強度

板塊元法（planar element method，PEM）是目前最常用的高頻近似計算方法，Rayleigh簡正級數解，是剛性球回聲強度的理論解析值．由于邊界元法在特征頻率處存在解的非惟一性，通過引入CHIEF方法有效克服了這一缺點．數值計算結果在低、中頻處與解析值一致性很好，計算精度很高，計算精度、計算速度都明顯優于板塊元法；當ka逐漸增大時，誤差逐漸增大，這主要是高頻處需要的離散單元數更多才能滿足和低、中頻相同的精度要求．因此邊界元法用于低、中頻處的散射特性研究是一種很有前途的方法．

4 結束語

全局法提供了一種全新的奇異積分數值計算方法，通過與坐標變換方法的奇異積分計算結果比較證明了本方法的正確性，且計算精度很高；通過全局法將面積分轉化為沿邊界計算的線積分，從而得到了閉合計算表達式，提高了積分的計算效率．仿真結果表明，將本文的積分計算公式用于水下散射聲場計算中，解決了系數矩陣中存在的奇異積分、近奇異積分，提高了邊界元法的計算效率，且在低、中頻處得到的數值精度非常高．

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