局域電荷體系的電勢

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430063）

0 引 言

某些靜電場問題中，電荷只分布在一個小區(qū)域內(nèi)，而需要求遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場，如原子核作用到電子上的電場．因為原子核的電荷分布于10－15m線度內(nèi)，而原子內(nèi)電子到原子核的距離在10－10m．在處理這種問題時，可以近似地把原來的電荷體系集中起來看作是一個點電荷；但當(dāng)體系的總電荷為零，或進(jìn)一步需要更高的精確度時，就必須考慮到體系的偶極矩，即把體系看作是一個點電荷與一個偶極子的迭加．同樣在體系的偶極矩為零，或需要更高的精確度時，就要引入更高的電矩．如所有的原子核的偶極矩都等于零時，在下一次近似或解決一些精細(xì)的效應(yīng)（如光譜的超精細(xì)結(jié)構(gòu)）時，就需要考慮到它的四極矩，即把它看作為一個點電荷與一個四極子的迭加．

1 連續(xù)分布電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢

假定有一個任意連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系，其體電荷密度為ρ（x′），取坐標(biāo)原點在v以內(nèi)，它所激發(fā)電場的電勢［1－2］為

式中：R為源點到場點的距離，由于考慮的是局域電荷體系在遠(yuǎn)區(qū)所產(chǎn)生的電勢，所以R遠(yuǎn)大于小區(qū)域v的線度l，可以把式（1）表為的泰勒展開式

式中：R0為原點到場點的距離．從式（2）看出，連續(xù)帶電體的單極矩，偶極矩，四極矩，八極矩，…，多極矩［3－6］為

這就是連續(xù)分布的電荷體系在遠(yuǎn)區(qū)激發(fā)的電勢的多極展開．電四極矩用并矢形式表示

由式（4）可得出結(jié)論，連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系對遠(yuǎn)區(qū)的電場來說，可以用一系列位于原點的多極子代替，即集中在一個小區(qū)域v內(nèi)的連續(xù)分布電荷體系，可以表為位于原點的各級多極子的迭加．其理解如下：一個連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系，在零級近似中，可將它集中起來作為一個位于原點的點電荷看待．此項集中所引起的誤差為一連續(xù)的偶極分布，因為將電荷元ρ（x′）dv′集中到原點的過程中，每移動一個小位移dx′所產(chǎn)生的誤差就等于位于該處的一個偶極元ρ（x′）dv′dx′．在一級近似中，考慮到這項誤差而作了進(jìn)一步的改正，即增加了一項位于原點的偶極子的電勢來代替此偶極分布的電勢．同樣，將偶極分布集中為一個偶極子所引起的誤差為一個四極分布．在二級近似中，又進(jìn)一步作了改正，將此四極分布集中起來作為一個位于原點的四極子，即增加了一項位于原點的四極子的電勢來代替此四極分布的電勢，引起的誤差為一個八極分布．余類推．

2 式（3）中各項物理意義

圖1 電偶極矩

圖2 電四極矩各分量物理意義

下面說明電四極矩只有5個獨(dú)立分量．若?張量的跡為0，即?11＋?22＋?33＝0，則張量便只有5個獨(dú)立分量．以下可以證明在保證電勢ψ保持不變的前提下，可以使四極矩的二階對稱張量的跡為零．

由此可知，重新定義后的電四極矩，既不改變電勢ψ（2）的大?。ㄟ@是必須保證的），又使四極矩二階張量的對角元素之和（稱為張量的跡）為0，這就說明了四極矩只有5個獨(dú)立分量．

對于其他各極子也相仿．

3 結(jié)束語

連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢，可表為位于原點的各級多極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢的疊加，而連續(xù)分布電荷體系可用位于原點的各級多極子代替．即：連續(xù)分布在小區(qū)域V內(nèi)的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢，在零級近似中，等于位于原點的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢；在一級近似中，等于位于原點的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢＋中心位于原點的一組偶極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢；在二級近似中，等于位于原點的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢＋中心位于原點的一組偶極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢＋中心位于原點的一組四極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢；在三級近似中，等于位于原點的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢＋中心位于原點的一組偶極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢＋中心位于原點的一組四極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢＋中心位于原點的一組八極子在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢；余類推，可得連續(xù)分布在小區(qū)域v內(nèi)的電荷體系在遠(yuǎn)場所產(chǎn)生的電勢ψ（x）的各級近似

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［2］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研組．高等數(shù)學(xué)：第四冊［M］．北京：人民教育出版社，1979．

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