基于核仁的供應鏈合作收益分配研究

吳銘峰

（1.河海大學商學院，南京 210098；2.江蘇信息職業技術學院，江蘇無錫 214153）

0 引言

供應鏈合作收益分配的研究，從競爭與合作的角度可以分為競爭性的收益分配和合作性的收益分配。競爭性收益分配的方法包括：按各種資源比例分配；使用委托代理機制進行分配；應用Stackelberg博弈模型、Nash博弈模型進行分配等。競爭性收益分配的方法大都不考慮供應鏈成員的集體理性、聯盟理性和個體理性，供應鏈成員存在脫離供應鏈單干，或者部分供應鏈成員組成新的供應鏈以期獲得更大收益的激勵，不利于供應鏈的長期穩定。合作性收益分配的方法借鑒了合作博弈的思想，以聯盟作為分析的單位，強調集體理性、公平和效率，將合作博弈的“解”概念作為收益分配的依據。從現有的文獻來看，Shapley值得到較多應用。徐向陽和安景文等[1]在分析多人合作中的費用分攤問題時、趙曉麗和乞建勛[2]在研究煤炭企業合作利益分配問題時均使用了Shapley值作為分析工具。Shapley值是將收益按照參與人的邊際貢獻率進行分攤，參與人i所應當獲得的收益等于該參與人對每一個他所參與的聯盟的邊際貢獻的平均值。Shapley值的應用中存在較多的爭議：（1）Shapley值可能不在于核配置中；（2）從福利經濟學的角度看，Shapley值體現的是一種功利主義的“公平”；（3）從分配的時機上看，Shapley值法屬于事先分配。這些問題的存在使得Shapley值的應用受到很大的限制[3]。而合作博弈中其余“解”的概念均未見應用。

本文嘗試將合作博弈另一個重要的“解”概念——核仁，應用到合作收益分配的研究中，以由M個供應商和N個零售商組成的單層供應鏈為研究對象，在最大化供應鏈收益的情況下，通過計算核仁對供應鏈合作收益進行分配，為供應鏈合作收益分配的研究提供新的思路和方法。

1 問題描述

在市場中存在m個生產商和n個零售商組成的供應鏈聯盟P，生產商根據自身的能力及需求來選擇對應的零售商為其銷售商品，而零售商通過為生產商提供服務來獲取收益。為討論方便，本文做如下假設：（1）生產商的生產的商品只能通過一個零售來進行銷售；（2）零售商所提供的服務是不可分割的，即一個零售商只能同時為一個生產商銷售商品。令M表示生產商的集合、N表示零售商的集合。對于每一對生產商i∈M和零售商 j∈N的組合() i,j∈M×N，存在一個正整數aij表示生產商i和銷售商j進行合作時所產生的收益，收益矩陣為其中生產商獲利為ui，銷售商收益為表示生產商i的合作伙伴是銷售商j。聯盟P的收益由生產商和零售商合作時產生的收益總額決定，即v() P=本文的目標是在最大化供應鏈收益的情況下，通過計算核仁，將聯盟的收益在生產商和零售商之間進行分配。

2 聯盟收益最大化模型

在日常生活中經常遇到如下問題：有n項任務，有n個人可承擔，由于每人的專長不同，各人完成不同任務的效率也不同，于是產生應指派哪個人去完成哪項任務，使完成n項任務的總效率高（或其他目標）的問題。這樣的問題被稱為指派問題。

最大化聯盟P的收益也可以看作是指派問題，即存在m種商品需要進行銷售，有n個零售商可以負責進行完成，由于每個銷售商的專長、能力、效率等的不同，就存在指派哪個零售商銷售哪種商品可以使得聯盟收益最大的問題。

指派問題適用于解決m=n的情況，由上文可知參與供應鏈聯盟的生產商和零售商的人數存在m≠n的可能性，為討論的方便我們引入虛擬參與人，以數字“0”進行標記，并允許他們出現在任意的生產商和零售商合作組合中，組合表示空組合表示生產商表示零售商，此時供應鏈聯盟。包含虛擬參與人的組合收益為0，即a00=ai0=a0j=0，此時收益矩陣為

最大化收益聯盟收益可以轉換為如下0-1規劃模型

目標函數z的值為聯盟P的收益，式（1）表示每個零售商只為一個生產商服務，式（2）表示每個生產商只選擇一個零售商銷售商品，決策變量xij表示生產商和零售商的合作情況，當xij=1時，組合( ) i,j進行合作，零售商 j完成生產商i的商品銷售任務。z取得最大值時聯盟P的收益最大。使收益聯盟最大的指派稱為最優指派σ。

3 供應鏈合作伙伴收益分配的核仁解

3.1 核仁的定義

核仁(nucleolus)是由Schmeidler首先提出的概念，他定義核仁為在所有滿足有效性配置的集合B中，存在唯一配置γ，使得?x∈B,，則γ被稱為博弈的核仁，并證明了每一個合作博弈都存在非空的核仁，當核存在時，核仁必定包括在核中[4]。

Maschler,Peleg和Shapley針對類似于“m個生產商和n個零售商”的雙邊市場問題給出核仁的另一個定義：令σ為聯盟的的最優指派。構建聯盟上的分割序列，其中Σ0?…?Σn+1，得益向量序列X0?…?Xn+1，則通過如下迭代過程得到核仁[5]：

首先，令Δ0=σ，

當r=0,1,2,…,n時，回歸過程如下：

其中，n是使得Σr≠φ成立時，r的最大值，集合Xn+1是博弈A( ) M,N 的按字典排序的中心。Maschler,Peleg和Shapley證明了如下結論：（1）該博弈的按字典排序中心只有一個點；（2）該博弈的按字典排序中心和博弈的核仁重合[5]。本文今后的討論與計算中將以Maschler,Peleg和Shapley給出的定義為主。

3.2 核仁解的優點

與Shapley值相比，核仁有著顯著的優勢：（1）Schmeidler、peleg等先后證明了合作博弈中核仁的存在性，只要合作博弈的核存在，那么核仁必然在核中且唯一[4]。（2）核仁是從平均主義的角度來衡量各個不同的聯盟S所能帶來的福利，衡量的標準為聯盟的剩余e(x ) ,S。令N={ }

1,2,…,n表示參與人集合，v() S表示聯盟S中參與人相互合作所能得到的收益，對于?x∈B以及S?N，定義，可見當收益分配為x時，e(x ,S)越小，聯盟S的滿意度越高。剩余可以理解為給聯盟S帶來的超過“機會剩余”的額外好處，它通過最大化最小剩余，即來獲得最終的收益分配，體現了平均主義的公平性。

3.3 核仁的計算

核仁的計算往往涉及到求解包含多個變量和多個約束方程在內的最小化線性規劃問題，在Kohlberg[6]提出的方法中按照剩余的大小給予不同的權重，雖然能夠得到解，但是會導致很龐大的線性規劃問題。Owen[7]做出了改進但面對n個參與人的問題時，最小化線性規劃問題中也包含了2n+1+n個變量和4n+1個約束條件的。與Shapley值相比核仁的計算較為困難。本文通過如下方法求解核仁[8]。

假設σ是聯盟的( ) M,N,A 的最優指派。令r=0，

圖1 核仁的計算步驟

（ⅰ）對于H中所有沒有入弧的點p，令?() p=k。在H中將所有這些點以及由這些點出發的弧全部刪去。令k=k+1。重復操作（ⅲ），直到H沒有點存在。完成算法（ⅲ）后，令

（5）更新收益向量( ) U,V 。在最優指派σ下，生產商i和銷售商 j進行合作時所產生收益aij，其中生產商獲利為ui，銷售商收益為vj=aij-ui，得到收益向量，并根據式進行更新。

（6）更新滿意度 fij。滿意度 fij表示，在收益向量為時，任意組合的滿意程度，滿意度依下式改變：

（ⅱ）檢驗節點0是否有入弧，如果有就將弧的出點融入到節點0，保留其他的弧。也就是，如果，從E刪除點p和弧。在上述情況下，如果，那么增加弧刪除弧；如果，增加弧刪除弧

（ⅲ）圖G中是否存在回路，如果存在則將圈中點所有點合成一個點，并繼承這些點的所有入弧和出弧，也就是如果，在D中增加一點p，將C中所有點和弧全部刪除。

經過（ⅰ）、（ⅱ）兩步檢驗后得到的圖G為符合要求的圖。

（9）更新分割Σ=ΣΣr+1，Δ=Δ∪Σr+1。

（10）當Σ≠φ成立時，得到的收益( ) U,V ，即為最大化聯盟收益時，生產商和零售商的核仁。

4 結論

本文使用合作博弈的核仁解，對包含m個生產商和n個零售商的供應鏈聯盟的合作收益分配問題進行了分析。通過實證分析可以看到，本文使用的方法能夠實現預期目標，在最大化聯盟收益的情況下，求得合作博弈的和核仁解，將收益在聯盟成員之間進行分配，體現了平均主義的公平性，為供應鏈合作收益分配問題的研究提供了新的方法。在今后的研究中，將放寬對生產商和銷售商合作伙伴數目的限制，使問題更貼近實際。

[1]Schmeidler D.The Nucleolus of a Characteristic Function Game[J].SI?AM J.Appl.Math,1969,（17）.

[2]Maschler M,Peleg B,Shapley LS.Geometric Propertise of the Kernel,Nu?cleolus,and Related Solution Concepts[J].Mathematics of Operations Research,1979,(4).

[3]Kohlberg E.The Nucleolus as a Solution of a Minimization Problem[J]. SIAM J.Appl.Math,1972，(23).

[4]Owen G.A Note on the Nucleolus[J].International Journal of Game The?ory,1974，(3).

[5]Tamas Solymosi.An Algorithm for Finding the Nucleolus of Assignment Games[J].International Journal of Game Theory，1994，(23).

[6]馬世華,王鵬.基于Shapley值的供應鏈合作伙伴間收益分配機制[J].工業工程與管理,2006，(4).

[7]徐向陽.供應鏈管理中風險分擔與利益分配機制研究[J].華中科技大學學報,2004，(5).

[8]趙曉麗,乞建勛.供應鏈不同合作模式下合作利益分配機制研究—以煤電企業供應鏈為例[J].中國管理科學,2007，(8).