Vague軟集的相似度量及其應用

王 昌

（西北大學a.數(shù)學與科學史研究中心；b.數(shù)學系,西安 710127）

0 引言

Zadeh在1965年首先開創(chuàng)了Fuzzy集理論[1]，但由于Fuzzy集的隸屬函數(shù)值是一個單一的值，它不能同時表達支持和反對的證據(jù)，為此，Gau和Buehrer于1993年提出了Vague集的概念[2],它是一種Fuzzy集的推廣[3],也是一種直覺的模糊集[4]。隨后的幾十年，Vague集理論得到了不斷地發(fā)展和完善，在包括數(shù)學、自動控制、智能系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域得到廣泛地應用[5-6]。然而，這兩種理論都有一個共同的不足之處，就是它們都只能處理一部分不確定性信息，即參數(shù)工具理論的不充分。為解決這個問題，Molodtsov于1999年在文獻[7]中引入了軟集概念以克服這些不足，如今軟集理論已被成功應用到眾多的領(lǐng)域[8-9]。對于Vague集理論和軟集理論的研究一直以來都主要集中在兩個方面：一是研究兩者各自的代數(shù)性質(zhì)，另一方面則注重于它們各自在模式識別、不確定性推理等領(lǐng)域中的應用。可見所有這些研究都沒能將兩者結(jié)合起來，文獻[10]依據(jù)Vague集和軟集的現(xiàn)有理論，首先將兩者的思想融合起來，提出了Vague軟集的一些基本概念，并提出公開問題即研究Vague軟集的潛在應用。文獻[11]進一步給出了Vague軟集的一些概念，并研究了與其相關(guān)的一些代數(shù)性質(zhì)。本文在此基礎上，給出了Vague軟集間相似度量的公理化定義，同時引入了一種計算Vague軟集間相似度量的公式，最后通過一個實例給出了Vague軟集間的相似度量在模糊多目標決策系統(tǒng)中的應用，從而部分回答了文獻[10]中提出的公開問題。

1 預備知識

定義1[2]令U是一個點（對象）的空間，其中任意的一個元素用x表示，U上的一個Vague集A用一個真隸屬函數(shù)tA(x)和一個假隸屬函數(shù) fA(x)表示，tA(x)是從支持x的證據(jù)所導出的x的隸屬度下界，fA(x)是從反對x的證據(jù)所導出的x的否定隸屬度下界，tA(x)和 fA(x)將區(qū)間[0,1]中的一個實數(shù)與U中每一個點聯(lián)系起來，即tA∶U→[0,1]；fA∶U→[0,1]，其中tA(x)+fA(x)≤1。稱[tA(x),1-fA(x)]為x在A中的Vague值，記為A(x)，論域U上Vague集全體用V(U)表示。當U離散的時候，；當U連續(xù)的時候，x∈U。

定義2[7]設U是一個論域，P(U)是U的冪集，E是一個參數(shù)集，A?E,且：

F∶A→P(U)是一個映射,稱(F,A)為U上的一個軟集。

定義3[10]設U是一個論域，E是一個參數(shù)集，A?E,且F∶A→V(U)是一個映射，即?e∈A,F(e)是U上的一個Vague集，稱(F,A)為U上的一個Vague軟集。用VSS(U)來表示。

例1令(F,E)為Vague軟集，論域U={x1,x2,x3}表示決策者打算購買的三種不同的房子，參數(shù)集E={e1,e2,e3}= {房屋結(jié)構(gòu)，房屋價錢，房屋面積}，Vague軟集(F,E)表示對于購買者的吸引情況，若：

論域U上的參數(shù)集族{F(ei),i=1,2,3}即為Vague軟集(F,E)，用矩陣形式表述如下：

2 Vague軟集的相似度量

通過文獻[12]可知，眾多學者在研究Vague集的相似度量方面已經(jīng)形成了一些共識，現(xiàn)在我們將這些共識進行整理改進，提出Vague軟集(F,E)和(G,E)間的相似度量。

M((F,E),(G,E))應滿足的定義：

定義4VSS(U)表示論域U上的Vague軟集，E是一個參數(shù)集，(F,E),(G,E)∈VSS(U),函數(shù)M∶VSS(U)×VSS(U)→[0,1]稱為Vague軟集間的相似度量，如果其滿足以下條件：

（1）有界性M((F,E),(G,E))∈[0,1]

（2）對稱性M((F,E),(G,E))=M((G,E),(F,E))

（3）歸一性M((F,E),(G,E))=1?(F,E)=(G,E)

（4）單調(diào)性(F,E)?(G,E)?(H,E),(H,E)∈VSS(U) M((F,E),(H,E))≤min(M((F,E),(G,E)),M((G,E),(H,E)))

通過Vague軟集間相似度量的公理化定義，可知它是評價兩個Vague軟集間的相似程度的，顯然，兩個Vague軟集間的相似度量越大，則這兩個Vague軟集越相似。

定理1設U={x1,x2,...,xn}是一個論域，E={e1,e2,...[,em}]是一個參數(shù)集，故(F,E)={F(ei)|i=1,2,...,m}是一個Vague軟集族，稱：

為Vague軟集(F,E)和(G,E)的相似度量，如果H(F,[E)]滿足定義4，這里：

其中：SF(ei)(xj)=tF(ei)(xj)-fF(ei)(xj),SG(ei)(xj)=tG(ei)(xj)-fG(ei)(xj)分別叫做F(ei)和G(ei)的核，它表征對于參數(shù)ei來說，現(xiàn)有證據(jù)對元素xj支持和反對兩種力量的對比，看作整體支持（肯定）度，SF(ei)(xj)∈[-1,1],SG(ei)(xj)∈[-1,1]。

從而M((F,E),(G,E))∈[0,1]

（2）由于Mi((F,E),(G,E))=Mi((G,E),(F,E)),故：

（4）由于(F,E)?(G,E)?(H,E),故：

tF(ei)(xj)≤tG(ei)(xj)≤tH(ei)(xj),fF(ei)(xj)≥fG(ei)(xj)≥fH(ei)(xj),即

綜上可知Mi((F,E),(H,E))≤Mi((F,E),(G,E))

從而M((F,E),(H,E))≤M((F,E),(G,E))

同理有M((F,E),(H,E))≤M((G,E),(H,E))

故M((F,E),(H,E))≤min(M((F,E),(G,E)),M((G,E), (H,E)))。

3 實例分析

例2假設一個房地產(chǎn)商有三種房子，這三種房子所具有的特性均以參數(shù)集

E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}={面積大，結(jié)構(gòu)好，價錢高，質(zhì)量好，周圍交通差，周圍綠化好}表示，我們的論域U中僅包含兩個元素，即“贊成”和“反對”，可表示為U={贊成，反對}。

現(xiàn)有一人打算在此處買一套房子，專家對最完美的房屋給出的Vague軟集(F,E)的評價值如表1所示，其它三種房子的Vague軟集的評價值分別如表2～4所示：

表1 最完美房子的VSS(U)

表2. 第一種房子的VSS(U)

表3 第二種房子的VSS(U)

表4 第三種房子的VSS(U)

通過計算，可得M((F,E),(G,E))?0.575;M((F,E),(H,E))?0.738;M((F,E),(P,E))?0.517

由于第二種房子與最完美房子的Vague軟集的相似度量值最大，故應該買第二種房子。

4 結(jié)束語

Molodtsov提出的軟集理論為處理不確定信息提供了一種一般的方法，文獻[10]首先引入Vague軟集的概念，并研究了一些相關(guān)的性質(zhì)，同時提出公開問題即研究Vague軟集的潛在應用。本文在此基礎上，給出了Vague軟集的相似度量的公理化定義，并給出了一種計算Vague軟集間相似度量的方法，最后通過一個實例說明了Vague軟集的相似度量在模糊多目標決策系統(tǒng)中的應用。希望這些工作日后能成為Vague軟集理論應用的有力工具。

[1]Zadeh L A.Fuzzy Sets[J].Information and Control,1965,8(3).

[2]Gau W L,Buehrer D J.Vague Sets[J].IEEE Transactions on System, Man and Cybemetics,1993,23(2).

[3]Deschrijver G,Kerre E E.On the Relationship between Some Exten?sions of Fuzzy Set Theory[J].Fuzzy Sets and Systems,2003,133(2).

[4]Deschrijver G,Kerre E E.On the Composition of Intuitionistic Fuzzy Relations[J].Fuzzy Sets and Systems,2003,136(3).

[5]Zhang Q S,Jiang S Y,Jia B G,et al.Some Information Measures for In? terval-valued Intuitionistic Fuzzy Set[J].Information Sciences,2010,180 (24).

[6]Kumar A,Yadav S.P,Kumar S.Fuzzy Reliability of A Marine Power Plant Using Interval Valued Vague Sets[J].International Journal of Ap?plied Science and Engineering,2006,4(1).

[7]Molodtsovd D.Soft Set Theory—First Results[J].Computer and Mathe?matics with Applications,1999,37(4).

[8]Xiao Z,Gong K,Xia S,Zou Y.Exclusive Disjunctive Soft Sets[J].Com?puters and Mathematics with Applications,2010,59(6).

[9]Qin K,Hong Z.On Soft Equality[J].Journal of Computational and Ap?plied Mathematics,2010,234(5).

[10]Xu W,Ma J,Wang S Y,et al.Vague Soft Sets and Their Properties[J]. Computer and Mathematics with Applications,2010,59(2).

[11]王昌,袁敏.Vague軟集的一些代數(shù)性質(zhì)[J].計算機工程與應用, 2010,46(13).

[12]王昌.Vague集的模糊熵、相似度量和距離測度的關(guān)系[J].計算機科學,2010,37(10).