GM(1,1)模型的改進與應用

謝臣英，尹方平

(廣東機電職業技術學院，廣州 510515)

0 引言

在灰色系統理論的應用中，預報或預測已成為灰色系統理論的一個最活躍的領域。在預測領域內，由于小樣本、貧信息不確定性系統的大量存在，GM（1,1）模型作為灰色預測理論的核心，得到了廣泛的應用[1][2]。但GM（1,1）模型也存在一些預測精度不高的情況，因此，對GM（1,1）模型進行深入仔細的研究，找出影響GM(1,1)模型精度及適應性的關鍵因素，提高GM（1,1）模型的精度及其適應性，具有非常重要的理論意義和實際意義。對GM（1,1）模型進行改進，大致可以分為三類：（1）對模型的參數估計方法的改進；（2）對模型背景值的改進；（3）對模型的初始條件的改進。

針對模型的初始值選取問題，在原有初始值選取的基礎上，出現了多種改進方法的討論[3～5]。本文擬提出一種修正初值法來提高模型的精度，對以x(1)(n)為初始條件的GM模型進行改進，使所建的模型的精度大為提高，并將通過具體的實例驗證模型的實用性與可靠性。

1 改進的以x(1)(n)為初始條件的GM模型

1.1 傳統的GM(1,1)模型

則一次累加后生成的1-AGO序列X(1)為：

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列；

其中a和b為待確定的常數。a為發展系數，其大小及符號反映了X(0)(k)及X(1)(k)的發展態勢。b為系統的灰色作用量，它是從背景值挖掘出來的數據，反映數據變化的關系。灰色作用量的存在是灰色建模與一般建模的本質區別，是系統內涵外延化的表現，是灰色系統重要內涵開發的表現。

2.2 以x(1)(n)為初始條件GM模型

以x(1)(n)為初始條件的GM模型是根據新信息優先原理和最少信息原理提出的灰色GM模型的一種改進的方法，它主要用于對復雜系統某一主導因素特征值的擬合和預測，以揭示主導因素變化規律和未來變化發展態勢。

二十世紀六十年代初的一天凌晨，幾百名警衛在柏林勃蘭登堡門的分界線上各就各位，一道橫貫東德和西德的冰冷墻壁隔絕了人們的交往。1984年，藝術家特里·諾爾趁守衛不注意，偷偷在灰白的柏林墻上涂鴉，開啟了柏林墻的彩色生涯。十幾年里，特里·諾爾和其他藝術家用長達一公里的涂鴉把柏林墻變成了藝術品，寄托了人們美好的愿望。冷戰結束后，柏林墻被推倒，但在藝術家們的奔走下，涂鴉的部分被保留下來，這就是著名的“東邊畫廊”。

其法方程組為：

由白化方程的離散解不難得：

灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的時間響應序列為：

還原值為：

從上述模型可以看出，GM（1，1）模型的擬合和預測精度不但跟a,b有關，還跟x(1)(n)的取值有關。因此合理的選擇初值對于提高模型的預測精度有著重要的作用。

1.3 增加擾動因素β的GM模型

為了獲得最優的擬合曲線，提高模型的建模精度，不妨對模型的初始條件x(1)(n)增加擾動因素β，以x(1)(n)+β作為模型的初始條件。

將該初值代入

其中：

為了求出指標函數值最小時的待辨識參數β，先用如下梯度法求取dJ dβ=0。求得

2 實例分析

表1 模型值比較表 （單位：k w：h）

續表1

2.1 上海市發電量的檢驗性預測

現用本文提出的方法建立1996～2009年我國上海市的發電量《上海統計年鑒－2010》的GM（1，1）模型[6]，用matlab軟件針對傳統的GM（1，1）方法建立的模型和改進的模型分別進行仿真計算，結果如表1所示。

利用此模型進行預測上海市2010年發電量，即當原始序列k=15時，原GM（1，1）模型的預測值為x(0)(15)=847.59，改進的模型的預測值為x(0)(15)=856.48。

3.2 2008～2011年國內生產總值預測

筆者根據《中國統計年鑒－2010》[7]的數據建立灰色模型，對1999年至2009年數據進行分析，并對2010年至2011年GDP進行預測，結果如表2所示。

3 結束語

表2 GDP預測值 (單位：億元)

續表2

本文在GM（1，1）灰色模型的基礎上，提出了一種增加擾動因素β修正初值法來提高模型的精度，大大弱化了干擾因素，揭示了系統的運行規律，使得模型更為穩定。該方法保留了GM（1，1）模型建模計算簡便和易于應用的優點，不存在復雜的計算。從實例分析上看，該方法能得到比原GM（1，1）模型更高的精度和適應性，無論在微觀經濟還是宏觀經濟上，都具有重要的理論價值和實踐意義。

[1]劉思峰,黨耀國,方志耕.灰色系統理論及其應用[M].北京：科學出版社,2004.

[2]張圓剛,王心源.基于灰色系統理論經濟視域下的農村居民出游可行性分析[J].經濟問題探索,2008,(11).

[3]Deng Ju Long.Solution of Grey Differential Equation forGM(1,1|τ,r) in Matrix Train[J].The Journal of Grey System，2002,14(1).

[4]王義鬧,劉光珍,劉開第.GM（1,1）模型的一種逐步優化直接建模法[J].系統工程理論與實踐,2000,20(9).

[5]黨耀國,劉思峰,劉斌.以x(1)(n)為初始條件的GM模型[J].中國管理科學,2005,13(1).

[6]李俊峰,戴文戰.GM(1,1)改進模型的研究及在上海市發電量建模中的應用[J].系統工程理論與實踐,2005,3(3).

[7]中華人民共和國國家統計局.中國統計年鑒2010[M].北京：中國統計出版社,2010.