缺失投影數(shù)據(jù)的估計(jì)研究

鄭源彩

（中北大學(xué) 信息探測(cè)與處理技術(shù)研究所, 太原 030051）

0 引言

CT從理論上講是一個(gè)投影重建圖像的反問(wèn)題，有其普遍性，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)引起了廣泛的重視。CT作為一種技術(shù)，既有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論為依托，又有現(xiàn)代微電子和計(jì)算技術(shù)相支持。目前，CT已經(jīng)成為醫(yī)院中不可或缺的診斷工具和科研手段，在工業(yè)各個(gè)領(lǐng)域也得到廣泛的應(yīng)用[1]。

CT圖像重建算法是CT技術(shù)中較為關(guān)鍵的部分，CT重建算法[2]主要有濾波反投影重建算法和迭代重建算法。當(dāng)投影數(shù)據(jù)完備、噪聲不很?chē)?yán)重時(shí)，濾波反投影（CBP）等解析法可以得到很好的重建圖像，而且相比迭代算法速度較快，但其對(duì)投影數(shù)據(jù)的完備性要求較高，投影角度的偏少會(huì)導(dǎo)致明顯的偽影。在實(shí)際應(yīng)用中，由于考慮到劑量和對(duì)比度的因素，可能只掃描部分?jǐn)?shù)據(jù)，如醫(yī)用CT掃描病人；或者受條件限制不能完整掃描物體，如工業(yè)CT掃描大型飛機(jī)等不規(guī)則物體的情況，這些都屬于不完全數(shù)據(jù)成像[3]。在CT掃描過(guò)程中，由于CT設(shè)備本身的結(jié)構(gòu)和重建算法的局限性以及病人自主或者非自主的運(yùn)動(dòng)破壞了投影數(shù)據(jù)的一致性和完整性，使得我們所采集到的投影信息缺失，因此，不完全投影數(shù)據(jù)的恢復(fù)算法被人們寄予厚望[1]。在投影數(shù)據(jù)缺失，投影角度受限的情況下，常采用代數(shù)重建算法（ART）及其改進(jìn)算法，但由于ART算法運(yùn)行速度較慢，耗時(shí)較多[4]。從而使得將不完全角度或缺失的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)并恢復(fù)其投影圖像是目前研究的一個(gè)難點(diǎn)。

在實(shí)際應(yīng)用中，要克服不完全投影數(shù)據(jù)為重建算法帶來(lái)的局限，就必須對(duì)不完全投影數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使其完備化。

Kennan T.Smith于1984年首先提出了Lamda重建算法[5]，這也是研究不完全投影數(shù)據(jù)恢復(fù)領(lǐng)域的第一種算法，該算法的優(yōu)點(diǎn)是具有嚴(yán)格的局部性，適用于重建任意維的空間信息。但是，Lamda重建算法計(jì)算過(guò)于繁瑣。J.Wiegert, M.Bertram,T.Netsch等人[6]于2004年提出一種新的不完全投影數(shù)據(jù)恢復(fù)的方法，首先需要使用數(shù)學(xué)估計(jì)方法補(bǔ)全缺失的投影數(shù)據(jù)，然后利用數(shù)學(xué)方法對(duì)已知的不完全投影數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，但是，該方法必須要在錐角小于6度的情況下才有意義。Eric Todd Quinto[7]于2007年詳細(xì)討論了不完全數(shù)據(jù)的外部重建問(wèn)題，即把物體外部視為感興趣區(qū)域，已知該部分的投影數(shù)據(jù)，而物體內(nèi)部區(qū)域的投影數(shù)據(jù)缺失的問(wèn)題，并通過(guò)改進(jìn)Lamda重建算法解決了這一問(wèn)題。

插值方法在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用非常廣泛，如信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放大中，為避免圖像的失真所做的插值補(bǔ)點(diǎn)、建筑工程的外觀設(shè)計(jì)等[8]。常見(jiàn)的插值方法有最近鄰插值法、線性插值法及三樣條插值法等等。

1 投影數(shù)據(jù)估計(jì)方法

缺失投影數(shù)據(jù)的估計(jì)，目前國(guó)內(nèi)外都還沒(méi)有一個(gè)較好的解決方法，本文通過(guò)比較幾種常用的插值方法，將其運(yùn)用到缺失投影數(shù)據(jù)的估計(jì)上，并對(duì)其投影圖像進(jìn)行恢復(fù)，判斷其恢復(fù)效果。

1.1 最近鄰近插值

最近鄰插值是一種簡(jiǎn)單的插值方法，它是通過(guò)計(jì)算與點(diǎn)P(x0, y0)臨近的4個(gè)點(diǎn)，并將與點(diǎn)P(x0, y0)最近的整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)(x, y)的灰度值取為P(x0, y0)點(diǎn)灰度近似值。在P(x0, y0)點(diǎn)各相鄰像素間灰度變化較小時(shí)，這種方法是一種簡(jiǎn)單快捷的方法。但當(dāng)P(x0, y0)點(diǎn)相鄰像素間灰度值差異很大時(shí)，這種方法會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，甚至?xí)绊憟D像質(zhì)量，且圖像有明顯的鋸齒狀，即存在灰度不連續(xù)。

1.2 雙線性插值

雙線性插值法是最近鄰插值法的一種改進(jìn)，即用線性內(nèi)插方法，根據(jù)點(diǎn)P(x0, y0)的4個(gè)相鄰的灰度值，通過(guò)兩次插值計(jì)算出灰度值。由于雙線性插值法已經(jīng)考慮了點(diǎn)P(x0, y0)的直接鄰點(diǎn)對(duì)它的影響，因此一般可以得到令人滿意的結(jié)果。但這種方法具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受到損失，使圖像細(xì)節(jié)退化而變得輪廓模糊，且該插值法計(jì)算量較大。

當(dāng)在點(diǎn)P(x, y)處不是整數(shù)時(shí)，就要用周?chē)c(diǎn)內(nèi)插求出其值此時(shí)可用與之相鄰的4個(gè)整數(shù)位置上的像素灰度值進(jìn)行插值。待求的像素灰度計(jì)算如下：

其中：α=x-[x]，β=x-[x]。

1.3 三次樣條插值

為了得到更為精確的灰度值，對(duì)于角度β下的投影數(shù)據(jù)gβ，插值區(qū)間為{pβ, qβ}，對(duì)于其坐標(biāo)為x的位置，三次樣條插值：

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用雙線性插值法對(duì)缺失的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，得到不同缺失情況下的投影恢復(fù)圖像。圖1為標(biāo)準(zhǔn)的Sheep-Logan頭部模型的投影；圖2分別為缺失1列，缺失4列，以及缺失50行20列數(shù)據(jù)的投影圖像；圖3則是采用插值法恢復(fù)數(shù)據(jù)的投影圖像。

圖1 Sheep-Logan頭部模型投影

圖2 缺失數(shù)據(jù)的投影圖像

圖3 恢復(fù)數(shù)據(jù)的投影圖像

3 結(jié)論

通過(guò)上圖可以看出盡管對(duì)缺失的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行了估計(jì)，但我們已有的先驗(yàn)知識(shí)并不多，還不能較精確地逼近原來(lái)的數(shù)據(jù)，因此相對(duì)應(yīng)的投影圖像恢復(fù)的效果也不是很好。對(duì)此，本文只是做了個(gè)初步的嘗試。從圖中我們可以看到對(duì)于缺失多行或者多列數(shù)據(jù)的投影進(jìn)行恢復(fù)，效果不是那么好，但是對(duì)于同時(shí)缺失某幾十行和某幾十列數(shù)據(jù)的投影其恢復(fù)效果較前面的要好。因此，對(duì)于缺失投影數(shù)據(jù)的估計(jì)將是未來(lái)專(zhuān)家學(xué)者們研究的一個(gè)方向。

[1] 羅海.CT圖像重建及運(yùn)動(dòng)偽影校正方法研究[D].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),2011.

[2] 莊天戈.CT原理與算法[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,1992.

[3] 高河偉,張麗,陳志強(qiáng),程建平.有限角度CT圖像重建算法綜述[J].CT理論與應(yīng)用研究, 2006,15(1):46-50.

[4] 王浩.CT不完全投影數(shù)據(jù)重建算法研究[D].大連:大連理工大學(xué),2008.

[5] Smith K.T.Inversion of the X-ray transform in inverse problems[J].SIAM-AMS Proceedings, 1984:41-52.

[6] Wiegert J,Bertramb M,Wulff J et al.3D ROI imaging for cone beam computed tomography[J]. International Congress Series, 2004:7-12.

[7] Quinto E T.Local algorithms in exterior tomography[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,199(1):141-148.

[8] 趙前進(jìn).關(guān)于數(shù)值分析中插值法教學(xué)的研究[J].安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào),2007,21(3):34-36.