用反圓環面刀加工變曲率過渡曲面原理

黃 魏 陳志同 陳五一 賀 英

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

過渡曲面用來連接零件上相鄰兩個曲面，以實現曲面間的光滑過渡.文獻［1］認為處理相交曲面在相交棱邊處的等半徑過渡曲面與數控加工中曲面間過渡區域的生成機理是一致的.事實上，工程中經常遇到變曲率過渡曲面(也稱為變半徑過渡曲面)，它的加工十分復雜.葉片進排氣邊就是一種變曲率過渡曲面.

葉片是航空發動機中的關鍵零件，其工作性能對發動機的總體工作性能具有重要影響，而葉片進排氣邊的形狀和精度是決定葉片氣動和熱傳導性能的關鍵因素之一［2］.進排氣邊曲率半徑小、變化范圍大，在空間扭曲嚴重，因此加工難度很大.目前多采用球頭刀或圓環面刀按螺旋線掃描方式進行葉片進排氣邊的精加工，并提出了相應的螺旋線刀軌規劃算法［3－5］.這些算法的優點是可以實現葉片不同部位的光滑銜接，加工過程中刀軌連續且只需一次進退刀.文獻［6］指出刀具的最佳走刀方向應沿著最小主曲率方向，采用螺旋線加工方式很難使葉盆葉背和進排氣邊同時滿足這一要求，而且加工進排氣邊時，曲面的法矢會旋轉180°左右，會導致機床在很大的加速度下做進給運動，不僅會顯著降低機床在該區域的插補運動精度，還極易引起工藝系統的顫振.此外由于葉片很薄，厚度方向的切削力使螺旋加工在此處很容易導致葉片變形，并出現過切現象［7］.為此，文獻［8］提出將進排氣邊單獨加工的方法，該方法使用球頭刀沿橫向往復加工進排氣邊，可以解決過切現象，但球頭刀加工效率較低.20世紀50年代，前蘇聯曾采用一種進排氣邊與葉盆葉背分別磨削的方法［9］，這種方法可充分提高各個區域的加工效率，并通過改善支撐系統提高工藝系統剛性.文獻［10－11］指出刀具為凸集，沒有考慮到凹形刀具在加工凸曲面時的優勢.常用的CAM軟件也不具備創建凹形刀具的功能.文獻［12］最早提出按照曲率吻合原則來規定刀具與工件的相對位置，實現較好的加工效果.根據文獻［13］提出的廣域曲率吻合原則，如果刀具包絡面與工件曲面在每個瞬時接觸線上凹凸性相反，并且刀具包絡面與工件曲面在每個瞬時接觸線上曲率半徑盡量相等，則會得到更大的有效行寬.文獻［14］也指出，凹半徑銑刀非常適合加工至少一個方向為凸的曲面，但是文章并沒有提出具體的實現方法和理論依據.因此本文研究反圓環面刀加工葉片進排氣邊的基本原理和方法，并用最短距離線對原理分析誤差分布，為葉片進排氣邊的精密銑削乃至磨削加工提供一條新途徑.

1 凹圓環面刀具加工的幾何模型

圓以所在平面內一條與其不相交的直線為軸線旋轉一周形成圓環面.以母圓上任意一段圓弧對應的回轉面作為刀具工作面，若刀具工作面上任意一點指向空域的法線遠離對應母圓的圓心，則稱這種刀具為圓環面刀;反之，若指向空域的法線靠近對應母圓的圓心，則稱這種刀具為反圓環面刀.

圖1a中，Sw和St分別為工件設計曲面和刀具工作面，二者相切于工件設計曲面上的p點.如圖1b所示，在笛卡爾坐標系中，St1(xt1，yt1，zt1)為原點位于刀具底部中心的刀具坐標系，Ta，Tc分別為刀具的刀心矢量和刀軸單位矢量，Γ為xt1-zt1坐標平面第1象限上的圓弧母線，q0為母線上一選定點，其在St1上的坐標為分別為該點的單位切矢量和單位內法矢量，t為與刀軸矢量T的夾角.以q為坐標系原點，以a0軸，為 zt2軸建立刀具局部坐標系.設 q1為刀具母圓上任意點，該點與xt1軸的夾角為α，q2為q1繞zt1軸旋轉β所得到的刀具曲面上的任意點.刀具的幾何參數如圖1b所示，刀具外半徑為R，母線圓弧半徑為r，張角為φ，圓弧母線下端點距刀具底面距離為h0.

圖1 刀具和工件的接觸狀態及基本定義

如圖1a 所示，設 Sw1(xw1，yw1，zw1)為工件坐標系，設為曲面Sw上點p沿進給方向的單位切矢量為p點的單位法矢量，令則構成 p點的工件局部坐標系.令 Sw2繞旋轉 θ得到工件局部動坐標系 Sw3(xw3，yw3，zw3).St2與 Sw2重合即可得到一個刀位.

2 刀具及其位姿的表達

2.1 刀具上一點在S t2上的表達

根據圖1b，刀具上任意點q2的坐標為

利用坐標變換可求得點q2在St2下的坐標為

2.2 刀具上點及刀具位姿在S w1上的表達

令St2與 Sw3重合，根據 Sw1中的矢量，容易得到刀具上一點q2在Sw3上的表達為

根據式(3)，刀具的位姿可用Tc和Ta在Sw1下的坐標唯一表示成

3 反圓環面刀具寬行加工的原理

定半徑圓弧母線刀具沿直線或空間曲線作平移與旋轉的復合運動時其包絡面的截形不斷變化，因此可以使刀具包絡截形的曲率半徑接近任意位置工件截形的曲率半徑，從而大幅度提高加工效率.

下面進行簡要證明.設工件曲面為半徑為r'(r'＜ r)的圓柱面，其軸線沿 Sw1(xw1，yw1，zw1)的yw1軸方向;刀軸矢量位于y-z平面內，刀具相對zw1軸擺角θ后刀具與工件相切于p點，且切點沿yw1向運動，現推導其包絡面方程.

如圖2所示，刀具工作面上任一點q0的外法矢量為

圖2 反圓環面刀具與圓柱工件表面的包絡關系

刀具上任意點沿yw1軸正向移動，則各點的運動速度方向為

根據包絡理論應有

圖2所示的曲線C1即為式(7)所描述的St1下的刀具工件嚙合特征線，而C2為C1到工件曲面距離最短的曲線.它們之間構成了刀具與工件曲面間的最短距離線對.

將式(7)向 Sw1(xw1，yw1，zw1)的 xw1-zw1面投影可得到刀具包絡面的正截形，由于平移不改變投影形狀和大小，可略去式(7)中p點在Sw1中的位置矢量.可得到

當取 R=5mm，r=1mm，θ=0，5，15，20°時，包絡面的正截形和刀具兩端截面線如圖3實線所示.可見，截型線可以很好地逼近半徑分別為1.0，0.96，0.62 和 0.33mm 的圓弧.θ值越大，可逼近的圓弧半徑越小.

圖3 刀具包絡面的正截形仿真計算結果

進排氣邊可以看成錐度不斷改變的一個變錐面.根據以上分析結果，利用調整刀具擺角可以實現進排氣邊的寬行包絡加工.

4 刀具參數及刀具位姿的優化模型

4.1 誤差分布函數及加工行寬的計算

如圖4所示，用M個平行刀具底面的截平面按弧度步長Δφ將刀具工作面劃分成M條緯線Gi(i=1，2，…，M)，緯線上的點繞刀軸在 Ω 范圍內按弧度步長ΔΩ離散成N個點，編號為j(j=1，2，…，N).則離散點可以表示為 q2i，j.求第 i條緯線上到工件曲面上距離最小的點q2imin，并記其在工件上的垂足為pimin.分別連接所有q2imin和所有pimin得到的曲線Ctmin和Cwmin分別稱為刀具上的最短距離線和工件上的最短距離線，它們分別是特征線C1和垂足線C2的近似表達.對應點之間的距離分布δimin(i=1，2，…，M)稱為誤差分布函數δ，即

圖4 刀具的離散

從切觸點q0向兩側各尋找第1個誤差大于編程控制誤差Δ的點pamin和pbmin，則該刀位上的刀位參數域行寬wp(uv)可表示為

步驟7 標準突變操作。依次判斷各棲息地，隨機產生Kmu，Kmu∈{1,2,3}，若rand

設沿著曲面的參數線走刀，比如u(或v)參數線，則某刀位處誤差曲線的兩個端點對應工件曲面上點的v(或u)參數值之差的絕對值稱為該刀位的參數行寬.

4.2 刀具參數及刀位的優化模型

將滿足條件式(10)的行寬稱為有效行寬.對于給定的加工曲面Sw和編程控制誤差Δ，理論上，給定刀具幾何參數時單個刀位點的最大行寬wpmax、給定刀具幾何參數時一行刀軌的最大行寬wrmax和優化刀具參數時一行刀軌的最大行寬womax可分別表示為

式中，Ω1為刀具與工件不發生干涉時切觸點c和擺角θ的范圍;Ω2為一行刀軌的u或v參數的離散范圍;vpl，vpr為一個刀位處行寬的左右邊界;Ω3為刀具幾何參數R，r，φ的可取范圍.

4.3 刀具幾何參數對加工行寬的影響

以某葉片為例，分析了刀具幾何參數對加工行寬的影響規律.

4.3.1 r與 womax關系

根據葉片進排氣邊Sw橫截面曲率半徑范圍Rs∈(0.3mm，1.0mm)，顯然有 r≥1.0mm.為使刀具工作面與工件曲面更加貼合，取r=1.0mm最為合適.

4.3.2 φ 與 womax關系

刀具工作面應為開敞的曲面，因此弧度范圍應滿足0＜φ≤π.當刀具擺角大于某臨界值時，刀具工作面的包絡一部分或全部由母圓端點所在的截面線形成，此時不能包絡出有效的工件表面，即產生干涉.發生干涉時，包絡面的正截形邊緣出現自相交，形成封閉區域.

取 r=1.0mm，R=5mm，在 u=0.3 參數線上，計算不同φ值下的最大行寬womax得到圖5.

圖5 刀具母線圓弧角度φ與w omax關系

由圖5可以看出，當φ在90°附近處，womax達到最大值，因此取φ=90°作為刀具母線圓心角.此時womax可超過0.5，因此理論上進氣邊或排氣邊只需2行刀軌即可加工完成.當擺角θ變大時可能會發生干涉，而且φ越大，不發生干涉的最大θ角越小.

4.3.3 R 與 womax關系

取 φ =90°，r=1.0mm，沿著 u=0.5 的參數線走刀，在R∈(2mm，30mm)范圍內得到的R與womax關系如圖6所示.可見，行寬在某值附近波動，而且波動范圍很小，womax∈(0.475，0.531)，對加工行寬的影響可以忽略，波動是由于離散點計算方式所致.而隨著R的增大，擺角θ的臨界值逐漸減小.在 u=0.5，v=0.5 處，得到的 R 與最優θ的關系如圖6所示.

圖6 R與 w omax，θ關系

4.4 刀具位姿參數對加工行寬的影響

4.4.1 θ與 wpmax關系

φ取不同值得到的θ與有效行寬womax之間的關系是一致的.在此，取 R=5mm，r=1mm，φ=π/3，c為刀具母線的中點.在 u=0.5，v=0.5 處，得到的θ與wpmax之間的關系如圖7所示.

圖7中，行寬隨|θ|的增大而增大，當大于某一值后，行寬變為0表示發生過切.圖7中曲線并不嚴格關于0°對稱，左右極值也不相等，主要是由于進排氣邊在空間中扭曲所致.有效帶寬的最大值發生在有無干涉的臨界值附近，因此可以用二分法找到這個臨界值作為最優擺角.

4.4.2 c與 wpmax關系

當θ≠0時，由于進排氣邊的曲面截面線曲率半徑變化，刀具與工件間的誤差分布在u方向上不對稱，因此c應在刀具母線的中點略偏的位置.當取 R=5mm，r=1mm，φ=π/3時，在 u=0.5，v=0.5處，c的位置與加工行寬之間的關系如圖8所示.c的最優位置可以通過對母線的中點周圍的離散點遍歷的方式搜索得到.

圖7 θ與加工行寬的關系

圖8 刀具切觸點位置c的離散序列與加工行寬的關系

4.5 優化后的刀具幾何參數和刀軌生成

根據上述比較結果和驗證實驗的硬件條件，取R=6mm，根據 Rs范圍，取 r=1mm，φ=π/2.

經試算取進氣邊第1，2行刀軌驅動參數線分別為u=0.27，0.68，兩行刀軌有效行寬即可覆蓋整個曲面.優化計算后的刀軌如圖9所示.如果使用球頭刀具加工進排氣邊，用UG計算需要12行刀軌，因此加工效率比球頭刀高5倍.

圖9 進氣邊加工刀軌

5 加工驗證

實驗在3MK5030型五軸機床上用銑削方式進行.葉片毛坯材質為鋁.刀具采用整體硬質合金銑刀.切深約為1mm，主軸轉速S=3000 r/min，進給速率vf=1 000mm/min.加工后的曲面光滑平整，兩行刀軌之間圓滑銜接，如圖10所示.

圖10 加工后表面質量

在v=0.1與v=0.9處用線切割加工得到的截面形狀在顯微鏡下的觀察結果見圖11.加工后的進氣邊圓度較高，與葉盆葉背的連接較好.

圖11 加工后截面形狀(單位:mm，比例:17∶1)

6 結論

本文提出了一種利用反圓環面刀具縱向精加工過渡曲面的方法，分析了刀具幾何參數和位姿對加工行寬的影響規律，提出了刀具幾何參數選擇的基本原則.利用C語言開發了計算程序.在五軸機床上成功進行了實驗.

致謝 本文的研究基于張洪教授最先提出的用反圓環面刀加工變曲率過渡曲面的思想，特此感謝張洪教授對本文的悉心指導.

References)

［1］周濟，周艷紅.數控加工技術［M］.北京:國防工業出版社，2002:46－47 Zhou Ji，Zhou Yanhong.Technology of NC machining［M］.Beijing:National Defence Industry Press，2002:46 － 47(in Chinese)

［2］ Hamakhan IA，Korakianitis T.Aerodynamic performance effects of leading-edge geometry in gas-turbine blades［J］.Applied Energy，2010，87(5):1591 －1601

［3］ Kim B H，Choi B K.Guide surface based tool path generation in 3-axismilling:an extension of the guide plane method［J］.Computer Aided Design，2000，32:191 －199

［4］ Lee E.Contour offset approach to spiral tool path generation with constant scallop height［J］.Computer Aided Design，2003，35:511－518

［5］ Sun YW，Guo DM，Jia ZY.Spiral cutting operation strategy for machining of sculptured surfaces by conformal map approach［J］.Journal of Material Process Technology，2006，180:74 －82

［6］ Kruth P，Klewais JP.Optimization and dynamic adaptation of the cutter inclination during five-axis milling of sculptured surfaces［J］.CIRP Annals，1994，43(1):443 －448

［7］ Shan CW，Zhang D H，Liu W W，et al.A novel spiral machining approach for blades modeled with four patches［J］.Internal Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，43:563 －572

［8］ You C F，Sheen B T，Lin T K.Robust spiral tool-path generation for arbitrary pockets［J］.Internal Journal of Advanced Manufacturing Technology，2001，17:181 －188

［9］伊宗МX.燃氣渦輪發動機葉片的機械加工［M］.北京:國防工業出版社，1965 Yi Zong M X.Machining of gas twrbine engine blades［M］.Beijing:Natinal Defence of Industry Press，1965(in Chinese)

［10］ Chiou C J，Lee Y S.A shape-generating approach for multi-axis machining G-buffer models［J］.Computer-Aided Design，1999(31):761－776

［11］ Yoon Jounghahn，Pottmann Helmut，Lee Yuanshin.Locally optimal cutting positions for 5-axis sculptured surface machining［J］.Computer-Aided Design，2003，35:69 － 81

［12］張洪.從增大行距寬度減小波紋度的角度看型面加工發展的方向［D］.北京:北京航空學院制造工程系，1982 Zhang Hong.Observing the development of machining sculptured surfaces from the perspective of increasing strip width and decreasing waviness［D］.Beijing:Manufacturing Engineering Department，Beijing Institute of Aeronautics，1982(in Chinese)

［13］呂雪麗，張洪.廣域曲率吻合原則與復雜曲面數控加工的全面優化［J］.機械設計與制造，2003，10(5):94 －96 Lü Xueli，Zhang Hong.Principle of global curvature fitting and global optimization of sculptured surface NC machining［J］.Machinery Design and Machining，2003，10(5):94 － 96(in Chinese)

［14］ Yu Guang.General tool correction for five-axis milling［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，1995，10(5):374 －378