從三個層次突破高考最后一題

沈榮燦 王國軍

（上虞中學 浙江 紹興 312300）

帶電粒子在磁場中的運動是歷年高考考查的重點，各地高考往往將它作為壓卷題，具有較高的區分度．由于在平時學習中學生沒有及時、有效地歸納，臨場找不到恰當的解題方法而心生畏懼，加之在兩個半小時內要完成物理、化學、生物三門學科組成的理綜考試，時間顯得尤為緊迫．如何在短時間內迅速找到突破口一直是困擾廣大師生的難題．本文從三個層次分析帶電粒子在磁場中運動題型，并給出相應對策，以期對學生、教師有所幫助．

1 基礎題

【例1】一勻強磁場，磁場方向垂直于x Oy平面，在x Oy平面上，磁場分布在以O為中心的一個圓形區域內．一個質量為m、電荷量為＋q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向．后來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖1所示．不計重力的影響．求磁場的磁感強度B的大小和x Oy平面上磁場區域的半徑R．

圖1

對策：熟練掌握解題的基本思路，提高畫圖能力．

（1）找圓心，畫軌跡 ——確定圓心的幾種方法

方法一：已知入射方向和出射方向時，可以通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩直線的交點就是圓弧軌道的圓心，如圖2（a）所示；

方法二：已知入射方向和入射點、出射點的位置，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，做其垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心，如圖2（b）所示．

（2）由幾何關系求半徑——弦切角、圓心角、速度偏向角之間的關系，如圖2（c）所示．

弦切角θ、速度偏轉角α、圓心角β，三者關系

（3）確定圓心角求時間

圖2

解：已知條件中給出了入射點、入射方向和出射方向，需要找到出射點．引出射方向的反向延長線，再作反向延長線的垂直，該垂線被截得線段＝O′O，則M點為出射點，O′點為圓弧軌道中心．畫出帶電粒子軌跡如圖2（d）所示．

2 提高題

【例2】（2010年高考全國卷第26題）如圖3所示，在0≤x≤槡3 a區域內存在與x Oy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B．在t＝0時刻，一位于坐標原點的粒子源在x Oy平面內發射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內．已知沿y軸正方向發射的粒子在t＝t0時刻剛好從磁場邊界上P（槡3 a，a）點離開磁場．求：

（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；

（3）從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間．

圖3

此類題型的特點是帶點粒子從同一點以相同速度大小、不同速度方向或相同速度方向、不同速度大小射入磁場，要求學生畫出動態圓，尋找臨界條件．但正如圖4所示，要求學生在短時間畫出動態圓，并分析出臨界條件，對學生的畫圖、分析能力要求較高．

圖4

對策：化動態圓為動態弦，從弦長角度分析臨界條件．

對第一類動態圓，若粒子軌跡為劣弧，則相同弦長對應相同弧長、相同弦切角、相同運動時間等；較長弦對應較長弧、較大弦切角、較長運動時間等．

解：（1）、（3）略．

（2）由題知，沿＋y方向射入磁場的粒子，OP為其軌跡圓弧的弦，對應的弦切角為60°，若粒子入射速度方向順時針旋轉，如圖5所示，則粒子在右邊界的出射點P將向下移動，弦長OP先變短后變長，即對應粒子在磁場中運動的時間先變短后變大．

圖5

如圖，當弦OP1與OP關于x軸對稱，該粒子在磁場中運動時間t＝t0，此時弦切角同為60°，速度與＋y成60°角．

同理分析可知，粒子從左邊界射出的臨界弦OP2，該粒子的速度方向與＋y成120°角．

3 能力提升

【例3】（2009年高考浙江卷第25題）如圖6所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在x Oy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與x Oy平面垂直的勻強磁場．在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m、電荷量q（q＞0）和初速度v的帶電微粒．發射時，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區間內．已知重力加速度大小為g．

圖6

（1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小和方向．

（2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由．

此類題型較新穎，對學生運用數學工具解決物理問題的能力要求較高．

對策：運用數學工具——平面幾何、解析幾何、參數方程．

（1）平面幾何．添加相關輔助線，尋找直角三角形或菱形，通過三角函數或勾股定理確定長度關系；

（2）解析幾何．寫出磁場邊界方程（約束方程）與粒子運動的軌跡方程，聯立方程組解出入射點和出射點坐標；

（3）參數方程．以變量為參數，寫出邊界點與參數的關系，消參寫出軌跡方程．

解：（1）略；

（2）

方法一：解析幾何

從任意一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動．如圖7所示，連接PO′點與y軸的夾角為θ，P點的坐標為（－R sinθ，R＋R cosθ），軌跡圓心Q的坐標為（－R sinθ，R cosθ）．

圖7

圓周運動軌跡方程為

而磁場邊界方程為

x2＋（y－R）2＝R2

第一組解（0，0）即為出射點坐標，第二組解［－R sinθ，R（1＋cosθ）］即為入射點P的坐標．由此可知帶點粒子均從原點O點射出．

方法二：平面幾何

過P點做PQ⊥v，且PQ＝R，連接PO′和Q O．

由PQ瓛O′Q，可推得四邊形PO′OQ 為平行四邊形．

由PQ＝PO′＝R，可推得平行四邊形PO′OQ為菱形，則有Q O＝R．

以Q為圓心，R為半徑做圓弧．可知，P點射入的粒子將從原點O射出．

從上例不難發現，平面幾何方法解題的特點是簡潔、易懂、計算量小，但對分析、推理能力要求較高，具有一定技巧性．一般學生遇到此類問題感覺棘手，難以尋找題目的切入點；而運用解析幾何方法按部就班，通過軌跡方程與約束方程確定交點坐標，尋找規律，學生易下手，找到題目的突破口，但往往需要解方程組，計算量相對較大．

【例4】如圖8所示，直角坐標系中直線AB與x軸夾角∠BAO＝30°，AO長為a．假設在點A處有一放射源可沿∠BAO所夾范圍內的各個方向放射出質量為m、速度大小均為v、電荷量為e的電子，電子重力忽略不計．在三角形ABO內有垂直紙面向里的勻強磁場，當電子從頂點A沿AB方向射入磁場時，電子恰好從O點射出．試求：

圖8

（1）從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t；

（2）磁場大小、方向保持不變，改變勻強磁場分布區域，使磁場存在于三角形ABO內的左側，要使放射出的電子穿過磁場后都垂直穿過y軸后向右運動，試求勻強磁場區域分布的最小面積S；

（3）磁場大小、方向保持不變，現改變勻強磁場分布區域，使磁場存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖8（b）所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，試確定勻強磁場左側邊界虛線的曲線方程．

解：（1）略；

（2）當電子沿AB方向射入磁場，其圓弧部分軌跡即為有界磁場的上邊界（半徑為a，圓心角為60°的圓弧）．

設電子以與x軸夾θ角射入磁場，離開磁場P點的坐標為（x，y），如圖9（a）所示．

圖9

磁場的下邊界為以（－a，a）為圓心，a為半徑的部分圓弧，磁場區域分布的最小面積為

（3）設電子與x軸正方向夾角θ，從P（x，y）點進入磁場，如圖9（b）所示．

【例5】如圖10所示，以O為原點建立平面直角坐標系xy，沿y軸放置一平面熒光屏．在y＞0，0＜x＜0．5 m的區域有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小B＝0．5 T．在原點O放一個開有小孔粒子源，粒子源能同時放出比荷為＝4．0×105C／kg的不同速率正離子束，沿與x軸成30°角從小孔射入磁場，最后打在熒光屏上，使熒光屏發亮．入射正離子束的速率在零到最大值vm＝2．0×106m／s的范圍內，不計離子之間的相互作用，也不計離子的重力．

（1）求離子打到熒光屏上的范圍；

（2）若在某時刻（設為t＝0時刻）沿與x軸成30°角入射的各種速率的正離子，求經過10－7s時這些離子所在位置構成的曲線方程．

圖10

解：（1）略；

如圖11所示，設離子粒子軌道半徑為r，t時刻所在位置P點坐標為（x，y）．

圖11

由圖可知

運用參數方程解決粒子軌跡方程或磁場的邊界方程的難點在于如何設置參數，從例5、例6不難發現——設變化的物理量為參數．例5中速度大小確定，方向可變，故需設入射角θ為參數；例6中速度偏轉角確定，但速度大小連續變化，故設半徑r為參數．