考慮軸向力及附加質量的諧振音叉建模及仿真

郭占社， 宋春苗， 鄭仕學

（1. 北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100191；2. 重慶嘉陵華光光電科技有限公司，重慶 400700）

諧振式MEMS傳感器由于具有輸出諧振頻率信號，易于實現與計算機的數字接口且在傳輸時不易失真，已成為MEMS領域重要的研究方向。目前很大部分MEMS諧振式傳感器都是通過檢測內部諧振敏感元件的諧振頻率微小變化量來實現對被測量的檢測，因而諧振敏感元件的性能直接影響整個微系統的測試精度及應用場合[1-2]。

在該研究方面，傳統的研究一般基于純音叉梁形式。天津大學鐘瑩等分析了純音叉諧振器的振動特性和工作原理并把它應用于加速度傳感器；重慶大學劉恒[3-4]等根據雙端固定音叉諧振器的動力學原理，建立參數模型，研究了音叉梁長度及寬度對諧振頻率的影響；南京理工大學裘安萍[5]等通過研究指出音叉諧振器結構中振梁寬度產生的加工誤差最大，且對諧振器的性能影響最大，而實際應用的音叉梁上均集成有驅動單元和檢測單元，不可避免引入附加質量，施加附加質量后諧振梁振動模型具有較大改變，不考慮的話會引入很大誤差。而且實際應用中是通過施加軸向力前后音叉梁諧振頻率的變化來解算軸向力及所攜帶參數的大小，所以必須考慮攜帶附加質量的諧振梁受軸向力的振動問題，這種振動問題在音叉諧振器微結構的建模和設計中頻繁用到[6-8]，諧振頻率作為設計和操作參數的函數，它的確定需要準確的模型。但是，目前綜合考慮附加質量與軸向力對音叉振動特性的影響的相關文獻很少。

本文充分考慮了附加質量與軸向力對諧振音叉振動特性的影響，建立攜帶附加質量的諧振梁的振動模型，采用有限元方法對其進行仿真，并對其重要性進行研究。

1 諧振音叉工作原理分析

雙端固定音叉結構簡圖如圖1所示，該結構主要由兩根平行的諧振梁組成，梁的末端連接在一起，并與支撐結構相連。當通過適當的激勵方式使兩個音叉臂平面內反相振動時，兩個音叉臂在它們的合并區域產生的應力和力矩方向相反，互相抵消，因此整個結構通過固定連接端與外界的能量耦合小，振動系統的能量損失小，具有很高的Q值。

圖1 雙端固定音叉

音叉諧振器結構簡單，具有力平衡、自減震的特性，在微系統中用作力的敏感元件或轉換元件，一般工作在閉環自激的諧振狀態，通過它的諧振頻率變化解算出軸向力從而獲得所攜帶的參數。

2 考慮軸向力和附加質量模型

諧振音叉主要用于敏感施加軸向力后傳感器諧振頻率的變化，諧振音叉的性能直接決定了整個傳感器的性能，目前的研究是基于純諧振梁的振動特性進行的，而實際情況在諧振梁上集成了驅動單元和檢測單元等，該部分可等效于具有一定質量的附加質量。當諧振音叉存在軸向力和附加質量塊的影響時，其振動模型會發生很大的改變。本文針對該問題，建立如圖2所示具有附加質量的音叉諧振梁的振動模型。

圖2 具有附加質量的諧振音叉模型

2.1 純音叉梁模型

應用瑞利法和能量守恒定律可得

通過數值擬合取振型函數[9]

其中Y(x)為梁振動的模態函數，L為梁長，f0為純音叉梁不受軸向力時的諧振頻率，ρ為梁的密度，A為梁的截面積，EI為梁的抗彎剛度。

2.2 攜帶附加質量的音叉梁模型

攜帶附加質量塊時，在梁的振動過程中，梁的動能既包括梁的動能，又包括梁上附加質量塊的動能。

應用瑞利法和能量守恒定律可得

其中s為附加質量塊距梁端部的距離，ma為附加質量塊的質量。

結合振型函數式(3)

則

利用Matlab軟件，得到附加質量與諧振頻率之間的關系如圖3所示。

圖3 無軸向力時諧振頻率隨附加質量的變化趨勢

當附加質量遠小于音叉梁的質量(ma＜＜ρ*A*L)

2.3 存在軸向力的音叉梁模型

軸向力存在時，在梁的振動過程中，梁的彈性勢能中除了彎曲應變能之外，還包括軸向拉力引起的應變能，這部分勢能在數值上等于軸向力在軸向位移上所作的功。

應用瑞利法和能量守恒定律可得

其中F為所施加的軸向力。

結合振型函數式(3)

則

同樣，得到兩者之間關系如圖4所示。

圖4 無附加質量時諧振頻率隨軸向力變化趨勢

當所施加軸向力很小時

2.4 攜帶附加質量且存在軸向力的音叉梁模型

同時存在軸向力及附加質量塊時，在梁的振動過程中，梁的彈性勢能中除了彎曲應變能之外，還包括軸向拉力引起的應變能，這部分勢能在數值上等于軸向力在軸向位移上所作的功，梁的動能則既包括梁的動能，又包括梁上附加質量塊的動能。

應用瑞利法和能量守恒定律可得

結合振型函數式(3)

則

當附加質量遠小于音叉梁的質量(ma＜＜ρ*A*L)，且所施加軸向力很小時

同樣，利用Matlab軟件，得到軸向力與諧振頻率之間變化關系曲線如圖5所示。

圖5 有軸向力的諧振頻率隨附加質量變化趨勢

3 有限元仿真

為驗證理論的正確性，我們建立有限元模型如圖6所示，取 E=2.06*105MPa，ρ=7.8*10-9kg/mm3，A=a*b，I=a*b3（a為梁高，b為梁寬），a=3mm，b=0.5mm。

F=0時，即無軸向力，則同式(7)

圖6 有附加質量的音叉梁有限元仿真

取ma的ρ=7.8*10-9kg/mm3，相應理論值與仿真值如表1所示。

表1 有附加質量的音叉梁諧振頻率

ma=0時，即無附加質量，則同式(11)

對模型劃分網格，如圖7所示。

圖7 有軸向力的音叉梁有限元仿真

相應理論值與仿真值如表2所示。

表2 有軸向力的音叉梁諧振頻率

F≠0且ma≠0時，即既有軸向力又有附加質量，則同式(15)

取ma的ρ=7.8*10-9kg/mm3，相應理論值與仿真值如表3所示。

表3 既有軸向力又有附加質量的音叉梁諧振頻率

由表1，2，3可以看出：理論計算結果與仿真結果之間的相對誤差小于1%，說明了理論模型的正確性。

4 結 論

論文針對攜帶附加質量的音叉梁，分別建立有軸向力及無軸向力的情況下，具有附加質量的音叉梁在空載及施加附加質量4種情況下的振動模型，并采用有限元方法，對模型的正確性進行驗證。結果表明理論與仿真的誤差不超過1%，論證了該理論的正確性，進而為諧振音叉附加質量設計提供參考，實現對敏感元件的優化設計。

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