Simulink和SimMechanics環境下并聯機器人動力學建模與分析

王英波，黃其濤，鄭書濤，韓俊偉，許宏光

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

與串聯機器人相比，并聯機器人具有更高的推重比、結構剛度、控制精度和更低的慣性等優點，因此得到了廣泛關注［1-3］.六自由度并聯機器人呈八面體結構，具有六路相同的驅動分支，被廣泛應用于高精度運動模擬器、空間對接機構、球形射電望遠鏡和機床等眾多領域［4］.六自由度并聯機器人構型的優化設計和高精度控制策略的制定都需要考慮其動力學特性，所以其動力學建模與分析至關重要.動力學分為2個方面:正動力學和逆動力學［5］.對于并聯機器人，許多學者提出了多種方法來研究其動力學特性［6-10］，其中最流行的方法仍然是牛頓-歐拉法和拉格朗日法.凱恩方法是一種高效的剛體系統動力學建模方法，其融合了牛頓-歐拉法和拉格朗日法的優點，也被用于推導并聯機器人的動力學方程［11］.

雖然上述方法能夠得到并聯機器人的正/逆動力學方程，但基于上述方法的計算機模型卻沒有建立、描述和討論，這導致了模型的驗證不夠嚴密，充分的動力學分析也是不可能的.計算機建模方法是一種非常高效的建模方法，但在并聯機器人領域并沒有引起足夠的關注和討論.其可以將動力學模型轉化成計算機內的仿真模型，運用仿真模型可以高效輕松的驗證動力學模型和進行動力學分析.因此，采用不同的高效計算機建模方法來討論和建模動力學模型是非常重要的，特別是用計算機來對各種動力學原理下的動力學方程的驗證.

本文將六自由度并聯機器人描述成單個剛體，單剛體動力學方程能夠充分描述整個機械系統的特性，特別是對重載運動系統［12］.通過應用凱恩方法，能夠直接得到帶有6個變量的顯式動力學方程.在對這些方程進行適當的變換之后，就能夠得到計算機建模所需的矩陣形式的動力學方程.利用Simulink在矩陣和向量運算方面的優勢，將六自由度并聯機器人矩陣形式的動力學方程轉化成計算機內的模型;為了驗證Simulink中模型的正確性，采用另一種剛體建模軟件SimMechanics在計算機中重新構建并聯機器人的動力學模型，并對兩種計算機模型的仿真結果進行了對比分析.

1 系統描述

Stewart并聯機器人由一個動平臺和一個固定基礎通過6個相同的支腿并列連接構成，如圖1所示.

圖1 六自由度并聯機器人結構簡圖Fig.1 Configuration of six-dof parallel manipulator

1.1 笛卡爾坐標系

恰當的選擇坐標系能夠得到并聯機器人運動學和動力學的顯式形式的方程，這對運動學和動力學分析、構型設計和控制設計都非常重要.不僅對實時控制有益，而且使構型設計、運動學和動力學分析更清楚易懂.圖2描述了笛卡爾坐標系統，坐標系OU-XUYUZU是體坐標系，固定在動平臺上;坐標系OL-XLYLZL是慣性坐標系.沿XL-YL-ZL3個軸的平動在慣性坐標系中表示為q1、q2、q3;轉動表示為q4、q5、q6，是平臺沿瞬時軸XU，YU，ZU的歐拉角.體坐標系和慣性坐標系在初始位置qi=0(i=1，…，6)相互重合.Lli(i=1，…，6)是第i個驅動器長度，Uai(i= 1，…，6)是{U}坐標系下的上鉸點坐標向量，Lbi(i=1，…，6)是{L}坐標系下的下鉸點坐標向量.

圖2 并聯機器人笛卡爾坐標系Fig. 2 Cartesian coordinatie systems of the parallel manipulator

1.2 變換關系

向量從體坐標系變換到慣性坐標系滿足一定的變換關系.以上鉸點坐標向量Uai(i=1，…，6)為例，其在體坐標系和慣性坐標系中的表達形式滿足式(1)關系:

式中:LRU∈R3×3是從體坐標系到慣性坐標系的旋轉變換矩陣，其用歐拉角描述，如式(2)所示，式中“c”代表“cos”，“s”代表“sin”.

1.3 偏速度和偏角速度

2 動力學模型

2.1 動力學方程

采用凱恩方法，機械系統的單剛體的動力學方程可以表示為

廣義主動力Fact和廣義慣性力F*分別是并聯機器人主動力/力矩和慣性力/力矩在慣性坐標系{L}中的投影.

顯然，并聯機器人的任何運動都可以分解成直線運動和角運動.相對慣性坐標系，并聯機器人直線運動的主動力LFact∈R3和慣性力LFinel∈R3表示為方程(5)和方程(6).

在坐標系{L}中，并聯機器人的角運動的主動力矩和慣性力矩表示為

合并方程(4)～(8)，得到對坐標系{L}的完整的并聯機器人動力學方程表示為

方程(9)左邊是負的廣義慣性力，的右邊是廣義主動力，系數矩陣表示為

式中:M是質量矩陣;mp是平臺和負載的總質量;C是向心項和柯氏力項矩陣;G是重力項矩陣;g是重力加速度是角速度向量ω對應的坐標矩陣，其表達式如(14)所示.是平臺廣義速度和作動器速度間的雅克比矩陣.Fa是支腿輸出力;單位作動器長度矩陣由構成單位長度向量的計算如(15)所示.

2.2 Simulink中的動力學模型

得到動力學方程后，可以在Simulink環境下構建空間六自由度并聯機器人的動力學數學模型.Simulink是一種按照給定方程來對動力學系統進行建模、仿真和分析的計算機輔助方法，是一種方塊圖建模環境，可進行剛體系統的工程設計和仿真，并進行運動學分析.Simulink環境下六自由度并聯機器人動力學模型如圖3所示.

圖3 六自由度并聯機器人動力學模型Fig.3 Dynamic model of six-dof parallel manipulator in Simulink

2.3 SimMechanics中的動力學模型

SimMechanics是一種物理建模方法，可按照物理學原理對系統進行建模和設計.Simulink模塊代表對信號的數學運算，而SimMechanics中的模塊代表的是物理成分和關系.為了驗證空間六自由度并聯機器人在Simulink中的動力學模型的正確性，并提供一種可供選擇的高效的計算機輔助建模方法，參照空間六自由度并聯機器人的物理關系，在SimMechanics環境中重新建立其動力學模型，如圖4所示.

圖4 SimMechanics中的動力學模型Fig.4 Dynamic model in SimMechanics

3 結果與分析

為了驗證空間六自由度并聯機器人動力學模型的正確性并分析其動力學特性，設計了基于鉸點空間的經典PID控制策略，在Simulink模型和Sim-Mechanics模型中的控制參數是完全相同的.控制方框圖如圖5所示，一個具體的六自由度并聯機器人構型參數在表1中給出.選用基于四階和五階隆格-庫塔解法的固定步長(采樣時間1或2ms)‘ode4’解法器來求解兩個模型的非線性系統微分方程.

圖5 并聯機器人在Simulink和SimMechanics中的控制方框圖Fig.5 Control blocks for the parallel manipulator in Simulink and SimMechanics

定義逆運動學，用期望軌跡Θdes來計算期望的支腿位移x/des，此法用于求解空間并聯機器人閉式解直接易懂.并聯機器人的正運動學是用一組已知的支腿長度來計算平臺的廣義姿態Θ，與逆運動學不同，正運動學的在線計算非常困難.所幸，此問題已在文獻［4］已經得到了解決.2個PID控制器的輸入是理想支腿長度和實際支腿長度xl之差，同時，其輸出是作動器的輸出力，以驅動并聯機器人.

表1 并聯機器人結構參數Table 1 Parameters of the parallel manipulator

忽略支腿的質量和慣性，六自由度并聯機器人可以看作是單剛體系統，這種簡化特別適用于重負載和輕支腿的情況［12］.文中，假設六自由度并聯機器人支腿的質量和慣性遠小于動平臺的質量和慣性，并且構型參數是精確的.因此，控制系統是一個沒有不確定性的系統.此外，數學模型能夠代表并聯機器人的物理系統.對于計算機中并聯機器人的2個動力學模型，其對應的2個控制系統的控制參數是相同的，只是控制對象不同而已.仿真中，PID增益Kp、Ki、Kd分別設定為3×10－7、0和0.

在2個控制系統中施加可變振幅和頻率的升沉運動，其能夠激起六自由度并聯機器人在升沉方向的局部動力學特性.如果控制系統的響應是相同的，能夠得到結論:用2種方法在計算機中建立的動力學模型是相同的.期望的軌跡可以描述為

從規劃的角度看，Simulink中對于不考慮支腿和摩擦影響的理想空間六自由度并聯機器人系統，作動器輸出力和支腿的實際位移應該是相同的.此外，系統只存在升沉運動.圖6(a)給出了輸出力，圖6(b)～(d)分別描述了在Simulink中并聯機器人的響應.

如圖6所示，作動器輸出力、支腿位移、并聯機器人動平臺的廣義輸出位移與上面的假設完全一致.因此，從簡化但不充分的角度來看，采用凱恩方法在Simulink中建立的動力學模型是正確的.

為了充分驗證Simulink中的動力學模型，并且提供另一種計算機輔助方法來建模和分析空間并聯機器人的動力學，可在SimMechanics中重新建立并聯機器人的動力學模型.此外，該方法也可用于建模其他機械系統.基于SimMechanics建立六自由度并聯機器人的動力學模型.采用同樣的增益、正/逆動力學參數和期望軌跡方程(1)，圖7給出了SimMechanics中的作動器輸出力，圖8給出了在SimMechanics中的動力學響應曲線.

圖6 在Simulink中動力學模型對期望軌跡的輸入/輸出Fig.6 Inputs/outputs of the dynamic model in Simulink to the desired trajectory

圖7 Simulink和SimMechanics中動力學模型的作動器輸出力對比Fig.7 Comparison of actuator output forces of dynamics in both Simulink and SimMechanics

圖8 Simulink和SimMechanics中動力學響應對比Fig.8 Comparison of responses for dynamics in Simulink and SimMechanics

對比采用凱恩方法在 Simulink和在 SimMechanics中的動力學可以看到，在SimMechanics的響應，包括所有的支腿位移、速度、運動平臺升沉方向的運動，與在Simulink中的響應是一樣的.以作動器輸出力作為輸入得到一系列的支腿位移和速度，從而得到并聯機器人動力學模型在SimMechanics中的升沉方向的運動，其與在Simulink中得到的運動完全一致.而且，在相同輸入的情況下，Simulink和SimMechanics中的動力學模型能夠得到相同的響應，即在升沉方向的一個變頻率信號.因此，采用凱恩方法在Simulink中建立的動力學模型用SimMechanics中的模型得到了驗證.此外，通過采用相同的控制系統，2個動力學模型的正確性也得到了相互驗證.采用相同的方法，可通過對比考慮和不考慮支腿兩種情況的結果分析支腿對并聯機器人動力學的影響.

4 結束語

采用2種不同的計算機輔助方法深入研究了空間六自由度并聯機器人的動力學建模問題.為了簡化分析和得到并聯機器人的顯式動力學方程而定義了坐標系.基于定義的坐標系，采用凱恩方法得到了一個比較清晰的六自由度并聯機器人單剛體動力學方程.按照動力學方程，應用Simulink的矩陣和向量運算來求解方程和他們的系數矩陣，包括變換、反解、LU分解和歸一化.另一方面，按照物理關系應用SimMechanics建立六自由度并聯機器人的動力學方程.在相同的經典PID控制系統以同樣的條件執行這兩種以不同方法建立的計算機模型，從而通過對比結果印證了應用凱恩方法在Simulink環境中的動力學模型的有效性和正確性.而且，基于給出的2種計算機輔助建模方法也可以建立驅動支腿動力學模型，從而建立考慮驅動支腿影響的空間六自由度并聯機器人多剛體動力學模型，并可對多剛體動力學模型進行充分的分析和驗證.此外，在計算機中采用給出的計算機輔助建模方法也可對其他類型的機械系統進行建模與分析.

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