非圓信號的四階累積量測向新方法

刁鳴，安春蓮，萬文龍

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在空間譜估計中，當入射信號為非圓信號時，陣列接收數據的橢圓協方差矩陣非零，因此在接收端可以同時對陣列的接收數據協方差矩陣和橢圓協方差矩陣進行處理，從而達到提高估計性能和擴展陣列孔徑的目的.常見非圓信號有AM信號、MSK信號以及BPSK信號等，其在通信當中有廣泛的應用，從而使得對非圓信號的DOA估計［1-4］具有現實意義.

現有的非圓信號測向方法主要基于MUSIC算法、ESPRIT算法和高階累積量進行DOA估計.文獻［5-6］研究了非圓信號測向的克拉美羅界，證明了非圓信號在DOA估計當中具有優勢;文獻［7-10］討論了非圓信號的MUSIC算法和MUSIC-Like算法的估計性能和統計特性并說明了非圓信號測向算法的優良性能;文獻［1］采用共軛 MUSIC算法進行DOA估計，能夠擴展陣列孔徑并且估計性能有所提高，但是陣列擴展能力較弱;文獻［11］采用實數ES-PRIT算法測向，算法計算量小，但是會損失陣元;文獻［12-15］采用高階累積量進行估計，使得陣列擴展能力更強，但是擴展仍然不充分或者累積量矩陣當中存在較大的冗余數據，計算量較大.

在文獻［13］的基礎上，文章提出了一種基于四階累積量的非圓信號測向新方法.該方法通過巧妙地構造累積量矩陣，使得陣列在四階累積量的處理條件下得到了充分擴展，進一步提高了測向方法的陣列擴展能力，從而提高了測向方法的分辨率;同時，通過利用累積量矩陣之間的關系，避免了四階累積量矩陣的重復計算，降低了算法的計算復雜度.最后，將本文提出的方法和MUSIC-Like方法以及文獻［13］的 FO-EMUSIC方法進行實驗仿真比較.

1 信號模型及陣列模型

1.1 非圓信號

對于一個信號s，當其滿足 E［s］=0，且E［ss*］≠0時，稱 s為圓信號;其他條件不變，當E［ss］≠0時，稱s為非圓信號.非圓信號的非圓特性由非圓率ρ和非圓相位φ確定，其中ρ∈(0，1］，φ∈［0，2π)，本文只討論ρ=1的情況，常見的BPSK信號.

在對陣列接收信號進行處理時，利用非圓信號E［ss］≠0這一特點，可以提高算法的估計精度和性能.非圓率為1的非圓信號可以由實信號經過移相得到，即

其中，φ為s的非圓相位，s0為一個實信號.

1.2 陣列模型

假設N個波長為λ的窄帶遠場獨立非圓信號si(t)(i=1，…，N)分別從角度 θi(θi?［0，π］)入射到M元均勻線陣，陣元間距為λ/2.當陣列輸出噪聲均值為0、方差為加性高斯白噪聲時，則在第t個快拍時刻陣列接收信號為

其中:

式中:xi(t)和ni(t)分別表示第t個快拍時刻第i個陣元上的接收數據和噪聲數據;φi為第i個信號的非圓相位，S0(t)為實信號;A為陣列導向矢量矩陣，且 ui=e－j2πdcosθi/λ，d= λ/2.

2 新方法測向原理

2.1 MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法

為了書寫方便，在下文中不引起混淆的地方將表達式中的時間t去掉.利用四階累積量陣列擴展特性的MUSIC-Like方法可以通過構造接收數據矩陣R1實現，其第(k1－1)M+k2行、第(k3－1)M+k4列的元素為 cum(xk1，，，xk4)，其中，cum(·)表示求·的四階累積量，k1、k2、k3、k4?{1，2，…，M}，則

其中，ξi=cum(s0i，，，s0i)為正實數.顯然，矩陣R1是一個M2×M2維的矩陣，但是其實際擴展后的等效陣元數目為2M－1，因此矩陣R1中有大量的冗余數據，使得算法的計算復雜度大大增加.

利用四階累積量性質和非圓特性的FO-EMUSIC方法所構造的四階累積量矩陣為

其中，R2和R3第(k1－1)M+k2行、第(k3－1)M+k列的元素分別可以表示為 cum(x，，xk3，xk4)，cum(，，xk3，xk4)，則

顯然，矩陣R0是一個2M2×M2的矩陣，對于均勻線陣，經過去冗余處理過后R0可降維到4M×4M，其擴展后的陣元數為3M－2.FO-EMUSIC方法相對于MUSIC-Like方法進一步提高了陣列擴展能力并降低了算法的計算量，但其陣列擴展性能并沒有得到充分的發揮，并且計算量可以進一步的降低.

2.2 非圓測向新方法

在上述2種方法的基礎上，為了減少四階累積量矩陣中的冗余數據并充分擴展陣列孔徑，提出了一種陣列擴展能力更強、計算量更小的非圓信號四階累積量測向方法.所提方法充分利用均勻線陣列的數據結構特點和信號的非圓特性直接構造維數較低的數據協方差矩陣.為了后續公式表示方便，記a0i=［1］T，B1=［b1(θ1)b1(θ2)…b1(θN)］，B2=，其中

構造累積量矩陣Rn1和Rn2，其第(k1－1)M+k2行、第(k3－1)M+k4列的元素取值分別可以表示為cum ()和 cum()，其中k1，k3?{1，2}，k2，k4?{1，2，…，M}.當 k1和 k3取值為1時，xk1和xk2取值為x1;當 k1和k3取值為2時，xk1和xk2取值為xM.則:

由于矩陣C為實對角陣，且B2=，有=構造所提方法的四階累積量矩陣如下:

對R進行奇異值分解:

式中:UN為由小特征值對應的特征矢量所構成的噪聲子空間，且.由于陣列流型矩陣與信號子空間張成同一空間，根據信號子空間與噪聲子空間的正交性可得

當式(11)取負號時，式(10)的值取最小，則本文所提方法的空間譜函數可以表示為

本文提出方法步驟如下:

1)由陣列接收信號求出2個累積量矩陣Rn1和Rn2，并按照公式(8)構造數據矩陣R;

2)對R進行奇異值分解，得到小特征值對應的噪聲子空間，進而得到UN1和UN2;

3)根據式(12)采用MUSIC算法進行譜峰搜索，空間譜曲線中極小值點對應的位置即信號的波達方向估計.

2.3 計算量分析

由文獻［13］知，計算一個四階累積量需要9L次復乘運算，其中L表示快拍數，奇異值分解的計算量約為O()，其中M0表示所構造的累積量數據矩陣的維數.由此可知，MISIC-Like方法的計算量為9M4L+O(M6)，去冗余的FO-EMUSIC方法的計算量為108M2L+O(64M3).

由式(7)可知，Rn1=，因此在計算Rn1時可以只計算其上三角矩陣中的累積量，然后根據共軛對稱性即可獲得其下三角矩陣位置處的累積量值;此外，Rn1和Rn2中第M行和第M+1行相同，存在冗余，因而計算一行即可，從而可以進一步降低計算量.綜上所述，本文所提出的測向方法的計算量為54M2L－9(2M－1)L+O(64M3).為了精確地估計出四階累積量的值，通常L取值很大，有L?M，因而文中所提的方法在計算量上近似為文獻［13］中FOEMUSIC方法的一半.

3 計算機仿真及結果分析

為了驗證本文提出方法的有效性，將本文方法與MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法進行實驗仿真并給出實驗結果.實驗仿真中采用的非圓信號為BPSK信號，采用陣元數為3的均勻線陣，當所估計角度與真實角度差的絕對值小于1°時，認為估計成功.均方根誤差的計算采用

仿真1 取快拍數為2 000，信噪比為20 dB，8個遠場窄帶獨立非圓信號，非圓相位均為0，分別從角度 25°、55°、65°、80°、100°、120°、140°、160°入射到三陣元的均勻線陣上.圖1為本文所提方法進行10次DOA估計的空間譜曲線.

從圖1可以看出，本文所提出的方法能夠有效的對陣列孔徑進行擴展，陣列擴展后的等效陣元個數為9，最多可以估計8個信號，而在相同條件下，文獻［13］中的FO-EMUSIC方法最多只能估計6個信號.可見本文所提方法具有更好的陣列擴展能力.

圖1 本文方法空間譜估計曲線Fig.1 Spectrum of the proposed method

仿真2 2個遠場窄帶獨立非圓信號分別從86°和94°入射到3陣元的均勻線陣.取快拍數為2 000，進行500次獨立實驗，對本文方法、MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法在不同信噪比時的估計性能進行仿真比較，得到3種方法的估計均方根誤差和估計成功概率隨信噪比變化的曲線如圖2所示.

圖2 估計性能隨信噪比變化曲線Fig.2 Performance of estimation via SNR

在小信噪比時，由于MUSIC-Like方法和 FOEMUSIC方法有時只能搜索出一個信號，此時認為估計失敗，按搜索的兩個角度一樣來計算估計均方根誤差.從圖2中可以看出，本文提出的方法在小信噪比時具有更小的估計均方根誤差和更高的估計成功概率.由于該方法具有更好的陣列擴展能力，擴展后的等效陣元數更大，因此其估計性能優于MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法，且較為有效地改善了測向方法在小信噪比時的估計性能.

仿真3 2個遠場窄帶獨立非圓信號，其入射角度分別為 60°和(60+ α)°.取快拍數為 2 000，信噪比為10 dB，進行500次獨立實驗，將本文方法、MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法在不同α時的估計性能進行仿真比較，得到3種方法的分辨力性能比較曲線如圖3所示.

圖3 3種方法的分辨能力比較Fig.3 Resolution of the three methods

在信號角度間隔較小時，由于3種方法有時只能搜索出一個信號，此時認為估計失敗，按搜索的2個角度一樣來計算估計均方根誤差.從圖3可以看出，本文提出的方法相對具有更高的估計成功概率和更小的估計均方根誤差.由于本文方法擴展陣列后的等效陣元數較大，在其他條件相同的情況下，其分辨能力明顯優于MUSIC-Like方法和FOEMUSIC方法.

4 結束語

本文提出了一種非圓信號的四階累積量測向新方法，該方法充分利用陣列的結構特性和信號的非圓特性實現了陣列孔徑的充分擴展，使得其陣列擴展性能優于FO-EMUSIC方法.在陣元個數相同的條件下，本文方法可以估計更多的信號個數，而且具有更好的估計性能.此外，通過利用累積量矩陣的結構特點，巧妙的降低了計算量，使所提方法在計算復雜度上相對其他基于四階累積量的測向方法大大降低.理論分析和實驗仿真驗證了該方法具有計算量小，估計性能優良以及分辨力高等優良性能.

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