非圓信號(hào)的四階累積量測(cè)向新方法

刁鳴，安春蓮，萬文龍

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

在空間譜估計(jì)中，當(dāng)入射信號(hào)為非圓信號(hào)時(shí)，陣列接收數(shù)據(jù)的橢圓協(xié)方差矩陣非零，因此在接收端可以同時(shí)對(duì)陣列的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣和橢圓協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，從而達(dá)到提高估計(jì)性能和擴(kuò)展陣列孔徑的目的.常見非圓信號(hào)有AM信號(hào)、MSK信號(hào)以及BPSK信號(hào)等，其在通信當(dāng)中有廣泛的應(yīng)用，從而使得對(duì)非圓信號(hào)的DOA估計(jì)［1-4］具有現(xiàn)實(shí)意義.

現(xiàn)有的非圓信號(hào)測(cè)向方法主要基于MUSIC算法、ESPRIT算法和高階累積量進(jìn)行DOA估計(jì).文獻(xiàn)［5-6］研究了非圓信號(hào)測(cè)向的克拉美羅界，證明了非圓信號(hào)在DOA估計(jì)當(dāng)中具有優(yōu)勢(shì);文獻(xiàn)［7-10］討論了非圓信號(hào)的MUSIC算法和MUSIC-Like算法的估計(jì)性能和統(tǒng)計(jì)特性并說明了非圓信號(hào)測(cè)向算法的優(yōu)良性能;文獻(xiàn)［1］采用共軛 MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)，能夠擴(kuò)展陣列孔徑并且估計(jì)性能有所提高，但是陣列擴(kuò)展能力較弱;文獻(xiàn)［11］采用實(shí)數(shù)ES-PRIT算法測(cè)向，算法計(jì)算量小，但是會(huì)損失陣元;文獻(xiàn)［12-15］采用高階累積量進(jìn)行估計(jì)，使得陣列擴(kuò)展能力更強(qiáng)，但是擴(kuò)展仍然不充分或者累積量矩陣當(dāng)中存在較大的冗余數(shù)據(jù)，計(jì)算量較大.

在文獻(xiàn)［13］的基礎(chǔ)上，文章提出了一種基于四階累積量的非圓信號(hào)測(cè)向新方法.該方法通過巧妙地構(gòu)造累積量矩陣，使得陣列在四階累積量的處理?xiàng)l件下得到了充分?jǐn)U展，進(jìn)一步提高了測(cè)向方法的陣列擴(kuò)展能力，從而提高了測(cè)向方法的分辨率;同時(shí)，通過利用累積量矩陣之間的關(guān)系，避免了四階累積量矩陣的重復(fù)計(jì)算，降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度.最后，將本文提出的方法和MUSIC-Like方法以及文獻(xiàn)［13］的 FO-EMUSIC方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真比較.

1 信號(hào)模型及陣列模型

1.1 非圓信號(hào)

對(duì)于一個(gè)信號(hào)s，當(dāng)其滿足 E［s］=0，且E［ss*］≠0時(shí)，稱 s為圓信號(hào);其他條件不變，當(dāng)E［ss］≠0時(shí)，稱s為非圓信號(hào).非圓信號(hào)的非圓特性由非圓率ρ和非圓相位φ確定，其中ρ∈(0，1］，φ∈［0，2π)，本文只討論ρ=1的情況，常見的BPSK信號(hào).

在對(duì)陣列接收信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，利用非圓信號(hào)E［ss］≠0這一特點(diǎn)，可以提高算法的估計(jì)精度和性能.非圓率為1的非圓信號(hào)可以由實(shí)信號(hào)經(jīng)過移相得到，即

其中，φ為s的非圓相位，s0為一個(gè)實(shí)信號(hào).

1.2 陣列模型

假設(shè)N個(gè)波長(zhǎng)為λ的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)獨(dú)立非圓信號(hào)si(t)(i=1，…，N)分別從角度 θi(θi?［0，π］)入射到M元均勻線陣，陣元間距為λ/2.當(dāng)陣列輸出噪聲均值為0、方差為加性高斯白噪聲時(shí)，則在第t個(gè)快拍時(shí)刻陣列接收信號(hào)為

其中:

式中:xi(t)和ni(t)分別表示第t個(gè)快拍時(shí)刻第i個(gè)陣元上的接收數(shù)據(jù)和噪聲數(shù)據(jù);φi為第i個(gè)信號(hào)的非圓相位，S0(t)為實(shí)信號(hào);A為陣列導(dǎo)向矢量矩陣，且 ui=e－j2πdcosθi/λ，d= λ/2.

2 新方法測(cè)向原理

2.1 MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法

為了書寫方便，在下文中不引起混淆的地方將表達(dá)式中的時(shí)間t去掉.利用四階累積量陣列擴(kuò)展特性的MUSIC-Like方法可以通過構(gòu)造接收數(shù)據(jù)矩陣R1實(shí)現(xiàn)，其第(k1－1)M+k2行、第(k3－1)M+k4列的元素為 cum(xk1，，，xk4)，其中，cum(·)表示求·的四階累積量，k1、k2、k3、k4?{1，2，…，M}，則

其中，ξi=cum(s0i，，，s0i)為正實(shí)數(shù).顯然，矩陣R1是一個(gè)M2×M2維的矩陣，但是其實(shí)際擴(kuò)展后的等效陣元數(shù)目為2M－1，因此矩陣R1中有大量的冗余數(shù)據(jù)，使得算法的計(jì)算復(fù)雜度大大增加.

利用四階累積量性質(zhì)和非圓特性的FO-EMUSIC方法所構(gòu)造的四階累積量矩陣為

其中，R2和R3第(k1－1)M+k2行、第(k3－1)M+k列的元素分別可以表示為 cum(x，，xk3，xk4)，cum(，，xk3，xk4)，則

顯然，矩陣R0是一個(gè)2M2×M2的矩陣，對(duì)于均勻線陣，經(jīng)過去冗余處理過后R0可降維到4M×4M，其擴(kuò)展后的陣元數(shù)為3M－2.FO-EMUSIC方法相對(duì)于MUSIC-Like方法進(jìn)一步提高了陣列擴(kuò)展能力并降低了算法的計(jì)算量，但其陣列擴(kuò)展性能并沒有得到充分的發(fā)揮，并且計(jì)算量可以進(jìn)一步的降低.

2.2 非圓測(cè)向新方法

在上述2種方法的基礎(chǔ)上，為了減少四階累積量矩陣中的冗余數(shù)據(jù)并充分?jǐn)U展陣列孔徑，提出了一種陣列擴(kuò)展能力更強(qiáng)、計(jì)算量更小的非圓信號(hào)四階累積量測(cè)向方法.所提方法充分利用均勻線陣列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和信號(hào)的非圓特性直接構(gòu)造維數(shù)較低的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣.為了后續(xù)公式表示方便，記a0i=［1］T，B1=［b1(θ1)b1(θ2)…b1(θN)］，B2=，其中

構(gòu)造累積量矩陣Rn1和Rn2，其第(k1－1)M+k2行、第(k3－1)M+k4列的元素取值分別可以表示為cum ()和 cum()，其中k1，k3?{1，2}，k2，k4?{1，2，…，M}.當(dāng) k1和 k3取值為1時(shí)，xk1和xk2取值為x1;當(dāng) k1和k3取值為2時(shí)，xk1和xk2取值為xM.則:

由于矩陣C為實(shí)對(duì)角陣，且B2=，有=構(gòu)造所提方法的四階累積量矩陣如下:

對(duì)R進(jìn)行奇異值分解:

式中:UN為由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量所構(gòu)成的噪聲子空間，且.由于陣列流型矩陣與信號(hào)子空間張成同一空間，根據(jù)信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性可得

當(dāng)式(11)取負(fù)號(hào)時(shí)，式(10)的值取最小，則本文所提方法的空間譜函數(shù)可以表示為

本文提出方法步驟如下:

1)由陣列接收信號(hào)求出2個(gè)累積量矩陣Rn1和Rn2，并按照公式(8)構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣R;

2)對(duì)R進(jìn)行奇異值分解，得到小特征值對(duì)應(yīng)的噪聲子空間，進(jìn)而得到UN1和UN2;

3)根據(jù)式(12)采用MUSIC算法進(jìn)行譜峰搜索，空間譜曲線中極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置即信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì).

2.3 計(jì)算量分析

由文獻(xiàn)［13］知，計(jì)算一個(gè)四階累積量需要9L次復(fù)乘運(yùn)算，其中L表示快拍數(shù)，奇異值分解的計(jì)算量約為O()，其中M0表示所構(gòu)造的累積量數(shù)據(jù)矩陣的維數(shù).由此可知，MISIC-Like方法的計(jì)算量為9M4L+O(M6)，去冗余的FO-EMUSIC方法的計(jì)算量為108M2L+O(64M3).

由式(7)可知，Rn1=，因此在計(jì)算Rn1時(shí)可以只計(jì)算其上三角矩陣中的累積量，然后根據(jù)共軛對(duì)稱性即可獲得其下三角矩陣位置處的累積量值;此外，Rn1和Rn2中第M行和第M+1行相同，存在冗余，因而計(jì)算一行即可，從而可以進(jìn)一步降低計(jì)算量.綜上所述，本文所提出的測(cè)向方法的計(jì)算量為54M2L－9(2M－1)L+O(64M3).為了精確地估計(jì)出四階累積量的值，通常L取值很大，有L?M，因而文中所提的方法在計(jì)算量上近似為文獻(xiàn)［13］中FOEMUSIC方法的一半.

3 計(jì)算機(jī)仿真及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出方法的有效性，將本文方法與MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真并給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)仿真中采用的非圓信號(hào)為BPSK信號(hào)，采用陣元數(shù)為3的均勻線陣，當(dāng)所估計(jì)角度與真實(shí)角度差的絕對(duì)值小于1°時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功.均方根誤差的計(jì)算采用

仿真1 取快拍數(shù)為2 000，信噪比為20 dB，8個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶獨(dú)立非圓信號(hào)，非圓相位均為0，分別從角度 25°、55°、65°、80°、100°、120°、140°、160°入射到三陣元的均勻線陣上.圖1為本文所提方法進(jìn)行10次DOA估計(jì)的空間譜曲線.

從圖1可以看出，本文所提出的方法能夠有效的對(duì)陣列孔徑進(jìn)行擴(kuò)展，陣列擴(kuò)展后的等效陣元個(gè)數(shù)為9，最多可以估計(jì)8個(gè)信號(hào)，而在相同條件下，文獻(xiàn)［13］中的FO-EMUSIC方法最多只能估計(jì)6個(gè)信號(hào).可見本文所提方法具有更好的陣列擴(kuò)展能力.

圖1 本文方法空間譜估計(jì)曲線Fig.1 Spectrum of the proposed method

仿真2 2個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶獨(dú)立非圓信號(hào)分別從86°和94°入射到3陣元的均勻線陣.取快拍數(shù)為2 000，進(jìn)行500次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文方法、MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法在不同信噪比時(shí)的估計(jì)性能進(jìn)行仿真比較，得到3種方法的估計(jì)均方根誤差和估計(jì)成功概率隨信噪比變化的曲線如圖2所示.

圖2 估計(jì)性能隨信噪比變化曲線Fig.2 Performance of estimation via SNR

在小信噪比時(shí)，由于MUSIC-Like方法和 FOEMUSIC方法有時(shí)只能搜索出一個(gè)信號(hào)，此時(shí)認(rèn)為估計(jì)失敗，按搜索的兩個(gè)角度一樣來計(jì)算估計(jì)均方根誤差.從圖2中可以看出，本文提出的方法在小信噪比時(shí)具有更小的估計(jì)均方根誤差和更高的估計(jì)成功概率.由于該方法具有更好的陣列擴(kuò)展能力，擴(kuò)展后的等效陣元數(shù)更大，因此其估計(jì)性能優(yōu)于MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法，且較為有效地改善了測(cè)向方法在小信噪比時(shí)的估計(jì)性能.

仿真3 2個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶獨(dú)立非圓信號(hào)，其入射角度分別為 60°和(60+ α)°.取快拍數(shù)為 2 000，信噪比為10 dB，進(jìn)行500次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，將本文方法、MUSIC-Like方法和FO-EMUSIC方法在不同α?xí)r的估計(jì)性能進(jìn)行仿真比較，得到3種方法的分辨力性能比較曲線如圖3所示.

圖3 3種方法的分辨能力比較Fig.3 Resolution of the three methods

在信號(hào)角度間隔較小時(shí)，由于3種方法有時(shí)只能搜索出一個(gè)信號(hào)，此時(shí)認(rèn)為估計(jì)失敗，按搜索的2個(gè)角度一樣來計(jì)算估計(jì)均方根誤差.從圖3可以看出，本文提出的方法相對(duì)具有更高的估計(jì)成功概率和更小的估計(jì)均方根誤差.由于本文方法擴(kuò)展陣列后的等效陣元數(shù)較大，在其他條件相同的情況下，其分辨能力明顯優(yōu)于MUSIC-Like方法和FOEMUSIC方法.

4 結(jié)束語

本文提出了一種非圓信號(hào)的四階累積量測(cè)向新方法，該方法充分利用陣列的結(jié)構(gòu)特性和信號(hào)的非圓特性實(shí)現(xiàn)了陣列孔徑的充分?jǐn)U展，使得其陣列擴(kuò)展性能優(yōu)于FO-EMUSIC方法.在陣元個(gè)數(shù)相同的條件下，本文方法可以估計(jì)更多的信號(hào)個(gè)數(shù)，而且具有更好的估計(jì)性能.此外，通過利用累積量矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，巧妙的降低了計(jì)算量，使所提方法在計(jì)算復(fù)雜度上相對(duì)其他基于四階累積量的測(cè)向方法大大降低.理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了該方法具有計(jì)算量小，估計(jì)性能優(yōu)良以及分辨力高等優(yōu)良性能.

［1］SALAMEH A，TAYEM N.Conjugate music for non-circular sources［C］//Proceeding of the 2006 IEEE International Conference on Acoustic，Speech and Signal Processing.Toulouse，F(xiàn)rance，2006.

［2］CHEN Y H，LIN Y S.Forth-order cumulant matrices for DOA estimation［J］.IEE Proc on Radar，Sonar and Navigation，1994，141(3):144-148.

［3］GAO Feifei，NALLANATHAN A，WANG Yide.Improved MUSIC under the coexistence of both circular and noncircular sources［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2008，56(7):3033-3038.

［4］SALAMEH A，TAYEM N.Angle of arrival estimation for non-circular signals［C］//2006 IEEE Sarnoff Symposium，Princeton，USA，2006.

［5］DELMAS J，ABEIDA H.Stochastic Crame＇r-Rao bound for noncircular signals with application to DOA estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing， 2004， 52(11):3192-3199.

［6］ABEIDA H，DELMAS J.Gaussian Cramer-Rao bound for direction estimation of noncircular signals in unknown noise fields［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2005，53(12):4610-4618.

［7］DELMAS J.Asymptotically minimum variance second-order estimation for noncircular signals with application to DOA estimation［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2004，52(5):1235-1241.

［8］HUANG Z T，LIU Z M，LIU J.Performance analysis of MUSIC for non-circular signals in the presence of mutual coupling［J］.IEEE Trans on Radar，Sonar ＆ Navigation，2010，4(5):703-711.

［9］ABEIDA H，DELMAS J.MUSIC-like estimation of direction of arrival for noncircular sources［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2006，54(7):2678-2690.

［10］ABEIDA H，DELMAS J.Statistical performance of MUSIC-like algorithms in resolving noncircular sources［J］.IEEE Trans on Signal Processing， 2008， 56(9):4317-4329.

［11］鄭春弟，馮大政，周祎，等.基于非圓信號(hào)的實(shí)值ESPRIT算法［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2008，30(1):130-133.ZHENG Chundi，F(xiàn)ENG Dazheng，ZHOU Yi，et al.A real-value algorithm of ESPRIT via exploitation of non-circular sources property［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2008，30(1):130-133.

［12］LIU Jian，HUANG Zhitao，ZHOU Yiyu.A direction finding algorithm for noncircular signals based on higher－order cumulants［C］//2007 International Conference on Wireless Communications，Network and Mobile Computing.Changsha，China，2007.

［13］劉劍，黃知濤，周一宇.基于四階累積量的非圓信號(hào)測(cè)向方法［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2008，30(4):876-880.LIU Jian，HUANG Zhitao，ZHOU Yiyu.A new forth-order direction finding algorithm for noncircular signals［J］.Journal of Electronics＆ Information Technology，2008，30(4):876-880.

［14］劉劍，于紅旗，黃知濤，等.基于偶數(shù)階累積量的非圓信號(hào)測(cè)向方法［J］.電子學(xué)報(bào)，2007，35(12):2371-2375.LIU Jian，YU Hongqi，HUANG Zhitao，et al.Direction finding algorithms for noncircular signals based on even order cumulants［J］.Acta Electronica Sinica，2007，35(12):2371-2375.

［15］DIAO Ming，CHEN Chao，YANG Lili.Propagator method for direction of arrival estimation based on an array extension of the fourth － order cumulant［J］.Journal of Harbin Engineering University，2010，31(5):652-656.