捕食模型反應擴散方程組的有限差分法

周 麗

（安徽農業大學理學院，安徽合肥 230031）

0 引 言

在文獻［1］中，作者討論了捕食模型的反應擴散方程組：的解的動力學性質。

文獻［2-3］分別對三級食物鏈反應擴散模型和具有有限時滯的種群擴散方程進行了定性分析，由于生物學中大多數現實模型都是非線性而無法求解析解的，因此，數值求解對研究解的性態就顯得尤為重要。有限差分法和有限元法被廣泛用于求這類問題的數值解，文獻［4］對反應擴散方程構造了交替差分格式，并證明了格式的無條件穩定性，文獻［5］對非線性反應擴散方程組建立了二階收斂的三層線性化差分格式，文獻［6］對反應擴散方程組的Stefan問題建立了二階收斂的兩層線差分格式，文獻［7］對λ－ω型的反應擴散方程組利用有限元法求得了近似解。文中給出方程組（1）～方程組（4）的一個二層線性化差分格式，并給出解的存在唯一性、收斂性和無條件穩定性的證明。

文中假設：方程組（1）～方程組（4）存在唯一解（u，v）∈C4，3（ΩT），且存在常數C0＞0，使得u，v及其導數以C0為界。

以下記

則由上述假設可知存在常數C1，使得當｜u｜，｜v｜≤C0＋1時，f（u，v），g（u，v）及其二階導數以C1為界。

1 差分格式的建立

取正整數m，n，記

定義Ωhτ上的網格函數

由Taylor展開可得

且存在常數CR使得

同理，由方程（2）得

且存在常數~CR使得

2 差分格式的可解性收斂性和穩定性

記Vh＝｛ω｜ω＝｛ωi，0≤i≤m｝為Ωh上的網格函數，且ω0＝ωn＝0｝。設ω∈Vh，記

引理1［8］設v，ω∈Vh，則有

定理1 1）當h，τ適當小時，差分格式（8）～（11）存在唯一解。2）設｛u（xi，tk），v（xi，tk）｜0≤i≤m，0≤k≤n｝是問題（1）～（4）的解，｛（uki，vki）｜0≤i≤m，0≤k≤n｝是差分格式（8）～（11）的解。記

則當h，τ充分小時，有

其中

證明 差分格式（8）～（11）的誤差方程如下：

下面用歸納法證明差分格式（8）～（11）是唯一可解的，且式（12）成立。

當k＝0時，由式（11）知

因此，u0，v0唯一確定。

由式（16）知

因而結論對k＝0成立。

現假設當0≤k≤l時差分格式（8）～（11）唯一確定出uk，vk，且式（12）對0≤k≤l成立。于是當h，τ適當小時

下面證明估計式（12）對k＝l＋1也成立。

由

知

由

知

同理

將式（17）～式（19）代入式（20），并應用引理可得

將式（21）除以d1，式（22）除以d2，并將所得結果相加，再應用引理得到

即

因而

應用引理，易得

即式（12）對k＝l＋1成立，由歸納假設法，命題得證。

現在討論差分方程（8）～方程（11）關于初值的穩定性。

記

將式（23）～式（26）分別和式（8）～式（11）相減得：

類似于定理1的討論，可得下面穩定性的結論。

定理2 當h，τ充分小時，存在常數C，有

3 結 語

對生物學中提出的一類半線性拋物方程組建立了一個兩層線性化差分格式。證明了所構造的差分格式是唯一可解的、收斂的，且是穩定的。

［1］ 郁莉莉.一個捕食模型的的反應擴散方程組解的動力學性質［J］.淮海工學院學報：自然科學版，2010， 19（2）：1-3.

［2］ 陳文彥，王明新.一個與比值有關的三級食物鏈反應擴散模型的定性分析［J］.江蘇大學學報：自然科學版，2004，25（2）：137-140.

［3］ 王健，岳錫亭，王雪.具有時滯種群發展方程的穩定性區域判定［J］.長春工業大學學報：自然科學版，2011，32（5）：489-493.

［4］ Yuan Guang-wei，Shen Long－jun，Zhou Yu-lin. Unconditional stablility of parallel alternating difference schemes for semilinear parabolic systems［J］.Appl.Math.Comput.，2001，117：267-283.

［5］ Zhang Ling-Yun，Sun Zhi-Zhong.A second-order linearized difference scheme on nonuiform meshes for nonlinear parabolic systems with Dirichlet boundary value conditions［J］.Numer Meth.Partial Differential Eqs.，2003，19：638-652.

［6］ Khaled Omrani.On the numerical approach of the enthalpy method for the stefan problem［J］.Numer Methods Partial Differential Eq，2004，20：527-548.

［7］ James F Blowey，Marcus R Garvie.A reaction-diffusion system ofλ－ωtype Part I：Mathematical analysis［J］.Applied Mathematics，2005，15：1-19.

［8］ 孫志忠.偏微分方程數值解［M］.北京：科學出版社，2004：8-9.