波動數(shù)值模擬人工邊界的穩(wěn)定問題

謝志南

（中國地震局工程力學研究所，哈爾濱150080）

波動數(shù)值模擬人工邊界的穩(wěn)定問題

謝志南

（中國地震局工程力學研究所，哈爾濱150080）

波動數(shù)值模擬是力學、地球物理和多個工程學科共同關注的領域，研究者在基礎和應用研究方面皆取得了豐碩成果。然而，由邊界引入局部失穩(wěn)問題，即使在線性范圍亦尚未徹底解決。這里“邊界”泛指人工邊界、物理邊界或不同介質(zhì)的分界面。本文從波動數(shù)值模擬穩(wěn)定性分析方法著手展開對局部失穩(wěn)形成機理和消除方法的研究。

（1）從指導波動數(shù)值模擬穩(wěn)定性分析的Lax等價定理出發(fā)，依據(jù)數(shù)值解收斂方式的不同將定理中的穩(wěn)定條件區(qū)分為強條件和弱條件，進而將穩(wěn)定性分析方法歸納為強穩(wěn)定分析和弱穩(wěn)定分析。對前者著重闡明了其對分析邊界引入局部失穩(wěn)現(xiàn)象的重要性；對后者則闡明其與有限元方法相結(jié)合應用于構(gòu)建波動數(shù)值模擬穩(wěn)定實現(xiàn)方案的價值。

（2）針對完美匹配層應用于正交各向異性介質(zhì)波動數(shù)值模擬中存在的數(shù)值失穩(wěn)問題，基于一階連續(xù)形式透射邊界與有限元方法給出了穩(wěn)定的數(shù)值模擬實現(xiàn)方案，并采用弱穩(wěn)定分析初步論證了該方案的穩(wěn)定性。

（3）應用強穩(wěn)定分析研究了透射邊界引發(fā)局部失穩(wěn)現(xiàn)象的機理及其消除方法。首先完善了基于一維有限模型得到的透射邊界高頻振蕩失穩(wěn)機理。然后從半無限模型出發(fā)闡明了透射邊界與鄰近內(nèi)節(jié)點運動方程所激發(fā)的高頻局部失穩(wěn)現(xiàn)象的機理，建議了一種有效的消除高頻局部失穩(wěn)方法。最后討論了透射邊界的零頻漂移失穩(wěn)機理，并用解析方法解釋了數(shù)值實驗中觀察到的零頻飄移失穩(wěn)現(xiàn)象。

（4）針對成層介質(zhì)中標量波動的數(shù)值模擬，基于波速有限原理和波動方程柯西問題的解導出了界面點在一個短時間窗內(nèi)的精確解，由此給出具有高階精度的界面節(jié)點顯式遞推公式的一種構(gòu)建方法，并以構(gòu)造彈性桿界面節(jié)點的遞推公式為例說明其要點。闡明了該遞推公式與現(xiàn)有穩(wěn)定的顯式內(nèi)節(jié)點遞推公式的精度階的一致性，后者的時間和空間精度階均為2 M（M為正整數(shù)），從而給出了界面節(jié)點與內(nèi)域節(jié)點精度階相互匹配的計算方案。并通過數(shù)值試驗檢驗了這一匹配方案的精度和穩(wěn)定性，最后基于強穩(wěn)定分析論證了其中二階精度匹配方案的穩(wěn)定性。

（5）將透射邊界合并于緊接人工邊界的內(nèi)節(jié)點運動方程給出了該邊界的一個新的實現(xiàn)方案。該方案較之原實現(xiàn)方案不僅收縮了計算區(qū)、改進了邊界的模擬精度，而且揭示了透射邊界截斷誤差階數(shù)與大區(qū)域數(shù)值解之間的關系，闡明了僅通過提高邊界精度階對改進波動數(shù)值模擬精度的局限性。

Lax定理；透射邊界；局部失穩(wěn)；強穩(wěn)定分析；弱穩(wěn)定分析

P315.31；

A；

10.3969／j.issn.0235－4975.2012.05.012

（作者電子信箱，謝志南：42009021＠qq.com）