功能梯度圓柱殼自由振動的影響因素分析

梁 斌，項 爽

(河南科技大學規劃與建筑工程學院，河南洛陽471003)

0 前言

功能梯度(FG)圓柱殼作為一種由新興材料制成的結構構件，憑借其耐高溫和良好的幾何特性等優點，逐步在航空、航天、船舶等領域得到廣泛應用，繼而推動了很多對各種圓柱殼的固有頻率及自由振動特性的研究。文獻［1］用Love的一階理論來計算旋轉FG圓柱殼的固有頻率，研究了冪指數、x和θ方向的波數、厚度－半徑比對簡支旋轉FG圓柱殼固有頻率的影響;文獻［2］用有限元分析軟件ANSYS對增強型夾層圓柱殼的自由振動進行了分析;文獻［3］研究了邊界條件對旋轉去頂錐形多層圓柱殼的自由振動的影響;文獻［4］利用Love一階理論，以梁函數為軸向模態關系，研究了邊界條件對多層圓柱殼的固有頻率的影響;文獻［5］采用Runge-Kutta法和多尺度法對軸向運動分層復合材料薄壁圓柱殼的非線性振動特性進行了研究;文獻［6］基于經典Love薄殼理論，采用Rayleigh-Ritz法分析了兩端簡支邊界條件下FG圓柱殼的自振特性，并探討了體積分數和材料組分對固有頻率的影響;文獻［7］研究了指數型體積分數對FG圓柱薄殼振動頻率的影響;文獻［8］對彈性邊界條件下圓柱殼的自由振動進行了分析;文獻［9］研究了不同邊界條件對FG圓柱殼固有頻率的影響;文獻［10］采用DQM方法分析了多種邊界條件下圓柱殼的自由振動。由于功能梯度材料參數與空間坐標相關聯、其控制方程是變系數的，直接獲得解析解在數學上有諸多困難，相關研究文獻十分有限［11］。

本文采用Love一階殼體理論，建立應變－位移、曲率－位移關系，用Rayleigh-Ritz法得出FG圓柱殼自由振動固有頻率的特征方程，研究了S-S、F-S及C-C這3種不同邊界條件下殼體的固有頻率，從體積分數、材料組分和邊界條件等因素探討對自由振動的影響。

1 FG圓柱殼自由振動的理論推導

功能梯度(FG)圓柱殼的平均半徑為R，長度為L，厚度為h，幾何外形如圖1所示。

用Rayleigh-Ritz法求FG圓柱殼的固有頻率，根據能量最小原理，得到Lagrange函數形式

FG圓柱殼的應變能表示為

圖1 FG圓柱殼模型

式中，

Aij、Bij和Dij(i，j=1，2，6)分別為殼體的拉伸剛度、耦合剛度和彎曲剛度;Qij(i，j=1，2，6)為折算剛度，

用Love一階殼體理論分別描述曲面應變(e1，e2，γ)及曲面曲率(k1，k2，τ)與位移的關系如下

不計轉動慣量，FG圓柱殼的動能表示為

式中，u、v、w分別表示x、θ、z方向的軸向、環向和徑向位移分量，

式中，N為冪率指數，其取值范圍為0≤N≤∞;彈性模量E、Poisson比μ和質量密度ρ分別取決于構成FG圓柱殼的不同材料組分。

假設位移函數u，v，w的形態形式對于空間變量x、θ及時間變量t來說是分離的，

式中，A、B、C為振動振幅;n為周向波數;ω為固有角頻率。

取Lagrange函數關于振幅A、B、C的極值，得到3個聯立方程

導出振動特征方程，用于求解固有頻率和模態

式中，αi(i=0，1，2，3)是常系數。由式(14)可得到3個固有頻率，取其中最小者為研究對象。

2 軸向形態關系及邊界條件

可以表達軸向形態關系的代數函數有很多，如梁函數、Fourier級數形式的三角函數、多項式函數等，它們都滿足殼兩端的邊界條件，本文采用的軸向形態關系為

式中，特征梁函數φ(x)［12］定義為

式中，bi(i=1，2，3，4)和λ與邊界條件有關。

圓柱殼的邊界條件可以表示為

3 算例與分析

將本文結果與已有文獻成果做對比，表1驗證了本文結果的有效性和正確性。計算頻率參數時，殼體的各項參數指標為:h/R=0.01，L/R=20，E=2.050 98×1011N/m2，μ=0.3，ρ=8 900 kg/m3，p=1，m=1。

表2給出了文中所用FG圓柱殼的組分材料參數(T=300 K)。

表1 各項同性圓柱殼兩端簡支時的頻率參數Ω=ωR ((1－μ2)ρ)/E對比分析

表1 各項同性圓柱殼兩端簡支時的頻率參數Ω=ωR ((1－μ2)ρ)/E對比分析

n文獻［1］ 本文 誤差/% 1 0.016 102 0.016 101 0.00 2 0.009 387 0.009 378 0.00 3 0.022 108 0.022 103 0.02 4 0.042 096 0.042 094 0.00 5 0.068 008 0.068 007 0.00 6 0.099 730 0.009 729 0.00 7 0.137 239 0.137 238 0.00 8 0.180 527 0.180 527 0.00 9 0.229 594 0.229 593 0.00 10 0.284 435 0.284 435 0.00

表2 材料參數表

表3給出了材料組分為不銹鋼和氧化鋯時的殼體在F-S邊界條件下，通過改變體積分數對FG圓柱殼固有頻率的影響。由表3可以看出:隨著體積分數的不斷增大，FG圓柱殼的固有頻率也逐漸增大;但體積分數從0.5變化到30，對殼體的固有頻率影響不顯著。

表3 不同體積分數下FG圓柱殼的固有頻率(m=1，h/R=0.002，L/R=20)

表4給出了F-S邊界條件下，6組材料分別復合時，材料組分對固有頻率的影響。由表4可以看出:在相同邊界條件下，材料組分對殼體的固有頻率影響較大;且周向波數n越大，影響越顯著;其中鋁/氧化鋯組合的固有頻率最大，鈦合金/鎳組合的固有頻率最小。

表4 不同材料組分時FG圓柱殼的固有頻率(m=1，N=1，h/R=0.002，L/R=20)

表5給出了S-S、F-S及C-C這3種不同邊界條件對固有頻率的影響，由表5可以看出:邊界條件對固有頻率的影響很大，特別是在周向波數n≤3的情況下;又以C-C邊界條件下的的固有頻率最大，S-S邊界條件下的的固有頻率最小;它們有著相似的變化規律。

表5 不同邊界條件下FG圓柱殼的固有頻率(m=1，N=1，h/R=0.002，L/R=20)

4 結論

本文通過研究不同因素對FG圓柱殼固有頻率的影響，得出如下結論:(1)體積分數、材料組分和邊界條件都對固有頻率有影響;(2)固有頻率隨體積分數的增大呈增大趨勢，但變化不顯著;(3)材料組分對固有頻率的影響較大，且周向波數n越大，影響越顯著;(4)邊界條件對固有頻率的影響很大，且主要表現在周向波數n≤3的情況下;(5)不同邊界條件下的固有頻率有著相似的變化規律，又以C-C邊界條件下的固有頻率最大，S-S邊界條件下的固有頻率最小。

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