高速公路作業區宏觀動力學交通流模擬

張 翛

（山西省交通科學研究院黃土地區公路建設與養護技術交通行業重點實驗室 太原 030006）

隨著我國高速公路的發展，養護維修工作日益繁重，將會有越來越多的養護維修作業區在高速公路上出現.而道路養護維修作業區的交通管理水平，將直接關系到施工人員和道路使用者的安全、交通效率的高低等問題［1］.

正確合理分析高速公路作業區交通流的動態特性就成為作業區交通管理、控制和誘導中的一項基本研究工作.文獻［2］探討了運動學波理論在高速公路作業區交通流分析中的應用.但是，運動學波只能用來分析穩態交通流下的激波的形成機理和傳播速度，無法解釋交通流的隨時間變化的動態行為.本文在建立高速公路作業匯合區交通流的宏觀動力學模型的基礎上數值模擬了高速公路作業區匯合交通流的動態變化行為.

1 交通流的宏觀動力學模型研究進展

由于高速公路交通流具有流動、波動、激波、壓縮和擴散等流體性質，經典的宏觀交通流模型將車輛看作流體；研究由大量車輛組成的車流集體的綜合平均行為，用平均速度u（x，t）、平均密度ρ（x，t）及速度方差θ（x，t）等宏觀量滿足的方程來描述交通流，其單個車輛的個體行為并不以顯式出現.宏觀交通流模型主要包括流體力學模型（包括運動學模型和動力學模型）和以氣體動力論為基礎的動力論模型.

交通流動力學模型包含2個方程：連續性方程反映了車輛數的守恒定律，與LWR理論完全相同；運動方程描述車輛相互作用導致速度變化的動態過程，從而代替LWR模型中的平衡速度－密度關系.文獻［2－3］描述了LWR模型，動態宏觀連續交通流模型包括Pipes模型［4］、Payne模型［5］、Papageorgiou 模型［6］、薛郁模型［7］和Jiang模型［8］.其中Jiang速度梯度模型是各項異性模型的代表，模型可以描述“時走時停”交通現象以及局部堆集效應，其模型控制方程為

式中：c0＝Δ／τ≥0，為運動車流小擾動向后的傳播速度；τ為擾動向后傳播Δ距離所需的時間；T為弛豫時間.

2 作業區匯合交通的面積可變效應

匯合交通通常由2股或2股以上車流匯合而形成，通常情況下，匯合后的車道數小于匯合前的車道數之和，所以匯合處車輛容易減速而形成交通瓶頸.從宏觀交通流的角度來看，車輛的這種匯合特性可以看作時車流對前方車道面積縮小做出的反映.從面積可變的角度，阻塞可模擬為流體管道中凈流面積的減小.

具體地說，面積可變性對車流的影響與下列因素有關.

1）與車道面積減小的程度有關 定義面積可變系數為

式中：A為上游單元的車道面積（路面寬度）；Aahead為其前一單元（下游）的車道面積（路面寬度）.上述定義表明面積可變項只對面積（寬度）收縮路段起作用.

2）與車流密度有關 一般地，假設如下交通流狀態，其中ρ和v分別為車流密度和速度；A為車道數；C為單車道通行能力.

對于多車道，當車流密度大于單車道密度時，車輛發生合流，要考慮面積改變的效應.且密度越大，對速度的削弱程度越大，阻塞越有可能發生.而當密度很小，接近單車道密度時，面積減小對車流影響不大，不必加入該項.

3）與車流速度的平方成正比 車流速度越大，阻塞越可能發生.這是一種經驗規律，也是對面積可變項作量綱分析的結果.

4）與前方車道面積（寬度）有關 同樣就面積收縮路段而言，前方車道面積小于考察單元時，引起了車流減速，前方剩余的車道面積越大，由面積收縮造成的減速影響就越小，反之，造成的減速影響越嚴重.設為A0標準退路寬度，為能通過一輛車的最小道路寬度（＜A0），為能并列通過n輛車的最小道路寬度（＜nA0），若不考慮自行車流干擾，計算時當＜Aahead＜，取Aahead＝A0；當＜Aahead＜，取Aahead＝2A0，依次類推.

這樣在面積可變效應中，既考慮了前方車道面積的影響又保持了面積可變項為加速度量綱.

綜上所述，面積變化等效力項可寫為

3 高速公路作業區宏觀動力學交通流模型

3.1 數學建模

考慮到匯合交通流的微觀相互干擾現象，本文在Jiang模型基礎上，引入車流占用面積可變項，提出一種新的各項異性的高速公路作業區宏觀動力學交通流模型.

交通流運動首先滿足車輛數目守恒定律，即連續性方程

在無匯合交織路段依然采用普通的各項異性模型，即

即沒有引入占用面積可變項的各項異性的宏觀動力學交通流模型.

在有匯合交織路段引入面積可變項式（2）.這樣，交織路段車輛流動的動量方程為

3.2 離散格式

采用有限差分方法進行數值模擬，連續性方程的離散采用適合交通流物理意義的差分格式為

動力學方程采用一階迎風格式離散，非匯合單元段的離散格式為

1）當路段密度較大時

2）當路段密度較小時

交織單元段的離散格式為

1）當路段密度較大時

2）當路段密度較小時

本文采用的平衡速度密度關系為

式中：i為單元段編號；k為時間間隔編號；Δt為仿真時間間隔；T 為松弛時間；vf和ρcr，i分別為第i單元段的自由流速度和臨界密度；a和b為平衡方程的回歸系數.

3.3 數值模擬

采用如下模擬路段，高速公路普通雙車道路段10km，前方作業區因車道關閉形成的單車道路段10km，等距分成100網格，時間步長按計算穩定性要求確定，數值模擬采用的參數為：vf＝90 km／h，雙車道臨界密度ρcr＝150veh／km，單車道臨界密度ρcr＝75veh／km，T＝5s，Δt＝10s，c0＝54km／h，a＝0.5，b＝2；交織區假設為第49和第50個單元段，采用改進的動量方程的離散格式，其他單元段采用普通路段動量方程的離散格式.

就以下2種Riemann初值條件進行數值模型，以考察交通流出現阻塞即阻塞車流得到疏導時的情況，也即考察該模型及其離散格式能否較好地處理交通激波及交通稀疏波的情況，也考察該模型能否正確模型交織區的交通擁擠現象.

式中：ρu和ρd分別指上、下游車流密度；1和2代表2種初值情況，第一種情況表示上游擁堵而下游暢通，第二種情況表示上游暢通而下游擁堵.數值模擬2種不同情況的目的在于理解匯合交通流模型是否能定性模擬不同情況下車流擁堵消散和傳播的物理特性.

初值速度條件采用平衡速度

式中：vu和vd分別指上、下游車流速度，第一種初值條件計算結果見圖1.可以看出，本文的匯合交通流模型可以產生稀疏波，而且匯合單元段也可產生高密度現象，這些都跟實際交通流特性一致.

第二種初值條件計算結果見圖2.可以看出，本文的匯合交通流模型可以產生激波，而且匯合單元段也可以產生交織引起的高密度現象，這些也是跟實際交通流特性一致的.

4 結束語

圖1 第一種初值條件下車流密度時空變化圖

圖2 第二種初值條件下車流密度時空變化圖

在深入了解交通流運動學性質及其研究進展的基礎上，得到了一種能夠更好地描速高速公路交通流特性的各項異性的交通流模型，在微觀分析高速公路作業區交通流的面積可變效應后，在普通路段的交通流模型中引入面積變化等效力項，進而提出了改進的高速公路作業區交通流模型.并給出了模型的離散格式.數值實驗表明，模型可基本反映交通流的物理特性；在描述不均勻密度在車流中的傳遞，車道數目變化對交通流的影響方面，有一定的優勢.

但是，本文僅限于初步的數值實驗模擬，用來驗證提出的高速公路作業區宏觀動力學交通流模型的物理意義的合理性，下一步研究可結合我國城市的大通特點，設計實驗，選擇測點進行實測，以標定模型中參數，使模型較好地符合于實際高速公路作業區交通控制的工程實踐.具體有以下幾個方面值得進一步研究：（1）面積變化等效力項中參數的識別；（2）匯合交通交織段長度的研究；（3）模型中其他參數的現場識別的研究，如暢行速度、阻塞密度、調節時間.

［1］張 翛，蔡曉禹，孫立軍.高速公路作業區交通流的運動學波分析［J］.公路交通科技，2007，24（3）：98－101.

［2］郭傳樂.淺談改善高速公路交通安全的有效方法［J］.山西交通科技，2011（2）：78－79.

［3］Richards P I.Shockwaves on the highway［J］.Oper.Res.，1956（4）：42－51.

［4］Pipes L A.Vehicle accelerations in the hydrodynamic theory of traffic flow［J］.Trans.Res.，1969（3）：229－234.

［5］Payne H J.A macroscopic simulation model of freeway traffic［J］.Trans.Res.Rec.，1979，77（2）：68－75.

［6］Papageorgiou M.A hierarchical control system for freeway traffic［J］.Trans.Res.，1983（17B）：251－261.

［7］薛 郁.交通流的建模、數值模擬及其臨界相變行為的研究［D］.上海：上海大學上海市應用數學與力學研究所，2002.

［8］Jiang R，Wu Q S，Zhu Z J.A new continuum model for traffic flow and numerical tests［J］.Trans.Res.，2002（36B）：405－419.