基于例題分析和解答的微分方程數(shù)值研究

田衛(wèi)章,縱珊俠

（商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 商丘 476005）

小波分析在許多科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，比如信號(hào)分析、圖像處理、理論物理、軍事電子對(duì)抗計(jì)算機(jī)識(shí)別，以及醫(yī)學(xué)成像和診斷、地震勘探數(shù)據(jù)的處理，以及大型機(jī)械故障的診斷等等。在數(shù)學(xué)上，它已廣泛應(yīng)用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解，以及控制論等等。鑒于微分方程在數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)以及多種科研計(jì)算中的價(jià)值，用小波法求解微分方程數(shù)值已引起越來越多學(xué)者的關(guān)注。

1 傳統(tǒng)微分方程數(shù)值計(jì)算弊端

在傳統(tǒng)的微分方程數(shù)值解法中，有限元法和有限差分法雖然得到了普遍應(yīng)用，但是這兩種傳統(tǒng)微分方程數(shù)值求解的方法在處理梯度較大和沖擊波等問題時(shí)，求值結(jié)果的精確性收到了限制，往往存在一定的計(jì)算誤差，這就為實(shí)際處理問題帶來了很大麻煩和困難。比如，P D E s的解既有大面積的光滑，亦有小區(qū)域的大梯度沖擊和邊界層，這種奇異性讓有限元法和有限差分法“望而卻步”。

對(duì)于這種情況，小波法的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)得十分明顯，它既有光滑性，又有局部緊支撐性質(zhì)，因此相較傳統(tǒng)的有限元法和有限差分法而言，其可良好地解決其存在的奇異性問題。比如，對(duì)于光滑區(qū)域，小波發(fā)可采用粗網(wǎng)格式，而在奇異區(qū)則采用細(xì)網(wǎng)格式，如此便節(jié)省了對(duì)整個(gè)問題進(jìn)行重新離散的步驟，極大節(jié)省了時(shí)間和計(jì)算量，極大地滿足了內(nèi)存需求，并實(shí)現(xiàn)了最大程度的計(jì)算效率。總之，利用小波法求解微分方程的本質(zhì)即將方程由原來的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到小波系下求解，充分利用方程在小波系下稀疏特性來簡(jiǎn)化計(jì)算。

2 小波法解微分方程數(shù)值的研究要點(diǎn)

小波理論的發(fā)展和應(yīng)用已經(jīng)日漸成熟，尤其在偏微分方程的求解中，已經(jīng)引起越來越多的數(shù)學(xué)專家和學(xué)者的重視，當(dāng)前，針對(duì)小波基的微分方程數(shù)值求解的研究主要體現(xiàn)以下幾方面。

（1）小波有限元法。傳統(tǒng)的有限元法是把微分方程分解稱一個(gè)等價(jià)的變分方程，然后在此基礎(chǔ)上，用R i t z.G a l e r l方法在有限為函數(shù)空間中求解變分方程的近似值，進(jìn)而選取分段連續(xù)而且局部非零的基函數(shù)。然而，如上文所述，在數(shù)值計(jì)算中，奇異性的問題往往出現(xiàn)得較為頻繁，在奇異區(qū)，解的梯度較大，而且會(huì)隨時(shí)發(fā)生突變，這就導(dǎo)致在準(zhǔn)均勻的網(wǎng)格上，解無法用分片的多項(xiàng)式進(jìn)行表示。而小波法則具有多尺度、多分辨的特性，它可以把有限元插值函數(shù)用多種基函數(shù)來表示，其構(gòu)造的小波單元亦可根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行任意的更改，比如改變分析尺度，對(duì)變化梯度小的求解域用大的分析尺度表示，將變化梯度大的求解域用小的分析尺度表示，以方便剖分和對(duì)奇異性問題的求解。

（2）小波配點(diǎn)法。所謂的小波配點(diǎn)法即是將小波函數(shù)和與之相對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)或其兩者間的組合函數(shù)作為基函數(shù)，即要有顯著的插值特性的基函數(shù)，而且其插值點(diǎn)是根據(jù)不同尺度提前設(shè)置好的。此外，鑒于小波投影系數(shù)和網(wǎng)格之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可利用閥值運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)對(duì)網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算的自適應(yīng)過程，即根據(jù)函數(shù)自身的變化特性自適應(yīng)地對(duì)空間網(wǎng)格的大小和疏密度進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而達(dá)到降低計(jì)算量、提高精確度的目的。當(dāng)前，此種方法已經(jīng)被很多學(xué)者和專家用來求解偏微分方程數(shù)值解。比如董曉紅等人選擇S h a n n o n尺度函數(shù)為基函數(shù)，利用小波配點(diǎn)法對(duì)空間域進(jìn)行離散，建立起對(duì)時(shí)間的常微分方程組，然后再進(jìn)行求解，有效簡(jiǎn)化了計(jì)算量，另外沈遠(yuǎn)彤等人則通過小波配點(diǎn)法對(duì)一類含小參數(shù)的奇攝動(dòng)方程，有效判斷了其奇異點(diǎn)的位置，且給出了相應(yīng)的數(shù)值解，其足以說明小波配點(diǎn)法的功效。

（3）數(shù)值計(jì)算預(yù)處理。在數(shù)值計(jì)算預(yù)處理上，小波基可用作改善大型方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)值計(jì)算預(yù)處理的有效性。此外，鑒于微分方程的通解對(duì)整個(gè)計(jì)算機(jī)域的信息較為依賴，因此相比離散解算子在經(jīng)典方法中常常表示為稠密矩陣的形式。而小波基則可將其表示為相對(duì)簡(jiǎn)單的稀疏形式，如此算子計(jì)算中的稠密矩陣的乘法便可轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣間相乘，如此不僅有效降低了計(jì)算量，而且節(jié)省了存儲(chǔ)空間，極大提高了算法的收斂速度和性能。

3 微分方程數(shù)值的例題解析

（1）求值步驟。在使用傳統(tǒng)的求解微分方程數(shù)值解的過程中，在對(duì)具有奇異的熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行求解時(shí)，常出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，或是造成的誤差較大，因此其應(yīng)用收到較大影響，局限性明顯，而小波法無論是在頻率上，還是在時(shí)間上都良好地克服了傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)，因此更適合求解具有奇異解的熱傳導(dǎo)方程，具體例題解析如下。

根據(jù)可解的熱傳導(dǎo)方程可以得出關(guān)于時(shí)間t的顯示離散格式，如下公式所示中的元素△t），其中 k=0,1,2,3,……。

由于基函數(shù)具有顯示表達(dá)式，因此可利用公式③直接計(jì)算出熱傳導(dǎo)方程在Vj空間點(diǎn)的數(shù)值解。在尺度函數(shù)空間Vj空間點(diǎn)上求解熱傳導(dǎo)方程的步驟可分5步，具體如下：

即①選擇具體的尺度j，構(gòu)造Vj空間上的基函數(shù)；②選取x方向和t方向的步長(zhǎng)h x和h t，同時(shí)對(duì)其分別進(jìn)行剖分、計(jì)算，進(jìn)而確定離散點(diǎn)的選取，可令x（i）=i*h x，將k設(shè)置為零。比如選定點(diǎn)為t0，則可計(jì)算循環(huán)次數(shù)K，令t（k）=k*h t，進(jìn)而計(jì)算數(shù)值和的數(shù)值；③根據(jù)以上數(shù)值計(jì)算由基函數(shù)和其一階、二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣M0、M1、M2的數(shù)值；④根據(jù)公式③計(jì)算的值；⑤令k=k+1,若k≥K，則停止，反之則轉(zhuǎn)到t（k）=k*h t階段。

（2）算法分析。在熱傳導(dǎo)方程的基礎(chǔ)上，上述方法在尺度函數(shù)空間V上的數(shù)值求解格式，對(duì)空間域做了有效的離散處理，成功構(gòu)建其針對(duì)時(shí)間t的常微分程組，根據(jù)此方程組即可對(duì)任意空間點(diǎn)進(jìn)行求解。而傳統(tǒng)的有限差分方法在求解偏微分方程時(shí)，若空間分布點(diǎn)發(fā)生突變，則束手無策，無法保證其所求解數(shù)值的精確度和收斂性。所以，用小波法求解微分方程數(shù)值，不但承載了傳統(tǒng)計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)，而且對(duì)于傳統(tǒng)方法無法處理、或處理較模糊和不準(zhǔn)確的奇異點(diǎn)附近亦可達(dá)到一定的精確度，另外其在穩(wěn)定性上亦明顯優(yōu)于有限差分法，值得廣泛應(yīng)用。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng)有效差分法的弊端，闡述了小波法求解微分方程數(shù)值的優(yōu)勢(shì)，從可解的熱傳導(dǎo)方程組，以及利用小波法求解尺度函數(shù)V空間點(diǎn)上求解熱傳導(dǎo)方程的步驟可以看出，利用此法可有效建立熱傳導(dǎo)方程數(shù)值的求解格式，具有減小計(jì)算量，節(jié)省內(nèi)存、穩(wěn)定性強(qiáng)、分辨率高等諸多優(yōu)點(diǎn)，是微分方程數(shù)值求解重要方法。

[1]董曉紅，鄧彩霞，韓紅.用小波配點(diǎn)法求解一類偏微分方程[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，10（4）:33-35.

[2]李榮華，馮果忱.微分方程數(shù)值解法[M].北京:高等教育出版社（第三版），2002.

[3]周濤.小波分析用于求解微分方程[D].長(zhǎng)沙：中南大學(xué)碩士學(xué)位論文，2007.