談小學數學運算定律的教學

作者簡介:

小學特高級教師，江西省特級教師， 江西省現代教育技術培訓專

家委員會成員，有20余篇文章在各級各類刊物上發表。

《數學課程標準》(2011年版)指出:“課程內容要反映社會的需

要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果

，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。”就運算定

律教學而言，只有在分析其知識結構和思想方法的基礎上，尋找出

核心的價值內容，才能真正對學生展開良好的數學教育。

一、知識結構與思想方法

下面分兩個方面來探討運算定律教學的核心價值內容。

1. 知識結構。北師大版教材在運算定律教學內容的編排體現了“

前有隱伏、中有突破、后有發展”的特點，在深度與廣度上不同階

段有明顯的不同要求，這符合學生的認知規律和學習特點。筆者對

其脈絡梳理如下:

第一學段:結合具體內容情境逐步滲透加法交換律、結合律，乘法

交換律與結合律的思想，從三年級開始，逐步滲透乘法分配律的思

想。此時的學習，主要是在感悟和理解，并不要求總結運算的規律

。

第二學段:四年級正式系統探索整數范圍內各種運算定律，學習用

字母表示運算定律，并能夠運用運算定律進行簡便計算，之后隨著

教學內容的不斷拓展，將運算定律延伸到分數和小數的運算范圍。

其實，隨著數概念范圍的進一步擴展，在實數甚至復數的加法和乘

法中，它們仍然成立。

例如，下圖是一年級《數學》上冊第24頁的內容。教材創設了停車

場的情境，由笑笑與淘氣站在不同的角度觀察有幾輛車，讓學生直

觀認識到“2+3=3+2”，體會到兩個加數交換位置，和不變。從而

感悟“加法交換律”的思想。教材還總結并呈現出了表示恒等關系

的式子，這也是關系性思維在低年級的初次滲透。

■

學生有了這樣的認識，計算時便更靈活。例如:想1+4等于幾時，

可以交換位置來想4+1=5。基于學生的年齡特點，該課教學并不要

求學生用規范的數學語言說出運算定律的本質，只要他們理解并能

正確運用即可。

同樣，在二年級《數學》上冊第6頁的情境畫面這個教材內容里，

也是讓學生通過直觀情境來感悟和理解:交換兩個因數的位置，積

不變。初步滲透了乘法交換律的思想。

這樣的內容在教材中不斷出現，其目的是幫助學生不斷積累和感悟

運算定律的思想和經驗，到正式學習時便覺得似曾相識，有親切感

。

2. 思想方法。《數學課程標準》強調:課程內容不僅包括數學的

結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。數學思

想正是蘊含在數學知識形成、發展和應用過程中的，是數學知識和

方法在更高層次上的抽象與概括。學生正是在積極參與的活動過程

中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。以加法交換律

而言，學生最初從一道具體的例子“2+3=3+2”初步感悟到“交換

兩個加數的位置，和不變”的思想，并在學習的過程中不斷積累這

樣的經驗，到推導出加法交換律并學會用字母表示“a+b=b+a”，

這一過程，學生的思維是從具體到抽象的一次飛躍。在探索與發現

運算定律的過程中，學生需要建立恒等概念和建模的思想，需要有

對數量關系的理解基礎，更需要有對規律的、一般性問題的概括思

維能力和符號意識，這些都不可能一蹴而就。

我們還必須要認識到:基本運算定律是前人總結出來的運算規律，

在教學數數、計數以及運算時，運算定律的思想方法早已滲透其中

。美籍華裔數學家伍鴻熙教授指出:“各種類型的整數算法，不論

是直式、橫式、長除、短除，都是有理可解、有根可尋的。其重點

則在于一些基本運算定律的演算。”也就是說，運算定律思想方法

對幫助學生理解和分析四則運算的算理是極有價值的。

例如，下圖是三年級《數字》下冊第26頁“住新房”的情境圖。基

于解決問題的需要，讓學生嘗試用自己的方法來計算14×12，其間

滲透了用乘法分配律的思想來分析豎式計算的算理。筆者認為，教

學中如能利用直觀圖演示(如下圖)，讓學生清楚看到把14×12拆

分成14×10與14×2后，再相加的過程，就能更好地理解豎式計算

的算理，同時感悟乘法分配律的思想方法，可謂一舉兩得。

■

二、學生學習運算定律的困難分析

學生在四年級學習運算定律，教材這樣編排雖然有利于構建比較完

整的知識結構，但我個人認為，這樣集中學習也容易造成知識間的

混淆。學生雖有前期初步的經驗積累，但其抽象思維和符號意識還

不夠健全，在理解和運用定律時仍有一定困難。

筆者曾對全校四年級417名學生在學完運算定律知識一周后測試。

第一題是請說出“76×14+24×14=(76+24)×14”這個等式運用

了什么運算定律，并用自己的方法說明等式兩邊為何相等(如創編

一個數學故事)。

讓筆者吃驚的是，居然有131名學生不知道上式所運用的運算定律

名稱，還有47人說是乘法結合律，5人說是乘法交換律。由此可見

，學生對概念混淆不清。

第二題是用簡便方法計算:37×25×4; 25×41;39×99+39。 統

計結果還是不錯的，3個小題全對的有329人，約占78.9%;但問題

卻集中反映在第2題上，出錯的有55人。以下是三種典型錯誤。

■

上述三個錯誤都反映了學生對于乘法分配律中的分配環節含糊不清

，理解未透。學生一般都知道把41拆分成40與1，但在下一個分配

的環節中，卻出現種種錯誤。錯誤一，將兩個乘積相加的過程，寫

成了將兩個乘積相乘;錯誤二，受結合律的影響，將25去乘40與1

的積;錯誤三，忘記了25不僅要和40相乘，也要和1相乘之后再相

加。

學生最容易將乘法結合律與乘法分配律弄混淆，是因為它們表達形

式相似程度太大。以25×(40+3)=25×40+25×3為例，學生會認

為式子中25×40以及25×3有結合的成分，而誤認為是結合律。對

概念的混淆不清，必然會導致計算中的種種錯誤。

更重要的是，教師對于運算定律的思想方法在各學段的逐級滲透并

不太了解，未能做到知識內容的小步子邁進，使學生在這一方面的

經驗積累不夠豐富。如果再在新課教學時又掐頭去尾，草草總結規

律，把更多的精力放在訓練學生運用定律進行簡便運算上，單純的

技能訓練不僅讓學生倍感無趣，而且也讓這部分知識失去應有的意

義。

三、運算定律的教學建議

1. 積累經驗，豐富學生的運算定律思想。義務教育《數學課程標

準》修訂后，強調在注重“基礎知識”和“基本技能”的同時，還

要發展數學“基本思想”，積累“基本活動經驗”。而數學活動的

經驗是探索新知的基礎，需要在“做”的過程和“思考”的過程中

不斷積累。

根據運算定律在教材中編排的特點，教師應從低年級教學中給予逐

步滲透。例如，教學計算長方形周長時，便可做有機滲透。首先呈

現長方形(圖1)，放手讓學生自主探索長方形周長計算方法。

然后讓學生交流，一般都會有以下幾種方法:第一種，把4條邊的

長度相加12+8+12+8;第二種，12×2+8×2;第三種，(12+8)×2

。在解釋這幾種方法的算理之后，教師可順勢提問:“這幾種方法

之間有什么聯系嗎?”并用課件動態演示圖1變成圖2的過程，學生

直觀看出這個長方形的周長相當于兩個(12+8)的和，從而明確這

兩個式子所求的都是長方形四條邊長度之和，可以用等號連接，即

(12+8)×2=12×2+8×2。

在探索長方形周長計算公式的過程中，對于學生理解和運用乘法分

配律的思想方法是非常有價值的，其實就是學習乘法分配律的一次

經驗積累。

2. 創設情境，基于現實背景建構模型。為了幫助學生探索發現運

算定律的規律，建構運算定律的數學模型，應創設良好的數學情境

，引導學生借助現實背景和已有知識經驗，建構運算定律的模型。

現以乘法分配律的教學為例。首先呈現 “貼瓷磚”情境圖(如上

圖)，并由此展開探索與發現的活動。接下來，讓學生交流對瓷磚

塊數的計算方法并予以解釋，然后借助課件理解兩種不同的計算算

理，溝通不同方法之間的內在聯系，找出它們之間的相等關系。

最后引發學生思考:這樣的相等關系是偶然現象還是必然現象?舉

幾個這樣的例子，根據學生的舉例，從算理上證明每組式子的相等

關系，發現規律的本質特點。再引導學生用自己的語言表達規律，

并嘗試用字母符號表示規律，感悟用符號表示的簡潔性。

教師還可以相機告訴學生，其實乘法分配律我們早就在乘法計算時

使用過了。呈現下圖，解釋每一步的思考過程以及它運用到的規律

。說明如果把豎式的過程寫成橫式，可以表示為:

此時，學生認識到乘法分配律是我們的老朋友了，只不過今天才揭

開神秘的面紗。這一過程突出了數學本原，也溝通了數學知識前后

之間的聯系。

這樣在經歷了“發現問題→提出假設→舉例驗證→建立模型”等一

系列活動過程，學生就能主動建構運算定律的模型，為今后的學習

奠定基礎。

3.靈活運用，在解決問題中形成良好意識。課標實驗教材在“運算

定律”內容的編寫上呈現出兩個特點:一是運算定律引出基于解決

問題的背景，突出了運算定律的發生發展過程;二是減少了“運算

定律”純技能訓練的內容，突出了應用“運算定律”靈活解決問題

的內容。

還有，對于乘法“分配律”與“結合律”的辨析困難，教學中應加

強對比訓練，尤其是借助問題情境幫助學生分析算理，讓學生真正

理解兩條運算定律不同的適用范圍和不同的思路，并在運用運算定

律解決問題的過程中不斷積累良好的經驗。

總之，運算定律的學習是學生數學思維從具體到抽象過程中的一次

飛躍。只有讀懂學生，讀懂教材，讀懂課堂，才能設計出更加符合

學生認知規律的教學過程，讓學生在學習知識的過程中，不斷豐富

數學思想方法。 (作者單位:江西省九江小學)

教學內容:課標實驗教材北師大版《數學》四年級上冊第48、49頁

。

教學目標:1.經歷提出猜想、驗證規律的探索與發現過程，通過類

比、說理、舉例論證，總結概括出乘法分配律并用字母表示，培養

學生的符號意識;2.溝通知識之間的內在聯系，深化理解乘法分配

律，發展學生的思維能力和創造能力;3.欣賞數學運算的簡潔美，

體驗“乘法分配律”的價值所在，提高學習數學的興趣和主動性。

教學過程:

一、導入

1.下面的三個算式改變了形象。猜猜看，哪個算式和原來是一樣的

?

■

根據學生回答連線。結合(13+9)+6與13+(9+6)、(9×25)×4

與9×(25×4)的相等關系，復習已經學過的加法結合律與乘法結

合律，

2.此時，學生可能會提出將18×4+12×4 與(18+12)×4連線。師

相機提問:這兩個算式之間有關聯嗎?你們有什么想法?

引導學生發現:這兩個算式的運算順序不同，但結果相同，可以用

等號連接。板書:(18+12)×4 =18×4+12×4。

師:這個同學的發現很有價值，我們不妨將它命名為“××猜想”

。接下來，我們循著這個線索繼續探究運算中的規律。

【設計意圖】用游戲的形式導入新課生動有趣，既復習了學過的舊

知，又提出了新的猜想。學生興趣盎然投身于探索與發現的活動中

去。

二、探究

探究一:出示下圖，從圖中你能得到哪些數學信息?

師:根據這些數學信息，你能提出什么數學問題?這個問題你會怎

樣解答?

(學生獨立解答，教師巡視。請學生上臺板演。可能會有以下兩種

不同解答方法:1.65×5+45×5;2.(65+45)×5。)

師:大家看方法一:65×5+45×5，誰來說明解題思路? 結合學生

的回答，教師及時用教具演示:65×5表示5件夾克衫的價錢，45×

5表示5條褲子的價錢。最后相加求出一共的價錢。

■

師:那么方法二(65+45)×5中，(65+45)求出的是什么?

師:“一套衣服”什么意思?你能用圖在黑板上貼出來表示一套嗎

?

(學生按要求如右圖擺放。)

師:看圖我明白了，那為什么還要用一套服裝的價錢乘5?誰能繼

續貼圖，表示出整個算式的意義?

(結合圖和算式，繼續闡明算理:可以分別算出5件夾克衫和5條褲

子的價錢再相加，也可以先求出一套衣服的價錢再乘5。)

■

師:雖然這兩個算式不一樣，但它們都是求什么?算出的結果怎樣

?在數學上我們可以用什么符號來連接?

根據學生的回答完成板書:(65+45)×5=65×5+45×5，并讓學生

讀一讀。

師:這個規律與課始發現的規律一樣。兩個相等的算式之間有沒有

必然聯系呢?接下來，我們繼續研究。

【設計意圖】通過解決現實的生活問題，自然生成了不同的解題思

路和算法。學具的擺放促進了形象思維和抽象思維的互補，為學生

初步感知乘法分配律，建立了清晰的表象。

探究二:這是一塊長方形菜地，在它的四周圍上柵欄，要先求出它

的什么?怎樣計算柵欄的長度?出示右圖:

根據學生的回答板書:12×2+8×2;(12+8)×2。

師:還記得我們在三年級是如何推導長方形周長計算公式的嗎?為

什么可以用(12+8)×2來計算這個周長?

學生交流后，利用課件動態演示圖1變成圖2。讓學生直觀理解圖中

有兩個(12+8)，所以可以用(12+8)×2來計算它的周長。

■

板書:(12+8)×2 =12×2+8×2

【設計意圖】回憶舊知，通過公式推導過程的回放，溝通新舊知識

之間的內在聯系。

探究三:對照黑板上相繼板書的三個等式，提問:這些等式有什么

相同點嗎?你還能再舉幾個這樣的例子嗎?

板書學生舉出的例子，并結合實例從算理上證明其中的相等關系。

師:這樣的例子我們說得完嗎?(在算式下面標注省略號)

師:你認為這個規律在我們學過的整數范圍內一定成立嗎?為什么

?(引導學生從算理上說明其中蘊含的道理。)

【設計意圖】通過大量舉例并驗證探索出來的規律是否合理，從而

發現乘法分配律在所學范圍內普遍存在的現象，學生的思維也逐步

走向深刻。

探究四:請你用字母a、b、c表示這個規律，并解釋。(學生思考

后交流，根據回答板書:a×(b+c)=a×b+a×c)

同時，引導學生用自己的語言表達規律:兩個數的和乘同一個數，

可以用和里的每個加數分別乘這個數，再把乘得的積相加。

師:看來，剛才“××同學的猜想”是很有道理的，數學上把這個

規律叫做乘法分配律。(揭示并板書課題)

師:說說看，你怎么理解“分配”這個詞語?

讓學生理解:將和里的每個加數分別乘第三個數的過程，就是分配

的過程。

師:這個規律反過來成立嗎?請你舉例證明。

結合學生的發現，板書:a×b+a×c=a×(b+c)

師:我們在乘法計算時就使用過乘法分配律，只不過今天才揭開神

秘的面紗。

逐步出示下圖，解釋豎式中每一步的思考過程以及它運用到的規律

。由此，學生認識到乘法分配律在豎式計算中的重要作用。

■

【設計意圖】用字母表示規律培養了學生的符號意識;結合乘法豎

式分析乘法分配律的過程，突出了數學知識的本原，加深了學生的

理解和認識。

三、 運用

1.根據乘法分配律把式子填完整。

(1)(10+7) ×6=□×6+7×□

(2)8×(125+9)=□×125+□×9

(3)(□+□) ×□=3×8+8×7

2.下面的等式對嗎?如果不對，怎樣改才是正確的?為什么?

56×(19+28)=56×19+28 ( )

3.根據前面乘法算式中因數的特點，把式子補充完整，使這個算式

可以用乘法分配律計算。

(1)34×28+□×□(例如可以補充:34×72)

(2)9×37+□×□

(3)12×40+□×□

【設計意圖】通過逐層遞進的練習，讓學生進一步在解決問題的過

程中，深刻理解乘法分配律中蘊含的數學思想。

四、小結(略)

□責任編輯 孫恭偉

E-mail:jxjymsdh@126.com