關(guān)于一元二次不等式數(shù)形結(jié)合法求解得探討

摘要：數(shù)形結(jié)合法求解一元二次不等式是一種常規(guī)方法，但教學(xué)效果不佳，以下采取一些措施，打破了遇到的瓶頸，有效地提高了授課質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：一元二次方程的解；一元二次函數(shù)的圖象；二元二次不等式的解集；數(shù)形結(jié)合

關(guān)于一元二次函數(shù)，初中學(xué)生已經(jīng)有所接觸，但一元二次不等式對(duì)于五年高職學(xué)生，尤其是學(xué)醫(yī)學(xué)的同學(xué)來說，依然是新的知識(shí)點(diǎn)。鑒于數(shù)形結(jié)合法直觀、簡(jiǎn)單易行，當(dāng)前大多數(shù)教材采用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解一元二次不等式。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)靈活運(yùn)用這一思想，需要一些鋪墊工作，如何做好鋪墊工作以及如何突破難點(diǎn)，本文將作詳盡探討。

一、兩點(diǎn)鋪墊工作

1.鋪墊一：一元二次方程解法回顧

一元二次方程的解法有配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法等，這些方法是數(shù)形結(jié)合法解一元二次不等式的基礎(chǔ)，因?yàn)榉匠痰慕馇橐辉魏瘮?shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是數(shù)形結(jié)合法求解一元二次不等式的必要條件。

教學(xué)中，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，初中教材中已經(jīng)將十字相乘法略去，大多數(shù)老師也未補(bǔ)充此解法。這嚴(yán)重地削弱了學(xué)生的速算能力，學(xué)生只能通過求根公式，生硬地求一元二次方程的根。從開展教學(xué)的角度，筆者認(rèn)為，略去十字相乘法也不利于因式分解法的教學(xué)。因此，我的做法是提前一節(jié)課通知學(xué)生，通過互聯(lián)網(wǎng)和小組討論的形式，讓每位學(xué)生都能熟練掌握十字相乘法。這一做法，節(jié)約了課堂教學(xué)時(shí)間，提高了教學(xué)效率。

2.鋪墊二：一元二次函數(shù)的圖像作法回顧

用數(shù)形結(jié)合法解一元二次不等式時(shí)，需要確定與之相對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象，這是平面直角坐標(biāo)系中的一條拋物線。畫圖象的主要步驟是：

(1)確定圖象的開口方向。圖象的開口方向由一元二次函數(shù)式中二次項(xiàng)系數(shù)決定，大于零，拋物線方向朝上，反之則向下。

(2)確定圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，尤其是與x軸的交點(diǎn)。函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是與函數(shù)相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解，其縱坐標(biāo)均為0，此時(shí)求出一元二次方程的解即可。當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩不等的解x₁、x₂，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩相等的解x₁＝x₂；函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無解，函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)。

(3)作出一元二次函數(shù)圖象的筒圖。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合。寫出解集

1.數(shù)形結(jié)合分析過程

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則有如下結(jié)論：x軸上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于0，即y＝0；x軸上方(不合x軸)的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0，即y＞0；x軸下方(不合x軸)的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于0，即y＜0。

2.由簡(jiǎn)圖寫出解集

通過以上分析，可以很容易地寫出一元二次不等式的解集，下表僅以二次項(xiàng)的系數(shù)為正時(shí)的解集情況。如果實(shí)際應(yīng)用中，二次項(xiàng)為負(fù)值，可以在不等式兩邊同乘以－1，由此可以將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)為正的情形。

三、教學(xué)效果比較

通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用本文所述的數(shù)形結(jié)合的思想，提高了教學(xué)質(zhì)量，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和理解，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，潛移默化地提高了我校高職生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。