例談小學生數學基本思想的獲得

《數學》“2011年版課標”第四部分“實施建議”中有七條“教學建議”，其中第三、四條是關于“四基”的教學，分別為“注重學生對基礎知識、基本技能的理解和掌握”“感悟數學基本思想，積累數學活動經驗”，在“感悟數學思想”一節中有這樣的論述：“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。”這段論述包含兩方面的意思，一是初步說明“數學思想是什么，有哪些數學基本思想”，二是強調“基礎教育階段的學生獲得數學思想的基本方式與目標要求是‘感悟’”。關于這兩點，義務教育數學課程標準修訂組組長、東北師范大學校長史寧中先生認為，“數學思想需要滿足兩個條件：一是數學產生、發展過程中所必須依賴的那些思想，二是學習過數學的人所具有的思維特征。

感悟是指人們對特定事物或經歷所產生的感想與體悟。真正的感悟來源于人們的親身經歷與感受，有的是漸漸領悟，有的則是瞬間頓悟。要使小學生獲得數學基本思想，教師應當引導學生充分經歷數學的發生發展過程，注重啟發學生思考，通過恰當的教學內容和方式方法促進學生逐步感悟。

學生是通過逐步抽象來認識自然數的，他們認識自然數的過程也是逐步感悟抽象思想的過程。1、2、3等較小的自然數是建立在對于真實事物的直接抽象之上的，而那些較大的自然數，如小學生認識100 000 000，則不是直接抽象的結果，因為它已經超出了小學生的經驗范圍，對這樣的大數的認識是建立在已有數概念的基礎之上的，即學生要從較小數的概念中抽象出數概念“序”的特性——一個自然數加1就可以得到下一個比它大1的數，才可能構建像100 000 000那樣較大的數的概念。無論是從真實事物直接抽象還是以先前的抽象概念積累起來的經驗為基礎的更高程度的抽象，都是在教師引導下通過動手實踐、獨立思考、合作交流等方式逐步完成的，在這個過程中，學生通過多次反復思考和長時間積累，逐步感悟抽象的思想。當然，學生從認識較小的自然數開始到認識100 000 000這樣較大的數，到將來構建更大數的概念，進而形成一般自然數和任何可能的數的概念，要經歷幾年甚至十幾年，而具體到某一堂或幾堂課認識某些數，教師也要重視引導學生充分經歷這些數概念的形成過程，特別是抽象的過程。比如，教學10以內數的認識時，教師分成四個連貫的環節，讓學生經歷認數的過程，體會數的意義，發展數學思考，初步接觸抽象的思想。這四個環節分別是：讓學生在現實情境中實踐數物體的個數；引導學生用算珠演示，表明物體的個數；指導學生用數字呈現，表示物體的個數；指導學生讀數、寫數，熟悉自然數列。通過教學，還要使學生能順數、倒數，掌握數的順序，知道后一個數總比前一個數多1，前一個數總比后一個數少1，從而正確掌握一個數的前一個數，一個數的后一個數，兩個數的中間的數，一個數的相鄰數，兩個數的大小等有關數的順序的概念，以及數與數之間的關系，并掌握數的組成。

顧沛老師在《數學基礎教育中的“雙基”如何發展為“四基”》一文中說，分類的思想是“由抽象的思想派生出的”，它在小學數學學習過程中有著廣泛應用，小學數學教材中也多有滲透。因此，在教學中，教師就要充分挖掘，精心組織，有意識引導學生開展各種分類活動，使學生經歷分類的全過程，引導學生對于為什么要分類、怎樣分類、如何確定分類的標準、分類過程中以及分類之后如何更好認識對象的特性等展開獨立思考與合作交流，以促進他們逐步感悟分類思想。比如學生認識三角形，既要對三角形按角的情況分類，又要對三角形按邊的情況分類，為使學生體會這樣分類研究的必要性和合理性，教師在第一課時教學初步認識三角形時，就突出組成三角形的三要素：角、邊、頂點。在教學“三角形按角分類”時，教師要先引導學生體會三角形可以畫出無窮多個，但都有三個角。然后，教師提供若干個三角形，讓學生通過觀察或測量，確定每個三角形的三個內角分別是什么角，進而確定每個三角形的三個內角中直角、銳角、鈍角的個數，填入表格，形成如下的圖、表學生觀察圖、表后，主動提出“要把這六個三角形分類”，進而思考、討論，得出“把這些三角形分成三類，一類是三個角都是銳角，一類是有一個角是直角，一類是有一個角是鈍角”，結合學生的討論，教師給出每類三角形的名稱“銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形”，最后教師還讓學生任意畫出三角形，看“是否有三角形不屬于這三類中的任何一類，是否有三角形同時屬于某兩類”，在此基礎上，引導學生填寫出下圖。經歷這樣的分類活動，學生不僅主動探索、發現了三類三角形的特征，對于“為什么要對三角形分類、根據什么分類、對三角形分類時要注意什么”等也有了切身的體會，初步感受了分類思想。同樣的，最后教師引導學生對三角形按邊的情況分類，并形成下面的概念圖（見圖3），還引導學生把兩種分類進行比較，進一步完善了學生頭腦中關于三角形的認知結構，也進一步促進了學生對分類思想的感悟。

歸納和演繹都屬于推理。顧沛老師撰文說：“歸納的思想和演繹的思想是由數學推理的思想派生出來的。”演繹推理是從一般到特殊或個別的推理方法，只要前提可靠，演繹推理的結論就完全可靠，它是一種嚴格的推理，是數學中最常用的推理；歸納推理是由個別到一般的推理，又分為完全歸納和不完全歸納兩種，完全歸納與演繹一樣是必真推理，而不完全歸納則是似真推理，結論不一定可靠。小學生感悟推理思想，要結合具體的推理活動思考。比如學生用簡便方法計算5×27＋63×5時，先根據乘法交換律把題目轉化成27×5＋63×5，再根據乘法分配律寫成（27＋63）×5，之后根據運算順序逐步算出結果。在這個過程中，每一步運算都是演繹推理，學生經常這樣的推理運算，思維的條理性、周密性得到鍛煉，數學理性也將逐步萌芽。再比如學生探索分數的基本性質，是根據幾組相等的分數（如■=■=■，■=■=■），歸納出共同的規律：分數的分子和分母都乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。由于這個規律是通過不完全歸納得出的，教師可以引導學生從兩個方面進一步加深體會：首先，問學生是否能舉出相反的例子，即能否找到這樣一個分數，它的分子和分母都乘或除以某個數（0除外），分數的大小會不會發生變化？其次，讓學生根據分數與除法的關系以及除法的商不變規律，解釋分數的基本性質的合理性（這一做法其實是讓學生嘗試類比推理——類比推理也是似真推理）。限于知識水平，小學生不可能對這一性質作出嚴格的數學證明，小學數學教學的特征也不需要小學生作出嚴格的數學證明，但是，教師組織這樣的形式多樣的推理活動，有利于學生推理思想的感悟與形成。相似的例子還有如探索三角形內角和時，教師讓學生用銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三類三角形進行測量、計算、折拼等活動，使學生在歸納出“三角形的內角和是180°”的同時，也能意識到這一規律的得出是在考察三類三角形的基礎上得出的，而三角形按角分，只有這三類，完全歸納的思想也由此得以滲透。

總之，小學數學雖然簡單，但里面卻蘊含了一些深刻的數學思想。現在，新課標提出“四基”，將“讓學生獲得數學基本思想”作為數學課程總目標之一，將“感悟”作為學生獲得數學基本思想的途徑和要求，這對于我們進一步深入推進小學數學課程改革，特別是改進小學數學課堂教學，結合教學過程向學生滲透基本數學思想，豐富和發展學生的數學素養，都有著深遠的積極影響和極大的指導作用，小學數學教師要不斷學習理論與思考，展開教學實踐與探索，為實現課標提出的目標而努力。(作者單位：江蘇省吳江市鱸鄉實驗小學）■