導數的幾何含義及在方程求根中的直接運用

摘要：本文在討論函數導數幾何含義的基礎上，分析導數和微分的關系、單變量和多變量的區別、偏導數和方向導數的關系、方向導數和混合偏導數的關系。最后通過計算方法中的典型例子來說明如何利用導數的幾何含義來構造計算方法，以及如何從一維的情形直接推廣到高維的情形。

關鍵詞：導數；幾何含義；牛頓法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）11-0089-03

一、導數和其他相關概念的關系

1.一階導數和高次次導數的關系。一般認為，高次導數是次一階導數的導數，這樣的表述在數學上容易表達清楚，對理解能力比較強的學生來說是可以接受的。然而事實表明，如果沒有對高階導數的直觀理解還是比較難于應用的。當然高階導數的直觀含義比較復雜，和具體的應用有關；純粹從微積分的角度上講，比較常見的主要是曲線曲率和彎曲方向，比如一般來說，f''（x）>0表示向下凸，f''（x）<0表示向上凸。這些性質在優化和數據處理方面有著廣發應用。

2.導數和微分的區別。導數表述的是因變量相對于特定自變量的相關變化率，而微分用來刻畫因變量的增量和自變量增量之間是否存在局部的線性關系。一般來說，非線性函數因變量的增量和自變量的增量之間并非線性關系，但微分的特殊意義在于：在局部，我們可以用自變量增量的線性組合來近似函數的非線性增量。對一維情形而言，其直觀含義在于用三角形的面積來近似原曲邊三角形的面積，所以微分和導數的幾何含義有些不同，自然也導致在多元函數時微分和導數不等價。

上面分析了導數的幾何含義與在計算方法中的用途，除此而外，在其他很多方面當然還有很精彩的應用，限于篇幅，在此就不在一一論述。總之，通過對導數幾何含義的直觀分析，讓我們跟容易理解導數，也能更好地運用，真正做到學以致用。

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基金項目：該研究得到中央高校基本科研業務費ZYGX2009J098支持。