關于變化的無限大均勻磁場所產生的電場的討論

摘要：本文考慮變化的無限大均勻磁場所產生的感應電場。由于沒有中心而不能用教科書上的積分方法，轉而求助于麥克斯韋方程組的微分形式，發現只能得到自相矛盾的結果，從而得出結論：不存在也不能假設存在無限大磁場，同理也不存在無限大均勻電場。

關鍵詞：磁場；電磁感應；電場

中圖分類號：O412 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2012）04-0096-03

一、引言

磁場一致是人們感興趣和試圖探索其起源的課題。[1]變化的磁場所產生的電場受電磁感應的環路定理限制[2，3]，人們也考慮了一些復雜靜電場與靜磁場邊界條件[4]和截面為任意形狀無限長螺線管的磁場[5]。在大學物理的教學過程中，有時需要均勻的場，經常會取無限大源。比如為了得到電容內部為均勻電場，常假設電容極板為無限大（或者叫做忽略邊沿效應），或者為了得到簡潔的長直導線周圍的磁場，而假設導線為無限長。但是這些無限遠、無限長的假設是否總是成立的呢？本文通過變化的無限大均勻磁場所產生的感應電場的計算，來說明在有些情況下是不能隨意推廣到無限大的。

二、變化的有限大均勻磁場所產生的電場

對于半徑為R有限大柱對稱的磁場，在磁場變化的時候將產生感應電場，利用電磁感應的安培環路定理[2]，■Ei·d■=■-■·d■ （1）。取柱狀磁場的中心為圓心，某個長度r為半徑的圓周做環路積分，利用柱對稱性，可得所產生的感應電場，應該在圓周上處處大小相等，方向為圓周的切線方向。如果磁場為均勻變化的，最終得到磁場的大小〓〓

Ei=■■，r＜R （2）■■，r＞R （3）

可見在有磁場的區域，電場隨半徑的增大而增大；在區域之外，感應電場隨半徑的增大而減小。問題是如果R趨于無窮的時候，感應電場如何分布呢？對于無限大均勻磁場，沒有中心點，或者說處處都可以作為中心，那么某個位置的感應電場在選取不同中心點的時候，用上述方法得到的結果將不同，這和任何一點的電場的唯一性相違背。因此上述方法無法處理無限大情形的磁場。不過電磁規律都必須遵從麥克斯韋方程組的限制，我們轉而利用麥克斯韋方程組的微分形式來解這個問題。

三、變化的無限大均勻磁場所產生的電場

麥克斯韋方程組的微分形式的原始形式為：

?犖·■=■?犖·■=0?犖×■=-■?犖×■=?滋■+?滋?著■ （4）

其中?籽為電荷密度，?滋和?著分別為磁導率和介電常數。考慮到所討論的問題中不含靜電荷，也沒有電流，所在的空間為不包含電或磁介質的真空，所以對希望求得感應電場的空間某點所滿足的方程變為：

?犖·■=0?犖·■=0?犖×■=-■?犖×■=?滋0?著0■ （5）

用平面直角坐標系，取與磁場方向一致的為z軸，與磁場垂直的為xy平面，任取一點為原點，任一方向為x軸的方向，y軸與x軸垂直。在這套坐標系下，磁場的值為：Bx=By=0，Bz=B0t其中B0是一個常數。考慮到感應電場總是和原始磁場的方向垂直，則Ez=0。于是只剩下Ex（x，y，t）和Ey（x，y，t）是未知的，將麥克斯韋方程組展開為直角坐標系下的形式為：

■+■+■=0 （6）

■+■+■=0 （7）

■-■=-■ （8）

■-■=-■ （9）

■-■=-■ （10）

■-■=?滋0?著0■ （11）

■-■=?滋0?著0■ （12）

■-■=?滋0?著0■ （13）

方程（6）得到：

■+■=0 （14）

方程（7）是關于磁場的，在此情況下恒滿足。方程（8）和（9）分別意味著Ex和Ex不含z。方程（10）得到■-■=-B0 （15），方程（11）和（12）分別意味著Ex和Ex不含z時，方程（13）恒成立。上述方程組并不能完全解出電場，還依賴于邊界條件，這里的邊界條件為磁場為均勻無窮大。考慮到對稱性，產生的感應電場應該不依賴于具體的原點位置而處處一樣且各個方向也一樣，又因為電場是矢量，處處相等且各項同性的矢量只可能為0。將從對稱性上得到的電場0帶入到方程（15）中，得到矛盾的結果。考慮到麥克斯韋方程組以及對稱性分析的正確性，這個矛盾的來源只可能是題設中的“無窮大磁場”，因此證明了不存在無窮大均勻磁場。相應的由于電場和磁場之間的對稱性，也不可能存在均勻無窮大的電場。

四、結論

本文考慮了變化無窮大均勻磁場所產生的感應電場的問題，通過引入麥克斯韋方程組的微分形式和無窮大磁場的對稱性分析，得到了不存在無窮大均勻磁場的結論，同樣地也不存在無窮大均勻電場。在大學物理的教學過程中，有些情況下為了計算的簡便或者對稱性的需要，可以假設無限大的線或者面，但還要清楚這種無限延伸并不總是成立的，在一些其他情況下，如電場和磁場，均不能假設為均勻的無限分布。

參考文獻：

[1]肖立業.天體和星系磁場起源的探索[J].電工電能新技術，2003，22（4）：53-59.

[2]范淑華，項林川.大學物理[M].武漢：華中科技大學出版社，2011.

[3]王萊.截面異形的軸向變化磁場產生的感生電場[J].大學物理，2005，24（4）：51-54.

[4]景義林.一些復雜靜電場與靜磁場邊界條件之論述[J].大學物理，2010，29（9）：8-10.

[5]常同欽.截面為任意形狀無限長螺線管的磁場[J].大學物理，2001，20（6）：22-23.

作者簡介：鄒遠川（1979-），男，湖北宜昌人，華中科技大學物理學院副教授，博士，主要從事理論物理和天體物理的教學和研究工作。