近似到O(μ2)階完全非線性的Boussinesq水波方程

劉忠波，房克照，2，鄒志利

(1.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024;2.河海大學 海岸災害及防護教育部重點實驗室，江蘇南京210098)

作為近岸海域強有力的波浪數值計算模型之一:Boussinesq類水波方程得到空前的發展［1-11］，當前研究和應用以二階Boussinesq方程居多，其中以Wei G等［4］給出的以波面和水深某一處速度表達的高階Boussinesq方程最具代表性，其精確到O(μ2)階完全非線性.而以水深積分平均速度表達的Boussinesq方程多以弱非線性或近似到O(εμ2)階非線性為主，即便有近似到O(μ2)階完全非線性的Boussinesq方程［5］，其在O(μ2)階非線性項中也部分地忽略了水深對空間坐標的導數.為使得此類Boussinesq方程在近似到O(μ2)階具有完全非線性的同時具有良好的色散性能，本文從Madsen給出的近似到O(μ2)階完全非線性Boussinesq方程(其色散性與經典Boussinesq方程一致)出發［1］，對動量方程進行加強，得到一組改進的高階Boussinesq水波方程.討論了加強后方程與其他Boussinesq方程之間的異同，從理論和數值2個方面對加強后方程進行考察，對比分析本文加強方式和傳統加強方式對數值結果的影響.

1 理論推導

1.1 水波方程的導出

文獻［1］從Laplace方程出發，給出了一組近似到O(μ2)完全非線性的Boussinesq水波方程，方程以波面升高η和水深積分平均速度u=(u，v)表達，其二維無因次形式為［1］

其中，

式中:h為靜水深，▽=(?x，?y)為二維偏微分算子，下標t表示變量對時間的導數.

以上方程色散精度與經典Boussinesq方程一致，為拓展其適用水深，引入:

將式(8)～(10)添加到方程(2)左端，方程可寫成如下形式:

式中:G20、G21、G22、G23為O(μ2)階線性項和非線性項出:

方程(1)、(11)構成了一組新的、近似到O(μ2)階完全非線性的Boussinesq水波方程(以下簡稱方程一).而傳統改進此類方程的方式則引入如下表達式:

式(16)～(18)中不僅有色散性項，還有水流存在下引起波浪色散關系變化的多普勒效應項.將式(16)～(18)引入到方程(2)中，方程仍可寫成式(11)，且G20保持不變，但非線性項變為

當式(11)中非線性表達式由式(19)～(21)表達，其和方程(1)構成另外一組方程(簡稱方程二)，對比2方程的表達式可以發現，2種改進方式在色散性和變淺性性能方面是一致的;不同之處在于第一種方式多考慮了多項非線性項，如εμ2中多了類似hη▽▽·(ut+▽η)的項.

1.2 方程一與其他方程的比較

1.2.1 與文獻［6］的比較

選取參數值為β1=0.033，β2=－0.1，β3=0并忽略O(μ2)階非線性項，即取G21、G22、G23為0，方程可轉化為文獻［6］方程;若不忽略O(μ2)階非線性項，相當于其方程被拓展到近似在O(μ2)階完全非線性.

1.2.2 與文獻［7］的比較

選取參數值為 β1=－29/885，β2=0，β3=－2/59，方程在色散性方面可等同于文獻［7］.2個方程的主要差別有2點:1)O(μ2)階非線性項中關于水深對空間變量的導數上略有差異;2)O(μ2)階非線性項中，本文方程增加了一些項，如在G21中增加類似hη▽▽·(Ut+▽η)的項.

1.2.3 與文獻［8］的比較

選取參數值為β1=－0.001 3，β2=－0.065 4，β3=0，并忽略O(μ2)階非線性項，即取G21、G22、G23為0，方程可轉化為文獻［8］的方程;若不忽略二階非線性項，相當于原方程被拓展到近似在O(μ2)階完全非線性.

1.2.4 與文獻［9］的比較

文獻［7，9］只是通過改變參數值的方法拓展了的方程，方程的色散適用水深略微改善.當本文取β1=－0.024 7，β2=0，β3=－0.032時，并忽略G21、G22、G23中的部分項，可轉化為該方程.

1.2.5 與文獻［10］的比較

文獻［10］從歐拉方程出發重新推導了近似到O(εμ2)階的一維Boussinesq方程，并增加了類似式(9)且以通量形式表達以提高色散性.盡管方程是從歐拉方程出發，但其僅含O(εμ2)非線性項.當本文方程取 β1=0，β2= －1/18，β3=0，并忽略O(ε2μ2)O(ε3μ2)階項，并寫成一維形式后，二者具有較強的可比性.

2 性能分析

采用文獻［1］的分析方法，利用Maple軟件符號運算功能，可方便地對上述方程進行線性性能(包括色散性和變淺作用性能)和非線性性能(包括二階諧波波幅A2遞函數和三階諧波波幅A3)分析［1，7］.

2.1 色散性及變淺作用性能

方程一和方程二具有相當的色散性，其與參數的選取有關，當參數選取合理的情況下，可使方程的相速度以及群速度在較大范圍內與解析解誤差較小.研究發現，當選取的參數值滿足以下關系時，對應方程的無因次相速度(C*)、無因次群速度()以及變淺作用系數(Cs)具有較高的精度，其與解析解的對比見圖1～3.由式(22)給出的2個表達式中含有3個未知參數，并不能給出具體值，需要通過非線性性能的比較加以確定.

圖1 方程的無因次相速度Fig.1 Nondimensional phase velocity of the equations

圖2 方程的無因次群速度Fig.2 Nondimensional group velocity of the equations

由圖1可見，當kh=4時，本文方程的相速度誤差在5%以內，而線性Stokes波色散關系的Padé(2，2)展開對應的誤差為10%;由圖2可見，當kh=2.6時，本文方程的群速度誤差在5%以內，而線性Stokes波色散關系的Padé(2，2)展開對應的誤差為13.5%.由圖3可見，本文方程的變淺作用系數與解析解在kh＜3范圍內也吻合較好.

圖3 方程的變淺作用系數Fig.3 Nondimensional shoaling coefficient of the equations

2.2 非線性性能

研究發現，無論參數怎么變化，方程一的二階諧波波幅保持不變，這是因為G21中▽▽·(ut+▽η)項前的系數:－2.5β2－β1－4β3=－(β1+β2+β3+ 0.75(2β2+4β3))=0.152 7是常數.此外僅當某一參數取超過1后，方程一的三階非線性性能有所改善，這已無實際意義.故本文僅取特殊情況:β=0.007 3，β2=－0.064，β3=0下方程一和方程二的二階諧波波幅和三階諧波波幅，具體情況見圖4.可見:當且僅當kh很小時(kh＜0.5)，方程一和方程二的二、三階波幅傳遞函數有可比性，隨著水深變大，方程一的二階非線性和三階非線性均優于方程二的性能.

圖4 方程一和方程二的無因次二、三階傳遞函數值Fig.4 The second-，and third-order transfer functions for two equations

3 數值格式以及計算結果討論和分析

針對一維有因次形式的方程一，在非交錯網格下進行離散，采用五點中心差分(邊界點采用五點偏心)格式近似變量的空間導數，采用三階預報-四階校正的線性多步模式進行時間積分［12］.通過結合文獻［13］的內部造波法和2個計算域末端設置海綿吸收層的方法實現波浪的無反射入射.針對文獻［14］進行的潛堤上波浪傳播的物理模型實驗進行數值模擬.實驗中有3組波浪要素，這里選取2種波況進行模擬，分別為工況A(波高H=0.02m，周期T=2.02s)和工況C(波高H=0.041m，周期T=1.01s)，二者對應的無因次水深kh分別為0.67和1.69.模擬時，時間步長取為0.01s，空間步長取0.025 m，波浪場達到穩定狀態后取計算數據進行分析.

3.1 兩種不同改進方式對計算結果的影響

為考察2種不同改進方式對計算結果的影響，采用方程一、二分別求解波浪運動.圖5給出工況A各次諧波幅值的數值計算結果和實驗數據的比較.由圖可見，在基頻和倍頻的沿程波幅變化對比中，方程一、二給出相近的數值模擬結果，且均與實驗數據吻合較好，但是在三倍頻和四倍頻的波幅變化對比中，方程一計算結果與實驗數據吻合程度更佳.圖6給出工況C各次諧波幅值的數值計算結果和和實驗數據的比較.由圖可見，在基頻的沿程波幅變化對比中，方程一、二給出數值結果相近，但是在倍頻和三倍頻的波幅變化中，方程一能給出更好的結果，而在四倍頻的波幅變化中，尤其在潛堤后，二者給出的波幅均小于實驗值.

圖5 數值計算的各次諧波與實驗結果的對比(工況A)Fig.5 Comparisons of computed harmonics amplitudes and experimental data for case(case A)

圖6 數值計算的各次諧波與實驗結果的對比(工況C)Fig.6 Comparisons of computed harmonics amplitudes and experimental data for case(case C)

以上2種波況都得出同樣的結論，方程一模擬結果比方程二模擬結果更佳，這與前面理論分析的結論是一致的.此外，數值結果也側面反映出第一種改進方式比傳統的僅改善色散關系及水流存在下引起多普勒效應的方式更具有代表性.

3.2 不同非線性精度對數值結果的影響

為了驗證方程一精確到不同非線性精度對數值計算結果的影響，在編制程序時，在不同階非線性項前預設多個參數，當這些參數值均取1.0時，代表考慮全部階非線性，而當高階非線性項前系數取0時，則代表僅考慮不同低階非線性精度，這里給出利用非線性精度精確εμ2(中等非線性模型)及ε3μ2階(完全非線性模型)模擬工況A的數值計算結果與實驗結果的對比，具體見圖7.由圖7可見，在基頻和倍頻的沿程波幅變化對比中，包含完全非線性項的作用并不明顯，結果相近，但是在三倍頻和四倍頻的波幅變化中，尤其在潛堤后，完全非線性模型給出結果優于后者，這表明完全非線性特征的存在對于準確描述高階諧波有重要作用.

圖7 不同非線性精度時的模擬結果對比(工況A)Fig.7 Comparisons of computed harmonics amplitudes with different nonlinear accuracy(case A)

4 結論

通過改進Boussinesq水波方程，得到了一組近似到O(μ2)階完全非線性的高階Boussinesq水波方程.改進過程中保留強非線性項，而傳統改進方式僅局限于改進方程色散性能，針對上述2種方式給出的方程進行了理論分析和數值計算，得到以下主要結論:

1)第1種改進方式，其不僅包含了第2種傳統的改進方式，且比第2種改進方式在非線性性能方面更佳.在相關文獻中，尤其以水深積分平均速度表達的方程中，以第2種方式改進居多，這實質上只是為了改善色散性和變淺性能，而未以改善非線性性能為目的，這是需要特別注意的.

2)本文方程相速度在5%誤差內，最大適用水深kh=4，而線性Stokes波色散關系式的Padé(2，2)逼近所對應的方程最大適用水深kh=3.14;就本文研究的結果來看，方程一給出的數值結果優于其他方程，這說明非線性越強，數值結果越好.

此外，本文的改進方式可為相關Boussinesq類水波方程在改善非線性的方面提供重要參考.

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