子載波間隔對廣義多載波水聲擴頻性能的影響

周鋒，尹艷玲，喬鋼

(哈爾濱工程大學 水聲技術國家級重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

對于遠程的水聲通信，擴頻通信已經達到了實用的程度［1-2］，但其通信速率非常低，不能滿足未來通信的需要.具有高通信速率的正交頻分復用(OFDM)技術越來越多的受到關注，但其面臨高峰均比，對頻率偏移敏感等問題［3-5］，對于復雜的水聲信道，限制了其發展.考慮到二者的優缺點，將二者結合的MC-DS技術起到了折中的作用，廣義的MCDS統具有可變的子載波間隔，不同的子載波間隔可以獲得不同的擴頻增益和載波信號之間的頻譜交疊.水聲信道可以看做是一個梳狀濾波器［6］，對于多載波通信來說，子載波間隔的選取和水聲信道的相干帶寬有關，MC-DS系統可以很方便地調整子載波間隔和擴頻增益來獲得更好的通信性能.

為了了解MC-DS系統在水聲通信中的性能，文中用Matlab仿真了在水聲多途信道和高斯白噪聲信道下，該系統誤碼率隨子載波間隔變化的曲線，得到了一個最優的子載波間隔，并通過水池試驗驗證了該結論.

1 系統模型

1.1 發射信號

廣義MC-DS系統的發射機框圖如圖1所示［7］，對于M進制相位調制，比特周期為Tb的原始數據流經過串/并轉換后變成U個低速子數據流，符號周期Ts=UTblbM，每個低速子數據流通過時域擴頻碼ck(t)進行擴頻，之后在U個子載波上分別調制.基于圖1，發射信號［8］可以表示為

式中:P是每個子數據流的發射功率;bu(t)=為第u個子數據流的二進制數據;bu［n］為等概率取值+1或－1的隨機變量;pτ(t)為矩形波;c(t)為時域擴頻碼，且對于所有的子載波而言，該擴頻碼相同.c(t)可以表示為

其中，cj取+1或－1，ψ(t)為時域擴頻序列的碼片波形，該波形定義在［0，Tc)上，其歸一化為∫Tc0ψ2(t)dt= Tc.最后，在式(1)中，φu為第u個載波調制的初始相位.

圖1 廣義MC-DS發射機框圖Fig.1 Block diagram of the generalized MC-DS transmitter

廣義MC-DS的頻譜如圖2所示，圖中Ws=2/ Tc1表示系統可以利用的帶寬，Tc1為一個對應的單載波擴頻信號的碼片持續時間，WDS=2/Tc表示每個DS擴頻子載波信號的零點到零點帶寬，Tc為碼片持續時間.相鄰子載波的頻率間隔為Δ=λ/TS，λ是歸一化子載波間隔，調整λ，可以改變子載波間隔.根據圖2，有以下關系式:

圖2 廣義MC-DS的頻譜Fig.2 Spectrum of the generalized MC-DS

定義Ne=Ts/Tc為廣義MC-DS系統中的子載波信號的擴頻增益［7］，N1=Tb/Tc1為對應的單載波擴頻系統的擴頻增益.將Ts=UTblbM=UN1Tc1lbM和Ts=NeTc代入式(3)，廣義MC-DS系統中的每個子載波信號的擴頻增益可以表示為

從上式可以看出，對于給定的帶寬W，子載波個數U和確定的調制方式，擴頻增益Ne隨歸一化子載波間隔λ的增大而減小.當λ=1時為多音MCDS系統，當λ=Ne時為正交MC-DS系統.

1.2 相關接收機

MC-DS系統的相關接收機結構框圖如圖3所示，在多途信道下，選擇輸出器選擇輸入信號幅度最大的支路進行解調，對于加性高斯白噪聲(AWGN)信道，對接收的信號同步后直接解調.假設接收機實現了理想的載波同步、定時同步和采樣率同步等.

當發射信號經過AWGN信道時，接收到的復基帶等效信號可以表示為

式中:n(t)為零均值、雙邊帶功率譜密度為N0/2的加性高斯白噪聲.假設接收端每個載波碼片波形的匹配濾波器時域沖激響應為ψ*(Tc－t)，對匹配濾波器的輸出波形以碼片速率采樣，則第一個發送符號的第u個子載波上的第n個觀測樣本可以表示為

將式(5)代入式(6)，yu，n可以表示為

其中，Nu，n是均值為零每維方差為 N0/2Eb的復AWGN采樣值.

式(7)中，IBIu，n是由其他子載波傳輸除bu［0］以外其他數據比特所引入的干擾，可以表示為

式中:Δfiu=fi－fu=λ(i－u)/Ts，Δφiu=φi－φu.從式(9)可以看出，干擾項IBIu，n和載波相位φ、碼片波形ψ和歸一化子載波間隔λ有關.因為φ是隨機變量，因此，最小化載波間干擾就是選擇合適的碼片波形和優化子載波間隔.文獻［8］證明了若使用矩形碼片波形且λ取整數，或者使用一般的碼片波形，λ取整數并使1－exp(j2πnΔfiuTc)≠0時，載波間干擾可以消除.

圖3 廣義MC-DS的相關接收機Fig.3 Related receiver of the generalized MC-DS

1.3 性能分析

文獻［8］給出了單用戶多載波DS-CDMA系統在頻率選擇性衰落信道下的BER性能，文中假設每個子載波信號經歷的是平坦衰落，即單個子載波信號的帶寬低于無線信道的相干帶寬.而對于水聲信道來說，相關帶寬要比空中無線信道小得多，因為水聲信道的多途時延比較大，對于淺海信道來說，其多途擴展有時可達到幾百毫秒［3］.這時信道的相干帶寬只有幾到十幾赫茲，而擴頻后的子載波信號的帶寬一般為幾十到幾百赫茲，甚至達幾千赫茲.因此，應該考慮單個子載波信號也受到頻率選擇性衰落的情況.

考慮時不變系統，時不變水聲信道模型為

式中:alp與τlp分別為第lp條路徑的復增益和時延，共Lp條離散路徑.則MC-DS信號經過上述信道后接收信號可以表示為

式中:n(t)為零均值、雙邊帶功率譜密度為N0/2的加性高斯白噪聲.接收機選擇輸出信號幅度最大的路徑(假設為第l條路徑)進行解調.如圖3所示，假設接收機能夠實現碼同步，則不妨設τ1=0.設發射的第一個符號為bv(v=1，2，…U)，為了檢測該數據比特，相應的判決變量可以表示為

其中，將式(11)代入式(12)中，Zv可以表示為

式中:Nvl由式(11)中的n(t)決定;Nvl是均值為零、方差為的高斯隨機變量，Eb=PTs代表每個數據比特的能量.Dvl為期望輸出，結合式(11)和式(12)且設lp=l，u=v，可以得到

其中，bu［－1］和bu［0］分別表示第u個子載波所傳輸的前一個和當前的數據比特;θvlp=φvlp－φvl是均勻分布在［0，2π)上的隨機變量;R(τlp)和(τlp)分別為擴頻序列波形c(t－τ)和c(t)的部分碼片互相關函數:

最后，式(13)中多載波干擾項可以表示為

由于第u和第v個載波的頻率fu和fv不同，所以重新定義c(t－τ)和c(t)的部分相關函數:

上面分析了式(13)中的干擾項，為了討論系統的誤碼性能，下面分析一下這些干擾項的統計特性.容易看到，當u=v時，I(s)1=I(s)2，因此只需討論I(s)2的統計特性即可.假設信源由獨立同分布的二進制比特構成，基于標準高斯近似理論［9-10］多載波干擾(multi-carrier interference，MCI)項I(s)2可以近似為零均值方差為式(23)所示的高斯隨機變量:

其中，Ωulp=E[(aulp)2]，由文獻［10］可得

將式(24)代入式(23):

令u－v=x，則

假設多徑強度分布(multipath intensity profile，MIP)服從負指數分布，即Ωulp=Ωoexp(－ηlp)，η＞0，且對于不同的子載波處的抽頭強度是獨立的隨機變量，則式(27)可以重新表示為

其中，q(Lp，η)=(1－e－ηLp)/(1－e－η)，推導上式過程中，Ωul由其均值代替，即Ωul=q(Lp，η)/Lp.

由以上推導，可以得到Zv(v=1，2，…U)是均值E［Zv］=bv［0］和方差如式(29)所示的高斯隨機變量.對于給定的衰落幅度aul(l=0，1，…L－1)，QPSK調制的MC-DS系統的誤碼率可以表示為

其中，

Q(x)代表高斯Q函數，經典定義為［11］

則MC-DS系統的平均BER可以表示為

式中:f(γ)是γ的功率譜密度.

從分析可以看出，MC-DS系統在多途信道中的平均BER除了和信號與噪聲的功率有關外，還和多途信道的路徑數、衰落幅度、歸一化子載波間隔有關.由于水聲信道尚無統一的建模方法，很難給出f(γ)，所以文中不給出BER的閉式解，下節結合不同的水聲信道條件給出仿真的結果.

2 MC-DS系統在水聲信道中的性能

2.1 仿真結果

通過Matlab仿真研究在高斯白噪聲信道和水聲多途信道下MC-DS系統隨載波間隔變化的誤碼性能.上節分析了系統在兩種信道的誤碼率和哪些因素有關，現給出不同信道條件下的仿真結果.圖4給出了在高斯白噪聲信道下，歸一化子載波間隔λ對MC-DS系統BER性能的影響，其中，仿真參數為:單載波擴頻系統的擴頻增益N1=32，子載波個數U=7，系統帶寬 B≈2～4 kHz，調制方式為QPSK，擴頻碼片波形為矩形，根據式(4)，可得正交時系統的歸一化子載波間隔λ=112.

圖4 AWGN信道下，MC-DS系統BER性能Fig.4 The BER performance of the MC-DS system in AWGN channel

圖5 淺海信道聲速分布Fig.5 The sonic speed distribution of the shadow sea channel

從圖4可以看出，在AWGN信道下，BER隨λ變化較為平穩，無明顯的起伏，此時多音MC-DS具有更明顯的優勢，因為可以容納更多的載波，從而承載更多的信息.

對于水聲多途信道，主要討論了淺海信道下MC-DS系統的誤碼性能.仿真的淺海信道聲速分布如圖5所示，采用某軟件仿真的淺海水聲信道［12］，模擬海深約為50 m，聲源位于水平距離0 m、垂直深度20 m的位置，接收水聽器位于水平距離5 km、垂直深度18 m的位置，仿真獲得的信道沖激響應如圖6所示.

圖6 淺海水聲信道沖激響應Fig.6 The impulse response of the shadow sea channel

圖7 淺海信道下系統的BER曲線Fig.7 The BER curve of the system in the shadow channel

在水聲多途信道下，MC-DS系統的BER隨歸一化子載波間隔λ變化的曲線如圖7所示，從圖中可以看出，BER隨λ的變化有明顯的起伏，在多音時出現了一個極小值，同時在正交附近，小于正交時又出現了一個次極小值，系統的誤碼率同時受擴頻增益和子載波之間的頻譜交疊程度影響，調整λ來最小化載波間干擾，當二者達到一個平衡點時，將會使系統的誤碼率達到最小，這時的λ稱為最優的子載波間隔λopt，至于最小值出現在何處，與水聲多途信道的結構有關，從仿真結果來看，兩個極小值點出現在多音和正交附近.

2.2 水池實驗結果

為了驗證MC-DS系統在水聲信道中的性能，在哈爾濱工程大學信道水池進行了試驗.該水池有效長度為45 m，寬6 m，水深5 m，四周布有吸聲尖劈，池底為沙底，接收與發射換能器均無指向性，位于水池中央位置，深度均為2 m，相距約15 m，通過發送LFM信號測試信道的沖激響應如圖8所示.

圖8 水池信道沖激響應Fig.8 The impulse response of the pool channel

圖9 水池信道下系統的BER曲線Fig.9 The BER curve of the system in the pool channel

為了得到MC-DS系統在水池信道下的BER隨子載波間隔變化的趨勢，利用測試的水池信道沖激響應作為仿真信道，仿真結果如圖9所示，仿真參數為:N1=32，U=7，B為6～8 kHz，調制方式為QPSK，擴頻碼片波形為矩形.從圖10中可以看到BER在多音時出現了極小值，正交附近出現一個次極小值，但多音時的BER要低于正交時的BER，圖10給出了載波數分別為8、7、4時的水池試驗結果，相對應的正交歸一化載波間隔為114、112、102.

從接收信號的星座圖可以看出，在λ多音時星座圖比較收斂，在λ=50和正交時星座圖比較發散，主要是由于隨著載波間隔的增大，子載波的帶寬減小，不同載波受到不同程度的衰落，導致接收信號能量的分散.從圖10(d)水池信道的幅頻響應可以看出，在發射信號頻帶內信道的最大衰落達15 dB，而且隨著子載波間隔的增大，擴頻增益減小.雖然子載波間隔的增大可以減小頻譜交疊，抑制載波間干擾，但是擴頻增益的減小對系統性能的影響起主要作用，二者之間的權衡受多途信道的影響.對比仿真的淺海信道和水池信道下的誤碼率曲線，可以看到水池信道下，多音時獲得的優勢更明顯，是因為水池多途信道要比仿真信道簡單，最大多途時延比較小，多途干擾比較小，因此引起的載波間干擾比較小，這時擴頻增益對誤碼性能的影響起主要作用.

圖10 水池試驗結果Fig.10 The experimental results in the pool

3 結束語

文中分別討論了在水聲多途信道和高斯白噪聲信道下，MC-DS系統的誤碼性能隨子載波間隔變化的趨勢.從仿真和水池試驗結果可以看出，在多途干擾比較小或高斯白噪聲信道下，多音MC-DS更占優勢，因為此時的載波間干擾較小，影響系統的主要因素是擴頻增益，多音時獲得了更大的擴頻增益.同時在正交時出現了一個次極小值，對于多途干擾比較嚴重的水聲信道，多音時頻譜嚴重混疊，擴頻增益獲得的優勢不如減小碼元長度帶來的優勢大，誤碼率極小值可能出現在正交附近.因此，可以得出結論，無論在何種信道下，總會有一個最優的子載波間隔使系統的性能最優，這個最優的子載波間隔會隨信道的變化而變化.

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