向量組的極大無關組求法的一個注記

王 晨

（甘肅林業職業技術學院 甘肅 天水 741020）

在《線性代數》課程的教學內容里，利用矩陣的初等行變換求解一個向量組的極大無關組的方法、是該課程教學內容中必不可少的一部分。 但是大部分教材都是直接通過例題演示了如何利用矩陣的初等行變換法來求出一個向量組的極大無關組，而并未給出該解法可行的理論基礎。或者只是方程組的角度做了簡單的描述。本文將從線性變換的角度出發對上述求解極大無關組的方法的可行性加以注記。

1 定理及其推論

定義 1 映射 T：Rn→Rm稱為單射，若?a，b∈Rn，且 a≠b，則 T（a）≠T（b）。

定義2 映射T：Rn→Rm稱為滿射，若Rm中的每個y在Rn都能找到原像。

定理1 線性變換 T：T （x）＝Px是 Rn→Rn的雙射的充要條件是n階方陣P可逆。

證明：必要性 因為 T：Rn→Rn是雙射，則 T（x）＝0 即 Px＝0有唯一解。那么n階方陣P可逆。

充分性 設 T（a）＝T（b），則 P（a－b）＝0，由 P 為可逆矩陣，有 P（a－b）＝0 僅有零解。那么 a＝b。即線性變換 T 是 Rn→Rn的單射。

又因為A為可逆矩陣，則?b∈Rn，Ax＝b都有唯一解。那么T是Rn→Rn滿射。

定理2 若線性變換T：Rn→Rn是雙射，則

1）x1，x2，…，xk線性相關?T（x1），T（x2），…，T（xk）線性相關。

2）若 x＝c1x1＋c2x2＋…＋ckxk?

火星快車號帶著宇宙尋水的任務，于2004年被發射升空，經過長達6個月的太空飛行，到達火星軌道，開始探測火星之水。至今，它已經工作了14個年頭，可以稱得上是宇宙尋水的老前輩了。

證明：1）必要性 顯然。

充分性：設存在不全為零的數ci使得

由 T（c1x1＋c2x2＋…＋ckxk）

又因為，T：Rn→Rn是雙射，則必有

2）必要性 顯然。

充分性 T（x）＝c1T（x1）＋c2T（x2）＋…＋ckT（xk）

又因為，T：Rn→Rn是雙射，則必有

推論 若線性變換T：Rn→Rn是雙射，則

x1，x2，…，xk線性無關?T（x1），T（x2），…，T（xk）線性無關。

根據以上定理我們可以推斷：

設矩陣 A=（x1，x2，…，xn），其中 xi為 n 維列向量。 對矩陣A施行初等行變換相對于給矩陣左乘一個可逆矩陣P即存在線性變換 T：T（x）＝Px 是 Rn→Rn的雙射

則 PA＝P（x1，x2，…，xn）＝（Px1，Px2，…，Pxn）＝B

x1，x2，…，xk線性無關?Px1，Px2，…，Pxk線性無關。

Px＝c1Px1+c2Px2+…+ckPxk矩陣A的列向量的線性相關性與矩陣B的列向量線性相關性完全保持一致。那么我們可以從矩陣B的列向量組的極大無關組得到矩陣A的對應列即為矩陣A的列向量組的極大無關組。

2 應用舉例

求矩陣A的列向量組的一個極大無關組，并將其他列向量用極大無關組線性表出。

對矩陣A施行初等行變換，將其化為行最簡形矩陣B

即存在線性變換 T：T（x）＝Px 是 R3→R3的雙射

則 PA＝P（x1，x2，x3，x4）＝（Px1，Px2，Px3，Px4）＝B

矩陣B中的列向量Px1，Px2是其列向量組的極大無關組，那么我們由上述推斷可得，矩陣A中對應的列向量x1，x2也是矩陣A的列向量組的極大無關組。

又由矩陣B的列向量的線性組合關系

可得，x3＝x1＋x2，x4＝－2x1＋x2

［1］David C.Lay.線性代數及其應用[M].劉深泉，等，譯.北京:機械工業出版社,2005.

［2］同濟大學數學系.工程數學:線性代數[M].北京:高等教育出版社,2007.