基于小波變換估計噪聲方差的輪速信號卡爾曼濾波器＊

陳威 陳慧

（同濟(jì)大學(xué) 新能源汽車工程中心）

1 前言

由于輪速的干擾信號隨機(jī)性較強(qiáng)且受路面不平度影響較大，傳統(tǒng)的巴特沃斯、貝塞爾等數(shù)字濾波技術(shù)往往無法消除干擾的影響[1]。有學(xué)者利用小波包分析技術(shù)將干擾信號與正常信號剝離，以此為汽車輪速信號去噪[2，3]。但是小波包分析運算量較大，并不適合計算機(jī)實時運算。卡爾曼濾波是基于線性最小方差估計的濾波器，算法具有遞推性，適合計算機(jī)實時運算，因而被廣泛應(yīng)用于信號去噪和濾波。但在狀態(tài)噪聲和觀測噪聲統(tǒng)計特征描述不準(zhǔn)確的情況下，卡爾曼濾波器性能將嚴(yán)重惡化，甚至出現(xiàn)濾波失效發(fā)散等現(xiàn)象[4]。

因此，本文利用小波變換事先提取出不同輪速下的觀測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差變化規(guī)律，再進(jìn)行卡爾曼濾波，并根據(jù)輪速變化實時地自適應(yīng)調(diào)整觀測噪聲方差值，從而避免了卡爾曼濾波失效問題。

2 輪速信號卡爾曼濾波器

2.1 卡爾曼濾波基本方程

不考慮控制作用，設(shè)隨機(jī)線性離散系統(tǒng)的方程為：

式中，Xk是系統(tǒng)的狀態(tài)序列；Zk是系統(tǒng)的觀測序列；Wk-1是系統(tǒng)過程噪聲；Vk是系統(tǒng)觀測噪聲；Φk,k-1是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk,k－1是噪聲輸入矩陣；Hk是觀測矩陣。

隨機(jī)線性離散系統(tǒng)基本卡爾曼濾波方程[5]：

2.2 輪速估計的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

設(shè) t時刻的輪速值為 ω（t），在 t時刻將 ω（t）按泰勒公式展開[6]，取2階導(dǎo)數(shù)項：

對式（4）求1階導(dǎo)數(shù)和2階導(dǎo)數(shù)：

式中，Δt是 t時刻領(lǐng)域內(nèi)任一時刻；w1（t）、w2（t）和 w3（t）是泰勒展開余項。

若采樣時間為 T，則將式（4）、式（5）和式（6）進(jìn)行離散化，可以得到卡爾曼濾波的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，假設(shè)系統(tǒng)過程噪聲Wk和觀測噪聲Vk皆為零均值白噪聲，且系統(tǒng)過程噪聲方差為（經(jīng)試驗分析=4.4），故其矩陣為：

但是，系統(tǒng)觀測噪聲方差Rk在未知噪聲統(tǒng)計特征的情況下難以確定，因此在卡爾曼濾波前必須事先分析確定觀測噪聲的統(tǒng)計特征。

2.3 不準(zhǔn)確的觀測噪聲統(tǒng)計特征對濾波性能影響

一般而言，不準(zhǔn)確的觀測噪聲方差會污染卡爾曼濾波器，導(dǎo)致其給出的結(jié)果嚴(yán)重偏離真值，不能反映狀態(tài)估計精度。

利用MATLAB/Simulink仿真軟件，更能直觀地表明觀測噪聲方差不準(zhǔn)確對濾波性能的影響，如圖1所示。仿真模型中真實信號為幅值10 r/min、偏置100 r/min的正弦輪速信號。在真實信號上疊加方差為 0.1的噪聲信號，利用式（7）～式（11）所構(gòu)建的卡爾曼濾波器進(jìn)行濾波去噪。在卡爾曼濾波迭代算法中所采用的觀測噪聲方差為真實方差的0.1～10倍。圖1中橫坐標(biāo)表示計算用噪聲方差和真實噪聲方差的倍數(shù)關(guān)系，縱坐標(biāo)為卡爾曼濾波器輸出估計值方差。從圖1可以看出，在真實噪聲方差附近，即圖1中橫坐標(biāo)為1處，實際估計值方差最小。當(dāng)計算用噪聲方差和真實噪聲方差相差變大時，實際估計值方差也將變大。因此，在先驗信息不完全的情況下，采用與真實噪聲方差相差較多的觀測噪聲方差進(jìn)行卡爾曼濾波無法體現(xiàn)狀態(tài)濾波的精度。

2.4 小波變換提取輪速信號噪聲統(tǒng)計特征

本文研究平臺是某分布式驅(qū)動電動汽車，圖2為其實際測得的某個車輪輪速信號，該信號來自于輪轂電機(jī)中的旋轉(zhuǎn)變壓器。從圖2中可以看出，輪速增大時噪聲信號的干擾強(qiáng)度隨之增大。

若觀測噪聲的統(tǒng)計特征發(fā)生變化，僅依靠固定的觀測噪聲方差對觀測噪聲進(jìn)行描述不可取，需要自適應(yīng)調(diào)整觀測噪聲方差來進(jìn)行實時估計。

根據(jù)Stone－Weierstrass理論可知，任一有界閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以由該區(qū)間內(nèi)的多項式以任意精度一致逼近[8]。

輪速信號u（t）可以表示為：

式中，γi為多項式系數(shù)（i=1，2，…，L）。

則觀測含噪聲的序列可表示為：

式中，δ（t）為噪聲信號。

設(shè) φa（t）是一個小波函數(shù)，且有：

式中，a是尺度因子。

對z（t）的小波變換可表示為：

式中，*為卷積運算。

若 φ（t）有M 個消失矩，且有一個正整數(shù) k，滿足 k＜M，則：

因此，當(dāng)選擇有K（K＞L）消失矩的小波函數(shù)φ（t）時，z（t）的小波變換就抑制了信號而保留了噪聲分量，則：

在t時刻的標(biāo)準(zhǔn)差估計值為：

式中，a 取 0.5；Med（）為中值函數(shù)。

因此，在輪速傳感器觀測噪聲未知的情況下，可利用小波變換分析該輪速信號噪聲。選擇2 s作為觀測序列窗口的時間長度，每往觀測方向上移動0.2 s就觀測窗口一次，直至遍歷所有序列為止，具體如圖3所示。

觀測小波選擇使用消失矩為7的經(jīng)典DB小波，利用式（18）觀測滑動窗口中序列并估計出噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)差的平方即為方差）。利用2次曲線

擬合所有滑窗中觀測序列結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，輪速噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差隨著輪速增加近似成2次曲線增長。因此，在輪速信號卡爾曼濾波器中，Rk的取值隨著輪速變化進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，整體估計算法流程如圖5所示。

3 試驗結(jié)果

利用裝有4個輪轂電機(jī)的某分布式驅(qū)動電動汽車研究平臺進(jìn)行實車試驗數(shù)據(jù)采集，如圖6所示。利用dSPACE公司的MicroAutobox采集車輪輪速數(shù)據(jù)，采樣頻率為100 Hz。

為保證盡可能排除轉(zhuǎn)向和路面傾斜對輪速測量的影響，試驗選擇在一條平坦、干燥、長約300 m的瀝青路面上進(jìn)行。記錄旋轉(zhuǎn)變壓器輸出的輪速信號，隨后在計算機(jī)上利用事先編譯好的自適應(yīng)卡爾曼濾波器進(jìn)行離線濾波處理，此時4個車輪的輪速信號已經(jīng)經(jīng)過小波變換事先提取出其噪聲的統(tǒng)計特征。

圖7和圖8分別給出了試驗車輛在加速和減速2種工況下某個車輪輪速的測量原始信號和自適應(yīng)卡爾曼濾波后的信號。

從圖7和圖8中可以看出，自適應(yīng)卡爾曼濾波器能夠適應(yīng)加速和減速2種基本工況，而且濾波效果平滑，輪速信號延時小，響應(yīng)較快，即經(jīng)過濾波后的輪速信號可以用來估計縱向車速等車輛狀態(tài)量。

為了表現(xiàn)自適應(yīng)卡爾曼濾波器的優(yōu)勢，在試驗數(shù)據(jù)處理時加入了非自適應(yīng)卡爾曼濾波器的處理結(jié)果進(jìn)行對比，如圖9所示，非自適應(yīng)卡爾曼濾波器采用一個固定的觀測噪聲方差Rk。從圖9可以看出，與非自適應(yīng)卡爾曼濾波后輪速信號相比，自適應(yīng)卡爾曼濾波后輪速信號曲線平滑，受噪聲影響較小。當(dāng)輪速增大至一定數(shù)值后，實際觀測噪聲方差將大于這個固定值，因此非自適應(yīng)卡爾曼濾波器中的計算用觀測噪聲方差Rk將變得不準(zhǔn)確，顯著降低了其濾波去噪功能。而自適應(yīng)卡爾曼濾波器可以自動調(diào)整觀測噪聲方差值，保證了卡爾曼濾波器的濾波效果。

4個車輪的輪速信號噪聲統(tǒng)計特征由于受機(jī)械磨損或電磁干擾等影響，可能會存在一定差異。因此針對不同的車輪輪速信號可以使用不同的自適應(yīng)系統(tǒng)觀測噪聲方差Rk來調(diào)整其卡爾曼濾波器，使估計算法準(zhǔn)確地跟隨觀測信號噪聲變化。

4 結(jié)束語

搭建了輪速信號卡爾曼濾波器，并使用小波分析工具事先提取了觀測噪聲的統(tǒng)計特征，利用2次曲線擬合出噪聲的統(tǒng)計規(guī)律，確定了卡爾曼濾波器中的系統(tǒng)觀測噪聲方差值并進(jìn)行了自適應(yīng)調(diào)整。試驗結(jié)果表明，該估計算法能適應(yīng)輪速信號噪聲方差的變化，結(jié)構(gòu)簡單、計算量小，有效避免了在未知觀測噪聲條件下卡爾曼濾波出現(xiàn)失效問題。

1 蔣克榮，唐向清，朱德泉.基于改進(jìn)閾值小波算法的汽車輪速信號處理.儀器儀表學(xué)報，2010，4（31）:736～740.

2 蔣克榮，許澤銀，高榮.汽車輪速信號的小波包分析.微計算機(jī)信息，2010，26（3－2）:22～24.

3 蔣克榮，許澤銀，高榮.小波包方法在汽車輪速信號處理中的應(yīng)用.現(xiàn)代制造工程，2010，5:99～101.

4 高羽，張建秋.小波變換域估計觀測噪聲方差的Kalman濾波算法及其在數(shù)據(jù)融合中的應(yīng)用.電子學(xué)報，2007，1（35）:108～111.

5 付夢印，鄧志紅.Kalman濾波理論及其在導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用.北京:科學(xué)出版社，2010.

6 譚德榮，張莉，王艷陽.基于自適應(yīng)卡爾曼濾波的輪速信號處理技術(shù).汽車工程，2009，6（31）:533～535，578.

7 王仁廣，劉昭度，齊志權(quán)，馬岳峰.基于自適應(yīng)卡爾曼濾波算法確定汽車參考車速.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報，2006，4（37）:9～11，41.

8 劉清，曹國華.基于噪聲方差估計和模型參考的傳感器動態(tài)補(bǔ)償.江蘇大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，6（30）：601～605.