一類多葉解析函數的性質

徐能，朱惠秋

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500；2.常熟市外國語初級中學，江蘇常熟 215500）

一類多葉解析函數的性質

徐能1，朱惠秋2

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500；2.常熟市外國語初級中學，江蘇常熟 215500）

解析函數；p葉函數；星形函數；近于凸函數；從屬

1 引言

設f(z),F(z)在單位開圓盤U={z:|z|＜1}內解析，我們稱函數f(z)在U內從屬于F(z)并記作f(z)?F(z)(z∈U)，如果存在U內解析函數w(z)使|w(z)≤|z|且f(z)=F(w(z))(z∈U).又若F(z)在U內單葉，則f(z)?F(z)(z∈U)當且僅當f(0)=F(0)，f(U)?F(U).

的解析函數類.若f(z)∈Ap,n滿足

稱f(z)在類kp,n中.熟知kp,n中每一函數是p葉近于凸的.若f(z)∈Ap,n滿足

為避免重復，全文設

我們引進Ap,n的新子類Hp,n(A,B,α,λ)如下：

定義函數f(z)∈Ap,n稱為在類Hp,n(A,B,α,λ)中，若f(z)滿足

2 一些準確的界

容易知道（1.6）定義的函數h(z)可展開成

（2.3）和（2.4）中的界皆準確，有極值函數

證明由于（1.6）定義的解析函數h(z)在U內凸（單葉）的（見文獻[11]）且滿足h=(z∈U),故當|ξ|≤σ(ξ∈C;σ＜1)有

設f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),則按定義可知

類似地，從（2.2），（2.6）右端不等式與（2.8）可得到（2.4）.

對于（2.5）定義的函數f(z)，容易驗證

結果皆準確.

證明當λ=1，從定理1證明中（2.9）得

由此立得（2.10）.類似的，從

可得（2.11）.而且所得估計皆準確，有極值函數

定理2設f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),則當z∈U有

結果皆準確.

證明設f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),因為

利用定理1中（2.3），從（2.17）產生

同理，利用定理1中（2.4）與（2.17）可得（2.16）.而且，（2.5）定義的函數表明（2.15）和（2.16）是準確的.

推論2設f(z)∈Hp,n(A,B,α,),則當z∈U有

結果皆準確.

證明設f(z)∈Hp,n(A,B,α),則從推論1證明中（2.12）產生

即（2.18）成立，類似地，利用（2.13）和（2.17）可得（2.19）.而且，（2.14）給出的函數f(z)表明所得結果（2.18）和（2.19）皆準確.

定理3設f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ),AB≤1，則當z∈U有

結果是準確的.

證明已知

因為AB≤1，有1-ABσ2＞0，于是（2.21）產生

現在，對于z∈U與0≤u≤1，從（1.6），（2.2），（2.8）和（2.22）導致

此外，（2.20）中等號被（2.5）定義的函數f(z)在z=|z|到達.定理得證.

引理1[12]若

估計（2.24）是準確的.

證明注意h(z)=1+λ(A-B)z+…，函數

此即要證的估計（2.24）.

其次，考慮函數

我們看到f(z)∈Hp,n(A,B,α,λ)且系數估計（2.24）是準確的.

3 Hp,n(A,B,λ)的p葉近于凸性與p葉星形性條件

定理5Hp,n(A,B,λ)是kp,n的子類當且僅當

證明設f(z)∈Hp,n(A,B,λ)且條件（3.1）是滿足的，則由推論1中（2.10）有

故f(z)∈kp,n.從而Hp,n(A,B,α)?kp,n.

另一方面，假設

最后給出Hp,n(A,B,α)?的充分條件.為此需要以下結果：

引理2（文獻[13]，定理4（i））設內解析，g(z)≠a.若0＜|z0|＜1， Reg(zo)=min|z|≤|z0|Reg(z)，則

定理6設

則Hp,n(A,B,α)是的子類.

證明首先注意當B≥0時，不等式（3.7）顯然產生不等式（3.8）.設f(z)∈Hp,n(A,β,α)則

由（3.7）和推論1中（2.10）得

從而（3.8）和推論2中（2.18）產生

因此，函數

下面要證Reg(z)＞0(z∈U).假設存在點zo(0＜|zo|＜1)使得

則應用引理2有

當α≥1，利用（3.9），（3.11），（3.12）和（3.16），從（3.14）推出

但（3.17）與（3.10）（在z=z0）不相容，從而必有

[1]Chichra P N.New subclasses of the class of close-to-convex functions[J].Proc Amer Math Soc,1977,62:37-43.

[2]Singh R,Singh S.Convolution properties of a class of starlike functions[J].Proc Amer Math Soc,1989,106:145-152.

[3]Ali R M.On a class of starlike functions[J].Rocky Mount J math,1994,24:447-541.

[4]Silverman H.A class of bounded starlike functions[J].Int J Math Math Sci,1994,17:249-252.

[5]Yang D G.Properties of a class of analytic functions[J].Math Japon,1995,41:371-381.

[6]Ponnusamy S,Singh V.Criteria for strongly starlike functions[J].Complex Variables,1997,34:267-291.

[7]Kim Y C,Srivastava H M.Some applications of a differential subordination[J].Int J Math Math Sci,1999,22:649-654.

[8]Kim Y C.Mapping properties of differential inequalities related to univalent functions[J].Appl Math comput,2007,187:272-279.

[9]Yang D G,liu J L.On a class of analytic functions with missing coefficirnts[J].Appl Math Comput,2010,215:3473-3481.

[10]Yang D G,liu J L.A class of analytic functions with missing coefficients[J].Abstract Appl Anal,2011,2011:1-16.

[11]Srivastava H M,Yang D G,Xu N.Some subclasses of meromorphically multivalent functions associated with a linear operator[J]. Appl Math Comput,2008,195:11-23.

[12]Duren P L.Univalent functions[M].New York:Springer-Verlag,1983.

[13]Miller S S,Mocanu P T.Second order differential inequalities in the complex plane[J].J Math anal appl,1987,65:289-305.

Properties of a Class of Multivalent Analytic Functions

XU Neng1,ZHU Hui-qiu2
(1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.Changshu Foreign Language Junior Middle School,Changshu 215500,China)

analytic functions;p-valent function;starlike function;close-to-convex function;subordination

0174.51

A

1008-2794（2012）04-0016-08

2012-02-28

國家自然科學基金項目“亞純函數正規族”子課題（11171045）

徐能（1961—），男，江蘇常熟人，教授，研究方向：函數論.