分?jǐn)?shù)階積分微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性

朱彥，顧長(zhǎng)超，吳婷，孫琳

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

分?jǐn)?shù)階積分微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性

朱彥，顧長(zhǎng)超，吳婷，孫琳

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

利用Banach壓縮映像原理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了一類分?jǐn)?shù)階積分微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性和唯一性.

分?jǐn)?shù)階積分微分方程；邊值問題；存在性；唯一性；不動(dòng)點(diǎn)定理

1 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題和邊值問題引起了廣泛的關(guān)注.除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，還在光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、控制和機(jī)器人等領(lǐng)域均有應(yīng)用．隨著分?jǐn)?shù)階微分方程理論知識(shí)的不斷發(fā)展[[1-2]，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解的相關(guān)性質(zhì)的研究成果也層出不窮[3-8].但大多數(shù)僅僅是對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究，隨著分?jǐn)?shù)階微分方程在越來越多的科學(xué)領(lǐng)域里出現(xiàn)，從實(shí)際問題抽象出來的方程很有可能是較為復(fù)雜的含積分的分?jǐn)?shù)階微分方程，從而對(duì)分?jǐn)?shù)階積分微分方程的研究顯得尤為迫切.

文獻(xiàn)[3]和[4]討論了分?jǐn)?shù)階積分微分方程邊值問題解的存在性和唯一性.受其啟發(fā)，本文研究了下面分?jǐn)?shù)階積分微分三點(diǎn)邊值問題

其中k∈(J×J,R+),另記

本文中我們首先給出有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分方程的基本概念和準(zhǔn)備知識(shí)；其次將邊值問題（1）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程；最后，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理得到解的存在性和唯一性的兩個(gè)充分條件.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

其中，α＞0，Γ(?)為gamma函數(shù)，右邊在(0,∞)上是逐點(diǎn)定義的.

定義2.2函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分為

其中，n=[α]+1,[α]表示α取整，右邊在(0,∞)上是逐點(diǎn)定義的.

引理2.3若u∈C(0,1)?L(0,1)有α階導(dǎo)數(shù)屬于C(0,1)?L(0,1)，則

ci∈R,i=1,2,…,N,其中N=[α]+1.

引理2.4[6]假設(shè)函數(shù)h∈C(J,R),則函數(shù)u是分?jǐn)?shù)階積分方程

的解，當(dāng)且僅當(dāng)u是下述分?jǐn)?shù)階邊值問題

的解，其中d=(Tα-β-1-aξα-β-1)-1＞0.

對(duì)于可測(cè)函數(shù)m:J→R,定義其范數(shù)為

定理2.6（Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)D是Banach空間X的非空閉子集，映射A,B滿足：

（ⅰ）當(dāng)x,y∈D時(shí)，Ax+By∈D；

（ⅱ）A是連續(xù)且緊的；

（ⅲ）B是一個(gè)壓縮映射；

則存在z∈D,使得z=Az+Bz.

3 主要結(jié)論

定義X=C(J,R),其范數(shù)‖u‖=supt∈J|u(t)|,顯然X為一個(gè)Banach空間.

接下來，我們分別利用壓縮映像原理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理給出了邊值問題（1）解的存在性和唯一性的兩個(gè)充分條件.

貫穿全文，給出下列條件：

（H1）f:J×R×R→R是連續(xù)的；

（H2）存在q1∈(0,1)和一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù),使得對(duì)每一個(gè)t∈J和所有的u∈X,都有|f(t,u(t),(Au)(t))|≤h(t);

為了方便，引入下列記號(hào)

定理3.1假設(shè)條件（H1）-（H3）成立，如果

則邊值問題（1）有唯一解.

證明由引理2.4可知，邊值問題（1）等價(jià)于下述積分方程

因此，將邊值問題（1）的唯一解等價(jià)于映射F在Br上有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

首先證明F:Br→Br.由條件（H2）和Holder不等式有

從而有‖F(xiàn)u‖≤r,即F:Br→Br.

再證，F(xiàn)在Br上是一個(gè)壓縮映射.對(duì)任意的u,v∈X,t∈J，由條件（H3）和Holder不等式有

由Banach壓縮映像原理可知，邊值問題（1）有唯一解.

定理3.2假設(shè)條件（H1）-（H3）成立，如果

則邊值問題（1）至少有一個(gè)解.

證明將邊值問題（1）轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問題，在Br上定義映射F如定理3.1中（3）式所示.為了利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，我們將映射F拆分為F1+F2,其中

為方便起見，我們將證明過程分為以下幾步.

（Ⅰ）對(duì)任意u,v∈Br,有F1u+F2v∈Br.

由定理3.1的證明可知因此，F(xiàn)1u+F2v∈Br.

（Ⅱ）F1是一個(gè)壓縮映射.

顯然F1:Br→Br.對(duì)任意的u,v∈Br,t∈J,由條件（H3）和Holder不等式有

因此，F(xiàn)1是一個(gè)壓縮映射.

（Ⅲ）要證F2是連續(xù)且緊的.

先證F2是連續(xù)的.取{un}?X,使得un→u.由Lebesgue控制收斂定理，當(dāng)un→u時(shí)，Aun→Au.因此，對(duì)每一個(gè)t∈J,有

由f的連續(xù)性，我們有‖F(xiàn)2un-F2u‖→0,n→∞.

其次，證F2將有界集映成有界集，即證存在μ＞0,使得對(duì)每一個(gè)u∈Br={y∈X:‖y‖≤r},都有‖F(xiàn)2u‖≤μ.

對(duì)每一個(gè)t∈J,由（H1）和Holder不等式有

最后，證F2將有界集映成等度連續(xù)集.

取0＜t1＜t2＜T,u∈Br,則有

當(dāng)t2→t1時(shí)，有|(F2u)(t2)-(F2u)(t1)|→0,則F2在J上等度連續(xù).

因此，由Arzela-Ascoli定理，F(xiàn)2是連續(xù)且緊的.

結(jié)合以上證明及Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，邊值問題（1）至少有一個(gè)解.

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Existence of Solutions for Fractional Integrodifferential Equations with 3-point Boundary Value Problem

ZHU Yan,GU Chang-chao,WU Ting,SUN Lin
(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230039,China)

In this paper,a study is made of existence and uniqueness of fractional integrodifferential equations with 3-point boundary value conditions by means of Banach contraction principle and Krasnoselskii fixed point theorem.

fractional integrodifferential equations;boundary value problem;existence;uniqueness;fixed point the?orem.

O175.8

A

1008-2794（2012）04-0035-06

2012-03-17

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金聯(lián)合資助課題“隨機(jī)泛函微分方程的單調(diào)半流理論及應(yīng)用”（20113401110001）

朱彥（1988—），女，江蘇泰州人，安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院研究生，研究方向：微分方程．