簡單層次網(wǎng)絡(luò)上的自組織臨界行為

楊秋英，顏學(xué)文

（常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟 215500）

簡單層次網(wǎng)絡(luò)上的自組織臨界行為

楊秋英，顏學(xué)文

（常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟 215500）

采用改進的二維格子地震（OFC）模型研究了簡單兩層網(wǎng)絡(luò)上的雪崩行為.考慮到層間的性質(zhì)或功能有差異，在OFC模型中引進層內(nèi)控制參量α和層間控制參量β，得到其雪崩大小在一定范圍內(nèi)滿足冪律分布，超出一定的值，系統(tǒng)便不再處于自組織臨界態(tài)，而處于超臨界態(tài).另外，膜電位平均值的時間序列的功率譜也近似滿足1/5冪律行為.

改進的OFC模型；層次網(wǎng)絡(luò)；自組織臨界行為

1 引言

自組織臨界性（SOC）是Bak、Tang和Wiesenfeld在1987年提出來的[1]，主要指一大類有多個單元組成的復(fù)雜系統(tǒng)，在外界驅(qū)動和內(nèi)部組元間的相互作用下，能夠通過一個漫長的自組織過程演化到一個動力學(xué)臨界狀態(tài).在這個狀態(tài)下，系統(tǒng)的一個微小的擾動可能會通過類似“多米諾效應(yīng)”的機制被放大，延伸到整個系統(tǒng)，形成大雪崩，其特征是雪崩大小分布遵從冪律分布.SOC理論可以用來解釋很多復(fù)雜系統(tǒng)（例如地震系統(tǒng)[2]，生物演化系統(tǒng)[3]，經(jīng)濟系統(tǒng)[4]等）中出現(xiàn)的冪律行為.至1993年，相繼提出了幾個SOC模型[5-9]，其中之一是Olami、Feder和Christensen提出的OFC地震模型，他們在二維規(guī)則格點網(wǎng)絡(luò)上模擬地震行為，并假設(shè)每個方向上的能量或力的傳輸是均等的.Hopfield[10]注意到腦的神經(jīng)生物學(xué)中脈沖發(fā)放機制和地震模型中的累積-發(fā)放機制間有很強的相似性，他指出地震模型中的一個滑動事件對應(yīng)神經(jīng)細胞的一個動作電位，地層板塊間的彈性連接對應(yīng)于神經(jīng)細胞間的突觸連接，所以地震模型中的復(fù)雜行為在神經(jīng)元中也可能存在，故可用累積-發(fā)放機制來模擬神經(jīng)元的動力學(xué)行為.

實際神經(jīng)元的連接表現(xiàn)出局部模塊或群組織結(jié)構(gòu).神經(jīng)元結(jié)構(gòu)連接的信息表明哺乳動物腦皮層具有區(qū)域?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)[11-12]，某些區(qū)域連接得緊密，而區(qū)域之間連接較稀疏.本文提出了一個簡化的兩層網(wǎng)絡(luò)模型，層內(nèi)運用最原始的二維規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，并將OFC動力學(xué)機制運用到兩層層次網(wǎng)絡(luò)上.這里考慮到網(wǎng)絡(luò)是兩層次的，層間的結(jié)構(gòu)有所不同就有可能導(dǎo)致OFC模型中發(fā)放機制有所改變，我們用控制參量α和β分別來調(diào)節(jié)層內(nèi)和層間的發(fā)放.下面詳細討論改進的OFC模型以及網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)對自組織臨界行為的影響.

2 模型

在我們的模型中采用兩層規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，每層網(wǎng)格大小為S=30×30.兩層網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)系用邊連接，為了簡化，只取兩網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)的節(jié)點進行連接，如圖1所示，網(wǎng)絡(luò)1中的節(jié)點4只和網(wǎng)絡(luò)2中的節(jié)點4連接，而不與網(wǎng)絡(luò)2中其他節(jié)點相連.

原初的OFC地震模型描述是在方格中任一節(jié)點都賦予一動力學(xué)變量Fi，在（0，1）之間取值，代表板塊承受的應(yīng)力，在神經(jīng)元模型中，代表每個神經(jīng)元的膜電位，再給出一閾值，取Fth=1，如果格子中所有格點的動力學(xué)變量Fi＜Fth時，認為地殼處于靜息狀態(tài)，為了描述地震應(yīng)力的緩慢演化現(xiàn)象，增加所有地震的應(yīng)力直到其中一個板塊的應(yīng)力超過閾值，板塊變得不穩(wěn)定，開始滑動.向鄰近的節(jié)點發(fā)放應(yīng)力，自己回落到靜息態(tài)，即

圖1 層間節(jié)點的連接方式

式中j表示i節(jié)點的所有近鄰，α是控制系統(tǒng)的動力學(xué)耗散水平的參量，當(dāng)α=0.25時表示系統(tǒng)的能量守恒，α＜0.25對應(yīng)能量耗散系統(tǒng).

在同層次中發(fā)放滿足：Fi→0，

在不同層次間發(fā)放滿足：Fi→0，

其中，wij表示i節(jié)點和j節(jié)點的動力學(xué)變量和，nn表示所有i節(jié)點的最近鄰節(jié)點.這種發(fā)放模式一直進行直到網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的變量Fi都小于閾值，即達到穩(wěn)定狀態(tài)，我們把這個過程定義為雪崩，而這過程中不穩(wěn)定節(jié)點的總數(shù)定義為雪崩大小.

至此，我們已經(jīng)完成了網(wǎng)絡(luò)演化的動力學(xué)模型，下面具體研究在兩層網(wǎng)絡(luò)上的自組織臨界行為.

3 模擬結(jié)果

3.1 雪崩大小概率分布

首先討論雪崩大小的概率分布，即相同雪崩大小發(fā)生的概率.在我們的模型中，有多個可調(diào)參數(shù)：層間連接數(shù)、控制參量和網(wǎng)格大小等.

3.1.1 層間連接數(shù)對雪崩大小分布影響

首先研究不同層間連接數(shù)對雪崩大小分布的影響，選定其他參量：兩層次網(wǎng)格大小N=1800，方程（2）（3）中的參量a,b都取為0.7，層間連接數(shù)取5，從圖2可知，其一，雪崩大小分布不是一個簡單的冪律分布，分布曲線中間出現(xiàn)拐點，行為相對復(fù)雜.其二，分布曲線尾部上翹，這一特征是超臨界行為.由此可知層次之間應(yīng)具有一定量的連接數(shù)，不然系統(tǒng)就處于超臨界狀態(tài)，便不能正常工作.

下面詳細討論層間不同的連接數(shù)對雪崩行為的影響.圖3給出了相同參數(shù)條件下雪崩大小分布隨層間連接數(shù)變化的關(guān)系，從圖中可以看出，當(dāng)連接數(shù)大于50時，忽略胖尾效應(yīng)，雪崩大小分布滿足冪律分布，即P(S)∝S-τ，隨層間連接數(shù)增加冪律指數(shù)先增后減.另外，層間連接數(shù)為600時有個分界線.層間連接數(shù)小于600時，隨連接數(shù)增加，分布的截斷減小，即大雪崩減少；而大于600時，隨著連接數(shù)增加，截斷增加，即大雪崩增多.隨著層間連接數(shù)的增加，雪崩大小分布出現(xiàn)了兩種變化趨勢.這是可以理解的，當(dāng)層間連接數(shù)較小時，層次之間網(wǎng)格處于稀疏狀態(tài)，關(guān)聯(lián)度不高，此時增加連接數(shù)，只會導(dǎo)致每個節(jié)點被分配到的能量減少，不容易發(fā)生雪崩，而當(dāng)連接數(shù)大到一定程度時，此時，層次間連接緊密，整個網(wǎng)絡(luò)的連通性非常好，所以大雪崩越來越多.

在上面的研究中，我們給出了雪崩大小分布的統(tǒng)計性質(zhì)，為更好地理解雪崩大小分布，下面給出整個網(wǎng)絡(luò)的平均雪崩大小與層間連接數(shù)的關(guān)系，所謂平均雪崩大小，就是指這個網(wǎng)絡(luò)達到穩(wěn)定狀態(tài)之前所有雪崩大小與所有雪崩次數(shù)的比值.圖4給出了平均雪崩大小隨層間連接數(shù)的變化關(guān)系（選定兩層網(wǎng)格大小N=1800，控制參量a=0.7,b=0.7，層間連接數(shù)分別為100，200，500，600，700，850，900）.隨著層間連接數(shù)增加，平均雪崩大小先減后增，這與雪崩大小分布的統(tǒng)計性質(zhì)是一致的.

3.1.2 層間控制參量對雪崩大小分布的影響

當(dāng)層間連接數(shù)很少時，系統(tǒng)行為趨于超臨界態(tài).我們選定層間連接數(shù)為50，研究層間控制參量對雪崩行為的影響.考慮到拓撲結(jié)構(gòu)的不同，層內(nèi)和層間網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為應(yīng)有所不同，我們來考察層間控制參量對雪崩大小分布的影響.選層內(nèi)動力學(xué)行為的控制參量a固定為0.7，改變層間動力學(xué)行為的控制參量b.從圖5中得到，當(dāng)b＞0.7時，雪崩大小分布滿足冪律行為，且隨b增大，截斷反而減小.而當(dāng)b＜0.7時，尾部同樣出現(xiàn)了上翹現(xiàn)象，這是超臨界特征.

3.1.3 網(wǎng)格大小對雪崩大小分布的影響

圖2 層間連接數(shù)為5時雪崩大小分布圖

圖3 不同層間連接數(shù)對應(yīng)的雪崩大小分布圖，插圖是冪指數(shù)隨連接數(shù)變化的關(guān)系圖

圖4 不同層間連接數(shù)對應(yīng)的平均雪崩大小

選定控制參量a=0.7,b=0.7，單層二維網(wǎng)格大小為L×L，L分別取32，48，64.研究雪崩大小分布情況.圖6中左邊是雪崩大小分布的原始數(shù)據(jù)圖，可以看到除去胖尾，雪崩大小分布滿足冪律分布，并隨網(wǎng)格增大，大雪崩出現(xiàn)的概率增大.為了提取胖尾中的噪音信息，圖6右邊對雪崩大小分布做了分箱統(tǒng)計[17].從圖中可以看出，分箱統(tǒng)計方法有效減少了大規(guī)模雪崩的噪音影響，使模擬效果更接近真實情況.

3.2 類腦電波及功率譜分析

下面研究大腦中神經(jīng)元膜電位的暫態(tài)性質(zhì).不同時間所有神經(jīng)元膜電位的平均值，即一個時間序列信號，由于它的波形與腦電波相似，故稱為類腦電波.我們把每次雪崩完成后，所有節(jié)點膜電位平均值的時間序列定義為

圖5 層間控制參量對應(yīng)的雪崩大小分布圖

圖6 左為不同網(wǎng)格大小對應(yīng)的雪崩大小分布圖，右為對原始數(shù)據(jù)作分箱統(tǒng)計后的雪崩大小分布圖

類腦電波，數(shù)學(xué)表達式為：

由于整個模擬數(shù)據(jù)太大，圖形表示不清晰，故從中選取時間步從2000到4000步，其時間序列如圖7（a）所示，平均膜電位在某個值附近振蕩.同時我們還對這個平均膜電位信號做了功率譜分析，如圖7（b）所示，它滿足1 f的冪律分布，這也是通常所說的1 f噪聲.選定兩層網(wǎng)格大小N=1800，層間連接數(shù)為100，控制參量a=1,b=0.8，其類腦電波的功率譜滿足S(f)∝f-τ，冪律指數(shù)τ=1.7948，驗證了大腦處于一個自組織臨界態(tài).

圖7 （a）平均膜電位的時間序列圖，（b）平均膜電位的時間序列的功率譜

4 結(jié)論

為了體現(xiàn)神經(jīng)元的團簇性，我們在拓撲結(jié)構(gòu)中采用了兩層規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，同時考慮到節(jié)點的發(fā)放與鄰近神經(jīng)元有關(guān)，在原初的OFC模型中加入了與鄰近節(jié)點相關(guān)的權(quán)重值.研究發(fā)現(xiàn)，該模型在一定范圍內(nèi)體現(xiàn)SOC行為.即雪崩大小分布滿足冪律分布.但是當(dāng)模型中的參量超出一定范圍時，則出現(xiàn)由自組織臨界到超臨界狀態(tài)的轉(zhuǎn)變.此外，還研究了在一定參量值時的類腦電波，發(fā)現(xiàn)其功率譜也滿足冪律性質(zhì)，說明大腦工作狀態(tài)處于自組織臨界態(tài).

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SOC Behavior of Simple Hierarchical Network

YANG Qiu-ying,YAN Xue-wen
(School of Physics and Electronics Engineering,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

The avalanche behavior of simple two-level network is studied by using the improved OFC model in this paper.Considering the different nature or function between levels,two different control parameters,andare introduced to express control parameters of level internal and levels respectively.The conclusion is reached that the avalanche distribution obeys the power-law distribution within a certain range.The system will not be in the self-organized critical state,but in the supercritical state when the parameters exceed the certain value.Otherwise, the power spectrum of time series of the average membrane potential approximately obeys the power-law behavior.

improved OFC model;hierarchical network;self-organized critical

N93

B

1008-2794（2012）04-0046-06

2012-03-10

楊秋英（1981—），女，江蘇常熟人，講師，碩士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及非線性動力學(xué).