簡單層次網絡上的自組織臨界行為

楊秋英，顏學文

（常熟理工學院物理與電子工程學院，江蘇常熟 215500）

簡單層次網絡上的自組織臨界行為

楊秋英，顏學文

（常熟理工學院物理與電子工程學院，江蘇常熟 215500）

采用改進的二維格子地震（OFC）模型研究了簡單兩層網絡上的雪崩行為.考慮到層間的性質或功能有差異，在OFC模型中引進層內控制參量α和層間控制參量β，得到其雪崩大小在一定范圍內滿足冪律分布，超出一定的值，系統便不再處于自組織臨界態，而處于超臨界態.另外，膜電位平均值的時間序列的功率譜也近似滿足1/5冪律行為.

改進的OFC模型；層次網絡；自組織臨界行為

1 引言

自組織臨界性（SOC）是Bak、Tang和Wiesenfeld在1987年提出來的[1]，主要指一大類有多個單元組成的復雜系統，在外界驅動和內部組元間的相互作用下，能夠通過一個漫長的自組織過程演化到一個動力學臨界狀態.在這個狀態下，系統的一個微小的擾動可能會通過類似“多米諾效應”的機制被放大，延伸到整個系統，形成大雪崩，其特征是雪崩大小分布遵從冪律分布.SOC理論可以用來解釋很多復雜系統（例如地震系統[2]，生物演化系統[3]，經濟系統[4]等）中出現的冪律行為.至1993年，相繼提出了幾個SOC模型[5-9]，其中之一是Olami、Feder和Christensen提出的OFC地震模型，他們在二維規則格點網絡上模擬地震行為，并假設每個方向上的能量或力的傳輸是均等的.Hopfield[10]注意到腦的神經生物學中脈沖發放機制和地震模型中的累積-發放機制間有很強的相似性，他指出地震模型中的一個滑動事件對應神經細胞的一個動作電位，地層板塊間的彈性連接對應于神經細胞間的突觸連接，所以地震模型中的復雜行為在神經元中也可能存在，故可用累積-發放機制來模擬神經元的動力學行為.

實際神經元的連接表現出局部模塊或群組織結構.神經元結構連接的信息表明哺乳動物腦皮層具有區域層次結構[11-12]，某些區域連接得緊密，而區域之間連接較稀疏.本文提出了一個簡化的兩層網絡模型，層內運用最原始的二維規則網絡，并將OFC動力學機制運用到兩層層次網絡上.這里考慮到網絡是兩層次的，層間的結構有所不同就有可能導致OFC模型中發放機制有所改變，我們用控制參量α和β分別來調節層內和層間的發放.下面詳細討論改進的OFC模型以及網絡拓撲結構對自組織臨界行為的影響.

2 模型

在我們的模型中采用兩層規則網絡，每層網格大小為S=30×30.兩層網絡之間的關系用邊連接，為了簡化，只取兩網絡中對應的節點進行連接，如圖1所示，網絡1中的節點4只和網絡2中的節點4連接，而不與網絡2中其他節點相連.

原初的OFC地震模型描述是在方格中任一節點都賦予一動力學變量Fi，在（0，1）之間取值，代表板塊承受的應力，在神經元模型中，代表每個神經元的膜電位，再給出一閾值，取Fth=1，如果格子中所有格點的動力學變量Fi＜Fth時，認為地殼處于靜息狀態，為了描述地震應力的緩慢演化現象，增加所有地震的應力直到其中一個板塊的應力超過閾值，板塊變得不穩定，開始滑動.向鄰近的節點發放應力，自己回落到靜息態，即

圖1 層間節點的連接方式

式中j表示i節點的所有近鄰，α是控制系統的動力學耗散水平的參量，當α=0.25時表示系統的能量守恒，α＜0.25對應能量耗散系統.

在同層次中發放滿足：Fi→0，

在不同層次間發放滿足：Fi→0，

其中，wij表示i節點和j節點的動力學變量和，nn表示所有i節點的最近鄰節點.這種發放模式一直進行直到網絡中所有節點的變量Fi都小于閾值，即達到穩定狀態，我們把這個過程定義為雪崩，而這過程中不穩定節點的總數定義為雪崩大小.

至此，我們已經完成了網絡演化的動力學模型，下面具體研究在兩層網絡上的自組織臨界行為.

3 模擬結果

3.1 雪崩大小概率分布

首先討論雪崩大小的概率分布，即相同雪崩大小發生的概率.在我們的模型中，有多個可調參數：層間連接數、控制參量和網格大小等.

3.1.1 層間連接數對雪崩大小分布影響

首先研究不同層間連接數對雪崩大小分布的影響，選定其他參量：兩層次網格大小N=1800，方程（2）（3）中的參量a,b都取為0.7，層間連接數取5，從圖2可知，其一，雪崩大小分布不是一個簡單的冪律分布，分布曲線中間出現拐點，行為相對復雜.其二，分布曲線尾部上翹，這一特征是超臨界行為.由此可知層次之間應具有一定量的連接數，不然系統就處于超臨界狀態，便不能正常工作.

下面詳細討論層間不同的連接數對雪崩行為的影響.圖3給出了相同參數條件下雪崩大小分布隨層間連接數變化的關系，從圖中可以看出，當連接數大于50時，忽略胖尾效應，雪崩大小分布滿足冪律分布，即P(S)∝S-τ，隨層間連接數增加冪律指數先增后減.另外，層間連接數為600時有個分界線.層間連接數小于600時，隨連接數增加，分布的截斷減小，即大雪崩減少；而大于600時，隨著連接數增加，截斷增加，即大雪崩增多.隨著層間連接數的增加，雪崩大小分布出現了兩種變化趨勢.這是可以理解的，當層間連接數較小時，層次之間網格處于稀疏狀態，關聯度不高，此時增加連接數，只會導致每個節點被分配到的能量減少，不容易發生雪崩，而當連接數大到一定程度時，此時，層次間連接緊密，整個網絡的連通性非常好，所以大雪崩越來越多.

在上面的研究中，我們給出了雪崩大小分布的統計性質，為更好地理解雪崩大小分布，下面給出整個網絡的平均雪崩大小與層間連接數的關系，所謂平均雪崩大小，就是指這個網絡達到穩定狀態之前所有雪崩大小與所有雪崩次數的比值.圖4給出了平均雪崩大小隨層間連接數的變化關系（選定兩層網格大小N=1800，控制參量a=0.7,b=0.7，層間連接數分別為100，200，500，600，700，850，900）.隨著層間連接數增加，平均雪崩大小先減后增，這與雪崩大小分布的統計性質是一致的.

3.1.2 層間控制參量對雪崩大小分布的影響

當層間連接數很少時，系統行為趨于超臨界態.我們選定層間連接數為50，研究層間控制參量對雪崩行為的影響.考慮到拓撲結構的不同，層內和層間網絡的動力學行為應有所不同，我們來考察層間控制參量對雪崩大小分布的影響.選層內動力學行為的控制參量a固定為0.7，改變層間動力學行為的控制參量b.從圖5中得到，當b＞0.7時，雪崩大小分布滿足冪律行為，且隨b增大，截斷反而減小.而當b＜0.7時，尾部同樣出現了上翹現象，這是超臨界特征.

3.1.3 網格大小對雪崩大小分布的影響

圖2 層間連接數為5時雪崩大小分布圖

圖3 不同層間連接數對應的雪崩大小分布圖，插圖是冪指數隨連接數變化的關系圖

圖4 不同層間連接數對應的平均雪崩大小

選定控制參量a=0.7,b=0.7，單層二維網格大小為L×L，L分別取32，48，64.研究雪崩大小分布情況.圖6中左邊是雪崩大小分布的原始數據圖，可以看到除去胖尾，雪崩大小分布滿足冪律分布，并隨網格增大，大雪崩出現的概率增大.為了提取胖尾中的噪音信息，圖6右邊對雪崩大小分布做了分箱統計[17].從圖中可以看出，分箱統計方法有效減少了大規模雪崩的噪音影響，使模擬效果更接近真實情況.

3.2 類腦電波及功率譜分析

下面研究大腦中神經元膜電位的暫態性質.不同時間所有神經元膜電位的平均值，即一個時間序列信號，由于它的波形與腦電波相似，故稱為類腦電波.我們把每次雪崩完成后，所有節點膜電位平均值的時間序列定義為

圖5 層間控制參量對應的雪崩大小分布圖

圖6 左為不同網格大小對應的雪崩大小分布圖，右為對原始數據作分箱統計后的雪崩大小分布圖

類腦電波，數學表達式為：

由于整個模擬數據太大，圖形表示不清晰，故從中選取時間步從2000到4000步，其時間序列如圖7（a）所示，平均膜電位在某個值附近振蕩.同時我們還對這個平均膜電位信號做了功率譜分析，如圖7（b）所示，它滿足1 f的冪律分布，這也是通常所說的1 f噪聲.選定兩層網格大小N=1800，層間連接數為100，控制參量a=1,b=0.8，其類腦電波的功率譜滿足S(f)∝f-τ，冪律指數τ=1.7948，驗證了大腦處于一個自組織臨界態.

圖7 （a）平均膜電位的時間序列圖，（b）平均膜電位的時間序列的功率譜

4 結論

為了體現神經元的團簇性，我們在拓撲結構中采用了兩層規則網絡，同時考慮到節點的發放與鄰近神經元有關，在原初的OFC模型中加入了與鄰近節點相關的權重值.研究發現，該模型在一定范圍內體現SOC行為.即雪崩大小分布滿足冪律分布.但是當模型中的參量超出一定范圍時，則出現由自組織臨界到超臨界狀態的轉變.此外，還研究了在一定參量值時的類腦電波，發現其功率譜也滿足冪律性質，說明大腦工作狀態處于自組織臨界態.

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SOC Behavior of Simple Hierarchical Network

YANG Qiu-ying,YAN Xue-wen
(School of Physics and Electronics Engineering,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

The avalanche behavior of simple two-level network is studied by using the improved OFC model in this paper.Considering the different nature or function between levels,two different control parameters,andare introduced to express control parameters of level internal and levels respectively.The conclusion is reached that the avalanche distribution obeys the power-law distribution within a certain range.The system will not be in the self-organized critical state,but in the supercritical state when the parameters exceed the certain value.Otherwise, the power spectrum of time series of the average membrane potential approximately obeys the power-law behavior.

improved OFC model;hierarchical network;self-organized critical

N93

B

1008-2794（2012）04-0046-06

2012-03-10

楊秋英（1981—），女，江蘇常熟人，講師，碩士，研究方向：復雜網絡及非線性動力學.