基于t-范數的模糊邏輯

樊東紅 曾彥 何永玲

欽州學院物理與材料科學學院，廣西欽州535000

摘要 模糊集與模糊推理方法為描述和處理事物的模糊性和系統的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具。本文就模糊推理的模糊邏輯在國內外研究歷史、現狀和最新研究成果進行了綜述，簡要分析了基本邏輯系統BL與t-范數、模糊推理的全蘊涵三I、基于左連續t-范數的模糊邏輯系統MTL和關于模糊蘊涵算子與合參t-范數的研究情況。

關鍵詞 t-范數；模糊推理；模糊邏輯

中圖分類號O142 文獻標識碼A 文章編號 1674-6708（2012）61-0077-02

0 引言

模糊集與模糊推理方法為描述和處理事物的模糊性和系統的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具。近年來模糊推理的邏輯基礎得到活躍而深入的研究，本文就國內外研究歷史、現狀和最新研究成果教學論述。

1 模糊集合論的發展與爭論

Zadeh 于1965年創立了模糊集合論[1]，并在1973年提出模糊推理的CRI方法，從而為描述和處理事物的模糊性和系統的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具模糊推理被應用于工業控制與家電產品的制造中，取得了極大成功。然而，與應用相比，模糊推理的理論基礎并非無懈可擊，如1993年7月Elkan博士(現為加利福尼亞大學教授)在美國第11屆人工智能年會上作了題為“模糊邏輯的似是而非的成功” 的報告[2]， 引起了一場軒然大波。 模糊界和人工智能界的15位專家、學者對Elkan的文章進行評論。關于這場爭論，吳望名教授在文獻[3]中進行了介紹和討論，應明生教授在文獻[4]中說: “雖然Elkan 的許多觀點是錯誤的，吳望名己經給予一定的澄清，但是，我們也一定看到模糊邏輯缺乏系統深入的理論研究卻是不爭的事實”。當然這場爭論并未取得一致的意見事實上，這場爭論始終沒有平息。同時，也正因為如此，近年來模糊推理的邏輯基礎得到活躍而深入的研究，我國學者在這一領域取得了眾多重要成果。

2 基本邏輯系統BL與t-范數

模糊集與模糊推理方法為描述和處理事物的模糊性和系統的不確定性以及模擬人的智能和決策推理能力提供了十分有效的工具，近年來模糊推理的邏輯基礎得到活躍而深入的研究。在模糊邏輯理論中，長期占主導地位的是基于t-范數（也稱為t-模或三角模）的邏輯系統（也稱為t-范數邏輯） 在這類邏輯中，使用t-范數作為合取聯結詞的解釋，并由此解釋其他命題聯結詞，如蘊涵、析取聯結詞分別解釋為由t-范數誘導的剩余型蘊涵、與t-范數關于否定算子對偶的t-余范數，而否定聯結詞通常經由蘊涵解釋為A→O。這樣定義的邏輯理論具有許多優良的邏輯性質，反映了人類日常思維與推理中的許多邏輯特征，這類邏輯理論在模糊推理和人工智能研究中已經獲得廣泛的應用。

1996年以來，捷克邏輯學專家Hajek發表了一系列富有意義的研究成果，其中基本邏輯系統BL的提出對模糊邏輯的基礎研究影響較大，幾個重要的模糊邏輯系統都是BL系統的語義擴張(即公理模式擴張，關于語義擴張的嚴格定義，如Lukasiewicz連續值系統、Godel系統、積邏輯系統等關于邏輯系統BL的相關理論，集中反映在文獻[5] 中Hajek還基于剩余格理論提出了與基本邏輯BL對應的BL-代數理論，它包括MV-代數[6]、Godel代數和積代數作為特例。每個連續t-范數唯一地確定單位區間[0,1]上一個BL-代數，文獻[5]提出了這樣的公開問題：如果公式A是[0,1] 上每個BL-代數中的重言式，那么A在系統BL中是否必定可證? 換言之，形式系統BL是否是所有連續t-模基邏輯的公共的完備公理化？2000年，這個問題給出了肯定的回答[7]。

3 模糊推理的全蘊涵三I

同樣是1996年，為了尋求模糊推理的可靠邏輯基礎，王國俊教授基于對模糊邏輯與模糊推理方面存在問題的分析，在全國第七屆多值邏輯與模糊邏輯年會上，提出了一個新的形式演繹系統L*此后，該系統經多次修改完善，并發展成一整套理論 [8-11]。 系統L* 是基于Ro t-范數及其剩余蘊涵Ro蘊涵算子(也稱為修正的Kleene蘊涵算子)的，具有許多優良的邏輯性質。與系統L*相配套的代數結構是Ro-代數，它的一種推廣形式被稱為弱Ro -代數。它們與BL-代數互不包含[12]。同時，王國俊教授倡導模糊邏輯與模糊推理的結合研究，并于1999年提出了模糊推理的全蘊涵三I算法(簡稱為三I算法 [13]) ，有效地改進了Zadeh在1973年提出的求解FMP問題的合成推理規則(RI) 。 關于三I 算法，還有一系列文獻對其進行更深入的研究[14] 。

4 基于左連續t-范數的模糊邏輯系統MTL

2001年，西班牙學者Esteva 和GodO建立了并得到幾個語義擴張系統[15]，即弱冪零極小邏輯WNM，對合Monoidal t-范數邏輯IMTL 及冪零極小邏輯NM。同時，提出了與這些邏輯系統相關的代數結構MTL-代數，WNM-代數，IMTL-代數和NM-代數，構建了這些形式系統的語義。 MTL邏輯系統的標準完備性的證明由Jenei與Montagna完成[16]。有趣的是，2003年裴道武證明了系統L*與NM 是等價的，Ro-代數和NM-代數實際上是相同的代數系統，弱Ro代數和IMTL-代數也是相同的代數系統[17]。

5 關于模糊蘊涵算子與合參t-范數

在模糊邏輯中，選擇怎樣的蘊涵算子對模糊推理的效果有直接影響。如上所述，在現已建立的各種模糊邏輯系統中，所選擇的蘊涵算子基本上都與某種t模相伴，即均為剩余蘊涵，此外還有一些其他類型的模糊蘊涵算子。一個值得注意的研究思路是帶參數的模糊蘊涵算子， 如Klement 與Navara 在1999 年研究了基于帶參數的Frank t- 模的模糊邏輯系統[18]；吳望名教授、王國俊教授等分別在2000年、2003年研究了帶參數的Kleene系統[19]；而美國學者Whalen 也于2003 年在Fuzzy Sets & Systems上發表了長達50頁的論文[20]，專門論述帶參數的Schweizer- Sklar R-蘊涵，并將其中的參數p與模糊規則之間交互作用的強度聯系起來。為了刻畫邏輯柔性，何華燦教授在建立新邏輯體系時選擇了帶參數的t-范數，并用廣義相關性和廣義自相關性來描述代表柔性的參數的意義。同時從不同側面深入論述了含參聯結詞在模糊邏輯、模糊控制、決策支持、神經網絡等中的重要意義等。因此，在模糊邏輯體系中加入適當參數，己成為一個重要而有意義的研究方向，這可能是模糊邏輯與模糊推理相結合的新途徑。

參考文獻

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets.Information Control[J]，1965，8：338-353.

[2]Elkan C.The paradoxical success of fuzzy logic. IEEE Expert[J]，1994，9(4)：3-8.

[3]吳望名.關于模糊邏輯的一場爭論.模糊系統與數學[J]，1995，9(2)：1-10.

[4]應明生.模糊邏輯的緊致性.科學通報[J]，1998，43(4)：379-383.

[5]Hajek P.Met mathematics of Fuzzy Logic.Kluwer Academic Publishers[J].1998.

[6]Chang C C.Algebraic analysis of many-valued logics.Transactions of the American Methodical Society[J]，1958，88：467-490.

[7]Cignoli R, Esteva F, Godo L, et al, Basic fuzzy logic is the logic of continuous t-norms and their residua.Soft Computing[J]，2000，4：106-112.

[8]王國俊.非經典數理邏輯與近似推理[M].北京：科學出版社，2000.

[9]王國俊.數理邏輯引論與歸結原理[M].2版.北京：科學出版社，2006.

[10]裴道武，王國俊.形式系統L* 的完備性及其應用[J].中國科學( E輯)，2002，32(1)：56-64.

[11]王國俊，錢桂生，黨創寅.命題演算系統L*與謂詞演算系統K*中統一的近似推理理論.中國科學(E輯)[J]，2004，34(10) ：1110-1122.

[12]王國俊.MV-代數、BL-代數、Ro-代數與多值邏輯[J].模糊系統與數學，2002，16(2)：1-15.

[13]王國俊.模糊推理的全蘊涵三I算法[J].中國科學(E 輯)，1999，29(1)：43-53.

[14]王國俊，宋慶燕.一種新型的三I算法及其邏輯基礎[J].自然科學進展，2003，13(6)：575-581.

[15]Esteva F, Godo L.Monoidal t-norm based logic : towards a logic for left-continuous t-norms[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，124: 271-288.

[16]Jenei S, Montagna F.A proof of standard completeness for Esteva and Godo's logic MTL.[J]Studia Logica，2002，70：183-192.

[17]Pei D W.Simplification and independence of axioms of fuzzy logic systems IMTL and NM[J].Fuzzy Sets and Systems，2005，152: 303-320.

[18]Klement E P, Navara M.Propositional Fuzzy Logics based on Frank t-norms:A comparison.in Fuzzy Sets, Logics and Reasoning about Knowledge, D.Dubois et al.Kluwer Academic Publishers[M], 1999.

[19]吳望名.參數Kleene系統中的廣義重言式[J].模糊系統與數學，2000，14(1)：1-7.

[20]Whalen T.Parameterized R-implications[J].Fuzzy Sets and Systems，2003，134：231-281.